25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第25章  一元二次方程

25.2 降次—解一元二次方程

25.3 第3课时   循环问题、数字问题及其他问题

【学习目标】

1. 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.

2. 通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.

学习重点：通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.

学习难点：通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.

【复习导入】

问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

 

 

                    

【合作探究】

探究点1：一元二次方程解决循环问题

类型1：单循环问题

解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场.

思考：赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，也就是一共要比赛         场，比赛的总场次用含 x 的代数式表示为              场，

所以可列得方程

 

 

 

练一练

1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？

 

 

 

类型2：双循环问题                  

问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300. 他算得对吗？为什么？

      

 

 

 

总结：由总场数为 n(n－1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如

 2，6，12，20，···，240，272，306，···.

变式题：某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？

 

 

 

 

 

 归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程.

 

归纳总结

 

问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的 3 倍，求这个两位数.

 

 

 

练一练

2. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数.

 

 

 

归纳总结

探究点3：其他问题

问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一. 某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠. 调查发现，螃蟹的进价为 40 元/千克，售价为 50 元/千克时，每天可销售 100 千克.每千克每涨价 1 元，每天少销售 2 千克，若商家一天销售螃蟹获总利润为 1600 元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克?

 

 

 

 

 

练一练

3. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？

 

 

 

 

 

归纳总结

用一元二次方程解决营销问题的一般步骤

1. 设未知数 x，用含 x 的代数式表示销量、单件利润；

2. 根据利润 = 销量×单件利润列方程；

3. 解方程；

4. 根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍；

5. 作答.

 

当堂反馈

 

1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级共有班级个数为(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

2.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，