2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 本卷以文化传承与现实情境为载体，融合《周髀算经》勾股定理、“少年强”坐标系、新定义“忧乐四边形”等，覆盖代数几何核心知识，通过基础巩固（解不等式组）、能力提升（函数综合）、创新应用（配方法求最值）的梯度设计，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|勾股定理、坐标系、分式方程|结合《周髀算经》文化素材，基础概念辨析| |填空题|6/18|不等式组、垂直平分线、旋转坐标|数轴表示解集（第11题），动态几何计算| |解答题|8/72|几何证明、应用题、配方法、新定义|文具店购买问题（模型意识），“忧乐四边形”探究（创新思维）|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．《周髀算经》记载“勾三股四弦五”，奠定了直角三角形判定的基础．已知的三边分别为，下列可以判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 6．若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 7．对于正数，规定，例如：，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2023.5 D．2022.5 8．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 10．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为_______． 12．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 13．，则的值为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点O在原点，顶点B在x轴上，已知，，将等腰三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为______． 15．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 16．如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 18．计算： (1)； (2)． (3)． 19．如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 20．如图，已知中，． (1)尺规作图：在上分别确定点D和点E，使得，；（提示：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，请用等式表示和的数量关系为 ； （提示：（2）可在备用图中画草图分析） 21．某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款．若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元． (1)该社团成员总人数可能是180人吗？为什么？ (2)若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少？ 22．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 23．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．《周髀算经》记载“勾三股四弦五”，奠定了直角三角形判定的基础．已知的三边分别为，下列可以判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理、勾股定理逆定理和三角形三边关系，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解、A：∵，， ∴， ∴不是直角三角形，该选项不符合要求； B、∵，，， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形，该选项不符合要求； C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项符合要求； D、由可得， 根据三角形三边关系，任意两边之差应小于第三边，故满足条件的三角形不存在， ∴不是直角三角形，故该选项不符合要求． 2．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据“少”和“年”的坐标，确定平面直角坐标系的原点位置、x轴与y轴的正方向．观察“强”字在网格中的相对位置，根据坐标的定义，读取横坐标与纵坐标数值． 【详解】解：∵“少”的坐标为，“年”的坐标为， ∴“少”向右移动2格、向上移动2格是坐标原点，正好“年”向上移动1格也是原点． ∵原点向右移动1格，向上移动1格是“强”， ∴“强”的坐标为． 3．若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 4．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握方程组的求解与不等式的求解方法．先求出方程组的解，再将解代入，得到关于m的不等式求解即可． 【详解】解：方程组， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 5．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 6．若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，结合分式有意义的条件约分，再将分式变形，根据分式值为整数的条件，找出所有符合要求的整数即可． 【详解】解：对分子分母因式分解：，， ∵分式有意义要求分母不为， ∴，得且， 对原式约分变形：， 为整数，上式结果也为整数， 为整数，即是的整数约数，的所有整数约数为， 分别计算对应的值： ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，不满足分式有意义，舍去； ，符合要求． 综上，符合条件的共有个． 7．对于正数，规定，例如：，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2023.5 D．2022.5 【答案】C 【分析】本题考查规律探究，分式的加法，通过观察函数的性质，发现与的和为1，利用这一规律将求和问题转化为简单计算． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ， 故选：C． 8．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由平行四边形的性质得，；由等腰三角形的性质及三角形内角和得，从而；在上取点G，连接，使，则，故有；再由得，得，即，从而确定答案． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在上取点G，连接，使， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； 故当，发生变化时，代数式的值不变； 10．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为_______． 【答案】1 【分析】先分别解两个不等式，得到含参数的解集表达式，再根据数轴确定不等式组的实际解集，通过对比对应端点值建立方程求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ， 解得， ． 12．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，利用直角三角形的性质可得，由，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 13．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 14．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点O在原点，顶点B在x轴上，已知，，将等腰三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为______． 【答案】 【分析】过点A作轴于C．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，…，6次一个循环，然后再求第100次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：过点A作轴于点C． ∵，， ∴， 在中，，，即， ∴，， ∴， ∴， ∵将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴、在y轴上，易得，； 与A关于y轴对称，则； 与关于x轴对称，则； 与关于y轴对称，则， 与A重合，即； ∴，，，，，，…，6次一个循环， ∵， ∴． 15．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 【答案】 【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解分式方程得， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得且， 可得的取值范围为且， 满足条件的整数为， 计算和为：． 16．如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据解不等式的步骤求解即可； （2）根据解不等式的步骤求解即可； （3）利用数轴表示解集即可； （4）根据公共部分确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得； （2）解：解不等式②，得； （3）解：将不等式①和②的解集在数轴上表示如图， <> （4）解：原不等式组的解集为． 18．计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明可得，利用等边对等角可得，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 20．如图，已知中，． (1)尺规作图：在上分别确定点D和点E，使得，；（提示：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，请用等式表示和的数量关系为 ； （提示：（2）可在备用图中画草图分析） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画圆，交于点，即可确定；作线段的垂直平分线交于点，即可确定； （2）根据角之间的关系求解即可； 【详解】（1）点、点位置作图如下： （2）由图可知：，， ， ， 得：， ， ， ， ． 21．某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款．若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元． (1)该社团成员总人数可能是180人吗？为什么？ (2)若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少？ 【答案】(1)该社团可能180人， 方法一： 设该社团成员有人， 依题意得：， 解得， 因为180在的范围内， 所以该社团成员总人数可能是180人． 方法二： 小于200，只能按零售价买， 180加上40超过200，按批发价买 该社团可能180人． (2)该社团成员有200人 【分析】（1）根据原人数零售价（）、人数批发价（）列不等式组，求解人数取值范围，判断180是否在范围内． （2）设社团人数为未知数，用人数分别表示零售价、批发价，依据总价相等列分式方程，解方程并验根得到人数． 【详解】（1）解：略 （2）解：设该社团成员有人 ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该社团成员有200人． 22．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； ②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；（3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ，， 当，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 23．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点，点，点，点 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）先由绝对值的非负性与算术平方根的非负性求解a，b的值，由此可得点A，B的坐标，再根据平移的性质可得点C，D的坐标． （2）添加辅助线，过点M作，由平行线的性质可得，再由平角的定义即可得． （3）先求解出的面积，再表示出的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴且，解得，， ∴点，点， ∵先将点A向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点C， ∴点，即点， ∵将点B向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点D， ∴点，即点． （2）解：，理由如下： 过点M作，如图， 则有， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即． （3）解：由（1）可知，点，点，点，点， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴，即， 则有， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $