25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解决几何图形的面积与边长问题，通过复习方程解实际问题的步骤导入，衔接旧知与新知，搭建从方程解法到几何应用的学习支架。 以多样探究案例引导学生用数学眼光抽象几何中的数量关系，不同设元方法培养数学思维的推理能力，强调解的检验提升数学语言表达的严谨性，习题层次分明助力应用意识培养。

第25章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题 【学习目标】 1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题. 2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易. 3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 学习难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 【复习导入】 问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？ 【合作探究】 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？ 追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？ 归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁. 例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 思考: 对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： (1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； (2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 m； 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 练一练 1.将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ (2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 2. 现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm² 的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长. 归纳总结： 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例3 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽为多少？ 变式题1：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 变式题2：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 变式题3：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路). 当堂反馈 1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为(　　) A.x(20＋x)＝64 B.x(20－x)＝64 C.x(40＋x)＝64 D.x(40－x)＝64 2.若用一条长为30cm的铁丝围成一个斜边长是13cm的直角三角形，则两直角边的长分别为　　cm，　　cm. 3.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为300m2，则道路宽为多少米？ 书写通关 解：设　 　. 根据题意得　 　. 解得　 　. (x＝　 　不合题意，舍去) 答：　 　. 4.如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用75m长的围栏围成总面积为300m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 参考答案 【合作探究】 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 例1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数. 由勾股定理，得 x²＋(x＋1)²＝(x＋2)². 解方程，得 x1 = 3，x2 = －1 (不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 例2 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为96 m²，得 x(20－x)＝96. 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 可知 12 m 和 8 m 分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域. 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m² 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 思考: 方法一：设一边长为 x cm，邻边长为 96/x m. 根据矩形周长公式 2(x+96/x)=40 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 方法二：可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 (10 - x) m； 根据矩形周长公式 (10 + x)(10－x)＝96 解方程，得 x1 = 2，x2 = - 2. 则其两邻边长分别为 12 m，8 m. 特点：方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程. 方法二：利用“周长为 40，则长 + 宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值. 练一练 1.解：设一个正方形的周长为 x cm，则另一个正方形的周长为 (20－x) cm. (1) 由题意可列方程 解此方程，得 x1＝16，x2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为 16 cm和 4 cm. (2)由题意可列方程 此方程化为一般形式为 x2－20x＋104＝0. ∵ b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16<0， ∴ 此方程无解． ∴ 两个正方形的面积之和不可能等于 12 cm2. 2. 解：设小正方形的边长为 x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80－2x) cm，宽是 (60－2x) cm， 由题意，得 (80－2x)(60－2x)＝1500， 解得 x1＝55，x2＝15. 又 60－2x＞0，∴x＝55(舍). ∴小正方形的边长为 15 cm. 例3 方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得 x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 变式题1：解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.∴x=2. 答：道路的宽为2米. 变式题2：解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x1=18-，x2=18+≈34.55（不合题意，舍去）. 答：道路的宽为 (18-) m. 变式题3：解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x1=1，x2=25（不合题意，舍去）.∴x=1. 答：道路的宽为1米. 当堂反馈 1.　B　 2.　5　，　12　. 3. 书写通关 解：设　道路宽为xm　. 根据题意得　(22－x)(17－x)＝300　. 解得　x1＝37，x2＝2　. (x＝　37　不合题意，舍去) 答：　道路宽为2m　. 4.解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(75－3x)m. 根据题意得(75－3x)x＝300，解得x1＝20，x2＝5. 当x＝20时，75－3x＝15＜25，符合题意. 当x＝5时，75－3x＝60＞25，不符合题意，舍去. ∴AB＝20m，BC＝15m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $