素能培优(8)　数列中的奇数项、偶数项问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列中的奇偶数项问题”专题，依据高考评价体系梳理了通项含(-1)^n、连续两项和或积、含{a₂ₙ}/{a₂ₙ₋₁}等四大核心题型，通过近三年高考真题分析明确“分奇偶项构建新数列”占60%的高频考点，形成系统的解题策略。 课件亮点在于“真题解析+规律提炼+素养提升”的备考路径，如例2通过两式相减推导奇偶数项公差，培养学生数学思维与逻辑推理能力。特设“规律方法总结”和“对点训练”，帮助学生掌握“分拆数列”技巧，教师可据此开展针对性教学，助力学生高效突破数列难点。

素能培优(八)　数列中的奇数项、偶数项问题 高考总复习 2027 求解数列中的奇、偶项问题,可以把一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 数列中奇、偶项问题的常见题型有: (1)通项中含有(-1)n的类型; (2)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n)); (3)含有{a2n},{a2n-1}的类型; (4)已知条件明确的奇、偶项问题. 题型一　通项中含有(-1)n的数列问题 例1　(1)(2026·福建宁德模拟)已知数列{an}满足a1=2,a2=4,an+2-an=(-1)n+3,则数列{an}的前20项和为　　　　.  330 解析 由题意,当n为奇数时,an+2-an=(-1)+3=2,又a1=2,所以数列{a2n-1}是公差为2,首项为2的等差数列,所以a2n-1=2+2(n-1)=2n.当n为偶数时,an+2-an =1+3=4,又a2=4,所以数列{a2n}是公差为4,首项为4的等差数列,所以a2n=4+4(n-1)=4n,所以S20=a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) =(2+4+…+20)+(4+8+…+40)=330. 题型一 题型二 题型三 (2)(2026·四川成都开学考试)数列{an}满足an+1=(-1)nan+n(n∈N*),则{an}的前100项和为　　　　.  2 500 解析 因为an+1=(-1)nan+n,即an+1+(-1)n+1an=n. 当n=1时,a2+a1=1,当n=3时,a4+a3=3,当n=5时,a6+a5=5,当n=7时, a8+a7=7,…,当n=99时,a100+a99=99, 所以a1+a2+…+a100=1+3+5+…+99==2 500. 题型一 题型二 题型三 规律方法　当数列的通项公式或递推公式中含有(-1)n时,一种方法是对n分奇数和偶数两种情况分别讨论,得到数列的奇数项与偶数项的规律,然后写出通项公式,再解决其他问题;当涉及求和问题时,另一种方法是根据求和的式子,对通项公式或递推公式中的n进行赋值,通过并项转化的方法解决求和问题. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](多选题)(2025·辽宁锦州模拟)在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan =2,前n项的和为Sn,则(　　) A.a2a4的最大值为1 B.数列{a2n-1}是等差数列 C.数列{a2n}是等差数列 D.S25=181 ABD 题型一 题型二 题型三 解析 对于A,当n=2时,有a4+a2=2,若a4>0,a2>0时,由基本不等式可得2=a4+a2≥2(当且仅当a4=a2=1时取等号),所以a2a4≤1;若a2,a4中有一个为0或负值时,a2a4≤0;若a4<0,a2<0时,a4+a2=2不可能成立,故a2a4的最大值为1,故A正确.对于B,当n为奇数时,有an+2-an=2,所以数列{a2n-1}是等差数列,故B正确.对于C,当n为偶数时,有an+2+an=2,只有an+2=an=1时,数列{a2n}是等差数列,否则数列{a2n}不是等差数列,故C错误.对于D, S25=(a1+a3+…+a25)+(a2+a4+…+a24)=13×1++6×2=181,故D正确.故选ABD. 题型一 题型二 题型三 题型二　已知数列中连续两项的和(积) an+an+1=f(n)(或anan+1=f(n)) 例2　(2025·河南许昌模拟)已知数列{an}满足an+an+1=3n+1(n∈N*),前n项和为Sn. (1)若a1=2,求{an}的通项公式; (2)求S100; (3)当a1取何值时{an}为等差数列?求此时{an}的通项公式. 题型一 题型二 题型三 解 (1)因为an+an+1=3n+1, 所以an+1+an+2=3n+4, 两式相减得an+2-an=3. 所以数列{an}的奇数项和偶数项均构成公差为3的等差数列. 又a1=2,a1+a2=4,所以a2=2. 因此当n为奇数时,an=2+(-1)×3=, 当n为偶数时,an=2+(-1)×3=. 故数列{an}的通项公式为an= 题型一 题型二 题型三 (2)令bn=an+an+1=3n+1,则{bn}是首项为4,公差为3的等差数列, 所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a99+a100)=b1+b3+b5+…+b99 =50×4+×6=7 550. 题型一 题型二 题型三 (3)由(1)知,数列{an}的奇数项是首项为a1,公差为3的等差数列,所以a3=a1+3; 偶数项是首项为a2=4-a1,公差为3的等差数列. 如果{an}为等差数列,则有a1+a3=2a2,即a1+(a1+3)=2(4-a1),解得a1=, 经检验,当a1=时,{an}为等差数列. 此时{an}的公差为d=, 所以an=+(n-1)×n-. 题型一 题型二 题型三 规律方法　当已知数列中连续两项的和(积)an+an+1=f(n)(或anan+1=f(n))时,可通过赋值,令n取n+1,再写出一个式子,然后将两式相减(相除),得到an与an+2的关系式,从而确定数列奇数项与偶数项的规律,即可得到数列的通项公式,解决相关问题. 题型一 题型二 题型三 [对点训练2](2026·河北石家庄模拟)已知正项数列{an}满足anan+1=((n∈N*). (1)若a1=,求{an}的通项公式; (2)若{an}为等比数列,求{an}的通项公式. 题型一 题型二 题型三 解 (1)因为anan+1=(,所以an+1an+2=(, 两式相除得, 所以{an}的奇数项和偶数项均构成公比为的等比数列. 又a1=,a1a2=,所以a2=. 因此当n为奇数时,an=×(×(, 当n为偶数时,an=×(=(. 故{an}的通项公式为an= 题型一 题型二 题型三 (2)由(1)知,数列{an}的奇数项是首项为a1,公比为的等比数列,所以a3=a1, 又a1a2=(,所以a2=,即偶数项是首项为a2=,公比为的等比数列. 如果{an}为等比数列,则有a1a3=, 即a1×a1=()2,解得a1=(a1=-舍去), 经检验,当a1=时,{an}为等比数列. 此时{an}的公比为q=, 所以an=×()n-1=(. 题型一 题型二 题型三 题型三　奇、偶项通项公式不同的数列求和 例3　(2023·新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn. 题型一 题型二 题型三 (1)解 设等差数列{an}的公差为d. 由bn=得b1=a1-6,b2=2a2=2(a1+d),b3=a3-6=a1+2d-6.则由S4=32,T3=16,得 解得 所以an=a1+(n-1)d=2n+3. 题型一 题型二 题型三 (2)证明 由(1)可得Sn==n2+4n. 当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6 =(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7) +(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]=.当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn. 题型一 题型二 题型三 当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an =(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+…+(2n-5)] +[14+22+…+(4n+6)]=. 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0, 所以Tn>Sn. 综上可知,当n>5时,Tn>Sn. 题型一 题型二 题型三 规律方法　对于奇、偶项通项公式不同的数列{an},求其前n项和Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以先求出S2k,再利用S2k-1= S2k-a2k,求S2k-1. 题型一 题型二 题型三 [对点训练3]已知数列{an}满足a1+a3=2a2,an+1=数列{cn}满足cn=a2n-1. (1)求数列{cn}和{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 题型一 题型二 题型三 解 (1)由an+1=得a2=3a1,a3=a2+2=3a1+2. a1+a3=2a2,即a1+3a1+2=6a1,解得a1=1.由cn=a2n-1,得c1=a1=1,cn+1=a2n+1. 又a2k=3a2k-1,a2k+1=a2k+2,k∈N*,故a2k+1=3a2k-1+2, 所以ck+1=3ck+2,即cn+1=3cn+2, 所以cn+1+1=3(cn+1). 又c1+1=2,所以数列{cn+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以cn+1=2·3n-1,所以cn=2·3n-1-1. 又a2n-1=2·3n-1-1,故a2n=3a2n-1=2·3n-3, 所以an= 题型一 题型二 题型三 (2)当n为偶数时,Sn=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=4(a1+a3+…+an-1) =4(c1+c2+…+)=4×[]=4·-2n-4; 当n为奇数时,Sn=Sn+1-an+1=4·-2(n+1)-4-(2·-3)=2·-2n-3. 综上所述,Sn= 题型一 题型二 题型三 $