25.2.1 第1课时 直接开方法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章  一元二次方程

25.2 降次—解一元二次方程

25.2.1  第1课时   直接开方法

【学习目标】

学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；

2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.

学习重点：运用开平方法解形如x2=p或 (x+n)2=p (p≥0)的方程.

学习难点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.

【情境导入】

一个正方形花坛的面积为 10，若设其边长为 x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？

 

 

 

【复习导入】

1.如果 x2 = a，那么x叫做a的       .

2.如果 x2= a(a≥0)，那么x=       .

3.任何数都可以作为被开方数吗？

                     

                      

【合作探究】

探究点1：直接开平方法解形如 x² = p 的方程

试一试  解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.

(1) x2=4；          (2) x2=0；          (3) x2+1=0.

 

 

 

 

 

探究归纳：一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程，

(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；

(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根；

(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.

归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.

 

典例精析

例1  利用直接开平方法解下列方程：

(1) x2=6；              (2) 4x2 - 3 = 0；

 

 

 

 

方法总结：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解

练一练

1. 解下列方程.

(1) x2 - 900 = 0.                    (2) 2x2 - 120 = 0；

 

 

 

 

 

探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程

探究：对照上面解方程 x2 = 4 的过程，你认为怎样解方程 (x+3)2=5？

 

 

 

 

解题归纳：上面的解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.

 

例2  解下列方程：

（1）(x＋1)2= 9 ；   （2）(x－1)2－4 = 0；  

 

 

 

 

练一练

2. 解下列方程：

（1）12(3－2x)2－3 = 0.

 

 

 

 

 

3. 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2.