25.1 一元二次方程（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第25章  一元二次方程

25.1 一元二次方程的概念

【学习目标】

1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；

2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；

3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.

学习重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.

学习难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.

【复习导入】

在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？

 

 

                    

                      

【合作探究】

探究点1：一元二次方程的概念

问题1  有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？

 

 

 

                    

 

问题2  要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

 

 

 

思考：上述所列方程有什么共同点？

(1) 方程的两边都是_____；

(2) 都只含_____个未知数；

(3) 未知数的最高次数都是_____.

                    

知识要点：

   一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程.

    一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0).

ax2是           ，a是           ；

bx是            ，b是           ；c是            .

 

 

想一想：为什么一般形式中ax2 + bx + c = 0要限制a ≠ 0？b、c 可以为0吗？

 

 

 

 

方法总结：只要满足a≠0即可，b、c可以为             .

 

典例精析

例1  下列选项中，关于x的一元二次方程的是（  ）

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.

 

练一练

1. 判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)  x2 + x = 36；               (2) x3 + x2 = 36；

(3)x + 3y = 36；              

(5) x + 1 = 0；                

(7)ax2 + bx + c = 0；             

 

 

 

例2   a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？