25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为用方程解决循环问题、数字问题及营销问题。课堂以排球邀请赛单循环问题导入，复习降次解法，通过合作探究搭建从实际情境到方程建模的学习支架，衔接前后知识。 特色在于以生活实例（握手、球赛、销售等）引导学生用数学眼光发现数量关系，通过自主探究和归纳总结培养数学思维（推理、运算），用方程模型表达问题提升数学语言（模型意识），练一练与当堂反馈强化应用，助力学生掌握解题步骤。

第25章 一元二次方程 25.2 降次—解一元二次方程 25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题 【学习目标】 1. 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2. 通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤. 学习重点：通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤. 学习难点：通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤. 【复习导入】 问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 【合作探究】 探究点1：一元二次方程解决循环问题 类型1：单循环问题 解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场. 思考：赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，也就是一共要比赛 场，比赛的总场次用含 x 的代数式表示为 场， 所以可列得方程 练一练 1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？ 类型2：双循环问题 问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300. 他算得对吗？为什么？ 总结：由总场数为 n(n－1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如 2，6，12，20，···，240，272，306，···. 变式题：某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程. 归纳总结 循环问题 单循环 x支球队进行比赛，每两队之间比赛一场，共比赛a场. x人互相握手，共握手a次. x人每人与其他人合照一张双人照，共合照a次. 双循环 x人互送礼物或互发信息、祝福等，总数为a. 问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的 3 倍，求这个两位数. 练一练 2. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数. 归纳总结 数字问题 (1)两个连续整数：设较小的整数为x，则较大的整数为x＋1； (2)三个连续奇数(偶数)：设中间的数为x，则较小的数为　　，较大的数为　　； (3)两位数：十位数字×10＋个位数字； (4)三位数：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字. 探究点3：其他问题 问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一. 某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠. 调查发现，螃蟹的进价为 40 元/千克，售价为 50 元/千克时，每天可销售 100 千克.每千克每涨价 1 元，每天少销售 2 千克，若商家一天销售螃蟹获总利润为 1600 元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克? 练一练 3. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 归纳总结 用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 1. 设未知数 x，用含 x 的代数式表示销量、单件利润； 2. 根据利润 = 销量×单件利润列方程； 3. 解方程； 4. 根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍； 5. 作答. 当堂反馈 1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级共有班级个数为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 2.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数. 3.商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件.若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价. 参考答案 【合作探究】 探究点1：一元二次方程解决循环问题 类型1：单循环问题 解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场. 赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，也就是一共要比赛 28 场，比赛的总场次用含 x 的代数式表示为 x(x－1)场， 所以可列得方程 x(x－1)=28 解方程，得 x1＝8，x2＝−7(不合题意，舍去). 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 练一练1. 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x −1) 次，但每人都重复了一次，故根据题意得 解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5. 答：共有 5 个人参加聚会． 类型2：双循环问题 问题2：假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300， 那么 n(n－1)＝300.解方程，得 由于 1201 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数. 因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对. 变式题： 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 x(x－1)＝72. 解得 x1＝9，x2＝−8(舍去). ∴ x＝9. 答：共有 9 个班级参赛． 问题3：列一元二次方程：11x＋2＝3x(x＋2). 解方程，得 x1＝2，x2＝− 1/3 (舍去). 当 x＝2 时，个位数字为 2＋2＝4，两位数为 24， 验证：24＝3×(2×4)＝24，符合题意，故这个两位数为 24. 练一练2. 解：设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为 (5 - x)， 依题意得 (10x + 5 − x)[10(5 − x) + x] = 736. 解得 x1 = 2 ，x2 = 3. 当 x = 2 时，5 − x = 3；当 x = 3 时，5 − x = 2. 答：原来的两位数是 23 或 32. 探究点3：其他问题 问题4：解：设当天螃蟹的售价为 x 元/千克，则每千克的销售利润为 (x－40) 元， 每天可售出 100－2(x－50)＝(200－2x) 千克， 根据题意得 (x－40)(200－2x)＝1600， 解得 x1＝60，x2＝80， 又∵要为顾客谋实惠，∴ x＝60. 答：当天螃蟹的售价为 60 元/千克. 练一练3. 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得 (40 − x)(20 + 2x) = 1200， 整理得 x2 − 30x + 200 = 0. 解方程得 x1 = 10，x2 = 20. 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元. 当堂反馈 1.C　 2.解：设个位数字为x，则十位数字为(11－x). 由题意得x2＋(11－x)2＝85，解得x1＝2，x2＝9.当x＝2时， 两位数为92，当x＝9时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 3.解：设销售单价提高x元， 由题意得(150－100＋x)(30－10x)＝520. 化简得x2＋47x－98＝0，即(x－2)(x＋49)＝0. 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 答：当销售单价为152元时，每天获得的利润为520元. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $