25.1 一元二次方程（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的概念，通过人体雕像比例问题导入，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛赛制等实际情境，引导学生观察方程共同点，抽象出概念及一般形式，搭建从具体到抽象的学习支架。 以实际问题为载体，培养学生用数学眼光发现数量关系，通过合作探究与问题链发展推理意识，典例变式训练强化模型意识，助力学生理解概念并提升解决实际问题的能力。

第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 【学习目标】 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数； 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型； 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 学习重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题. 学习难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型. 【复习导入】 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 【合作探究】 探究点1：一元二次方程的概念 问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 思考：上述所列方程有什么共同点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是_____. 知识要点： 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0). ax2是 ，a是 ； bx是 ，b是 ；c是 . 想一想：为什么一般形式中ax2 + bx + c = 0要限制a ≠ 0？b、c 可以为0吗？ 方法总结：只要满足a≠0即可，b、c可以为 . 典例精析 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 练一练 1. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (1) x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36； (3)x + 3y = 36； (5) x + 1 = 0； (7)ax2 + bx + c = 0； 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？(2) (a－1)x| a| +1 －2x－7=0. (1)ax2－x=2x2； 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解． 练一练 2. 方程(2a－4)x2－2bx+a=0， （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 例3 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 注意：系数和项均包含前面的符号. 探究点2：一元二次方程的根 一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 试一试：下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解? -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值. 变式：已知a是方程 x2 + 2x－2=0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026的值. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 当堂反馈 1.下列方程是一元二次方程的是(　　) A.3x2＋＝0 B.2x－3y＋1＝0 C.(x－3)(x－2)＝x2 D.(3x－1)(3x＋1)＝3 2.已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值是(　　) A.－3 B.3 C.0 D.0或3 3.方程2x2－1＝x的二次项系数是　　，一次项系数是　　， 常数项是　　. 4.[高频易错]若方程(m－1)x｜m＋1｜＋2x－7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为　 . 5.[教材变式]根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式. (1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息； (2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数. 参考答案 【复习导入】 解：设雕像下部 BC = x m，列方程得 x2 = 5(5 - x )，整理得　x2 + 5x - 25 = 0．① 【合作探究】 探究点1：一元二次方程的概念 问题1 解：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100－2x) cm，宽为(50－2x) cm.根据方盒的底面积为3600 cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x +350 = 0. 问题2 解：根据题意，列方程： 化简，得 观察与思考 共同点：①方程的两边都是整式； ②都只含一个未知数；③未知数的最高次数都是2. 知识要点 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程. ax2是二次项， a是二次项系数； bx是一次项， b是一次项系数； c是常数项. 想一想 当a = 0时，bx＋c = 0，不符合定义；当a≠0，b = 0时，ax2＋c = 0，符合定义； 当a≠0，c=0时，ax2＋bx= 0，符合定义；当a ≠ 0，b = c = 0时，ax2 = 0，符合定义． 典例精析 例1 C 练一练1. （1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）错 （6）对 （7）错 （8）错 例2 解：(1)将方程整理，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程. 2. 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b ≠0时，是一元一次方程． 例3 解：去括号，得：3x2－3x=5x+10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为 3x2－8x－10=0.其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10. 探究点2：一元二次方程的根 例4 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，. 变式 解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2. ∴2a2+4a+2026=2(a2+2a)+2026=2×2+2026=2030. 当堂反馈 1.　D 2.　A　 3.　2　，　－　，　－1　. 4.　－3　. 5.解：(1)依题意得x(x－1)＝756.一般形式：x2－x－756＝0. (2)设这两个连续奇数分别为x，x＋2， 根据题意得x2＋(x＋2)2＝130.一般形式：2x2＋4x－126＝0. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $