25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章  一元二次方程

25.3 实际问题与一元二次方程

25.3 第1课时  几何图形的面积与边长问题

【学习目标】

1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.

2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.

3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.

学习重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.

学习难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.

【复习导入】

问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？

 

   

 

                  

【合作探究】

探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题

例1  是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？

思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？

 

追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？

 

 

 

 

归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁.

 

例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

 

 

 

 

 

思考: 对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：

(1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为            m；

(2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为                    m；

能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.

 

 

 

 

 

练一练

1.将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

 

                    

 

      

2. 现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm² 的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.

 

 

 

 

 

归纳总结：

  运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？

 

 

 

例3  如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽为多少？

变式题1：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下

的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？

 

变式题2：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？

                                                                                                 

                                                      

变式题3：在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？

 

 

方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).

           

当堂反馈

1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为(　　)

A.x(20＋x)＝64 B.x(20－x)＝64

C.x(40＋x)＝64 D.x(40－x)＝64

2.若用一条长为30cm的铁丝围成一个斜边长是13cm的直角三角形，则两直角边的长分别为　　cm，　　cm.

3.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为300m2，则道路宽为多少米？

 

 

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