25.3 实际问题与一元二次方程导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元二次方程”第1课时，通过回顾列方程解应用题的“审设列解验答”步骤，衔接一元一次、二元一次方程的基础，为学生搭建从旧知到新知的学习支架。 以几何图形类实际问题为核心，如芜湖铁画外框、杨辉矩形面积等情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过自主探究与分层练习培养建模意识和推理能力，助力发展用数学语言表达数量关系的应用意识。

25.3 实际问题与一元二次方程(第2课时) 1.提出热点转发的现实问题，结合新课内容，探究传播问题、变化率问题； 2.阅读课本P21—P22内容，自主探究实际问题与一元二次方程第2小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 知新——课本研习梳理 1.传播问题：_______________________（用字母表示数量关系） 2.增长率问题：_______________________（用字母表示数量关系） 练习 1.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是( ) A. B. C. D. 2.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为( ) A. B. C. D. 3.某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2023年“五一”假期期间，该县接待游客25万人次，2025年增长至53万人次.设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程( ) A. B. C. D. 4.某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元. （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品. 拓展 马尔萨斯——种群传播与增长模型奠基人 英国经济学家、数学家托马斯·马尔萨斯，最早系统研究生物种群、人口的增长规律，提出经典的指数增长理论。他发现：生物繁殖、病毒传播、群体扩散均不是匀速增长，而是基数越大、增长越快的非线性增长，这与初中传播、变化率问题的核心规律完全契合。 我们初中学习的两轮二次增长、传播模型，是马尔萨斯增长理论的基础简化版本。其核心研究思想，为现代流行病学、大数据传播分析、经济增长率统计、种群数量研究提供了核心理论支撑，让数学成为研究动态变化现象的核心工具。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 (1) 审题：了解问题的实际意义，分清已知量和未知量之间的关系； (2) 设未知数：一般情况下求什么设什么为未知数； (3) 列方程：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 (方程两边单位要统一)； (4) 解方程：灵活运用一元二次方程的解法； (5) 验根：检验一元二次方程的根是否满足题意； (6) 答：写出实际问题的答案. 知新——课本研习梳理 1.，其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数 2.，其中，a是起始量，x是增长率，n是增长的次数，b是终止量. 当出现负增长时，x小于0. 基础过关·课前自测 1.答案：C 解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： ， 故选：C. 2.答案：C 解析：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C. 3.答案：A 解析：2023年接待游客25万人次，年平均增长率为x， 2024年接待游客万人次， 2025年接待游客万人次， 2025年接待游客增长至53万人次， 可列方程为. 4.答案：（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为 （2）最少购进40件甲种商品 解析：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意得，解得，（不符合题意，舍去）. 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为. （2）设购进y件甲种商品，则购进件乙种商品.根据题意得，解得，的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程(第3课时) 1.回顾本章第一节中的排球邀请赛问题，结合新课内容，探究循环问题； 2.阅读课本P23内容，自主探究实际问题与一元二次方程第2小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.单循环问题，个元素情况下循环总次数：______________ 2.多边形的对角线，凸边形对角线条数：__________________ 知新——课本研习梳理 双循环问题，个元素情况下循环总次数：______________ 练习 1.2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场.设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是( ) A. B. C. D. 2.某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环(每两个人形机器人之间都只进行一场比赛)制，每组x个机器人.若每组共需进行15场比赛，则可列方程为( ) A. B. C. D. 3.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场).共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得( ) A. B. C. D. 4.九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为______________. 拓展 帕斯卡——组合计数理论奠基人 法国天才数学家布莱士·帕斯卡，是近代组合数学的奠基人，系统完善了两两组合、排列计数的完整理论，精准区分了无序组合（单循环）与有序排列（双循环）的核心差异。 在几何数学领域，平面内多点连线、直线相交交点计数、多边形对角线计数，本质都是单循环组合问题，是几何计数题型的核心解题模型；在大数据领域，用户双向互动、信息双向匹配、数据两两关联统计，也沿用循环组合的核心逻辑。 从学科素养角度，学习循环问题模型，能让学生掌握分类讨论、模型辨析、数形结合、精准建模的高阶思维，区分静态组合模型与动态传播、变化率模型的差异，构建完整的一元二次方程实际应用模型体系，为高中排列组合、概率统计知识学习筑牢基础。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1. 2. 知新——课本研习梳理 基础过关·课前自测 1.答案：D 解析：设共有x个队参加比赛，依据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场，得：， 故选：D. 2.答案：C 解析：∵每组x个机器人，每两个机器人之间进行一场比赛， ∴比赛总场数为. 又∵每组共需进行15场比赛， ∴. 故选：C. 3.答案：D 解析：根据题意得：， 故选：D. 4.答案： 解析：根据题意得：每人要写条毕业感言，有x个人， 全班共写：， 故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程(第1课时) 1.回顾一元一次方程、二元一次方程（组）解应用题步骤等基础内容； 2.阅读课本P20—P21内容，自主探究实际问题与一元二次方程第1小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 知新——课本研习梳理 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 练习 1.芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派.该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果.如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图.设外框的宽度为，根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 2.下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔几步”，现设阔为x步，则列方程为( ) A. B. C. D. 3.如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为.设道路的宽为，根据题意，可列方程：_____________. 4.如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜.试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为x米，解答下列问题： (1)的长为___________米；（用含有x的代数式表示） (2)围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由. 拓展 几何图形类一元二次方程问题，是数学建模思想最落地的载体，广泛应用于建筑设计、园林规划、工艺制作、测绘工程等诸多领域，具备极高的实用价值。 在园林景观设计中，设计师需要通过建立二次方程模型，精准计算花坛加宽、步道拓宽的尺寸，在固定土地面积的前提下，平衡绿化区域与通行区域的比例，避免土地资源浪费；在工艺制造中，相框、展板、金属边框的等宽设计，均需要通过面积变化的二次关系计算标准尺寸，保证产品规格统一；在建筑施工中，矩形场地扩建、三角形区域改造的尺寸测算，也依赖此类二次几何模型。 从学科素养层面，学习几何二次建模，不仅是掌握一种解题方法，更是学会用数学语言描述图形变化、用数学模型解决实际问题，培养学生的空间观念、建模意识与应用思维，为高中解析几何、函数几何综合题学习筑牢基础。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 审、设、列、解、验、答 知新——课本研习梳理 方程有两个正根，但几何上是同一个矩形，这体现了数学解与实际问题解的区别. 基础过关·课前自测 1.答案：D 解析：根据题意，得. 2.答案：B 解析：设阔为x步，长比阔多12步， 长为步， 矩形面积为864平方步， 列方程为，即. 故选：B. 3.答案： 解析：∵道路的宽为， ∴由题意得，. 4.答案：(1) (2)能，的长为20米 解析：(1)米； 故答案为：； (2)围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米. 学科网（北京）股份有限公司 $