素能培优(9)　球与几何体的切、接问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“球与几何体的切、接问题”核心考点，依据高考评价体系梳理外接球（定义法、补形法）和内切球（等体积法、截面法）两大考查方向，结合2022新高考Ⅱ、2020全国Ⅲ等真题分析，明确正三棱台、正四棱锥外接球及圆锥内切球等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精析+通法提炼+素养提升”，如正三棱台外接球通过轴截面转化为平面几何问题，培养几何直观；四面体补形为长方体，发展空间观念。归纳“定球心—作截面—求半径”三步法，帮助学生掌握空间问题平面化技巧，教师可利用对点训练精准突破高频考点，助力高效复习。

素能培优(九)　球与几何体的切、接问题 高考总复习 2027 解决球与几何体的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,一般步骤如下, (1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系),达到空间问题平面化的目的. (3)求半径:根据作出截面中的几何元素,利用球的截面的性质,运用公式R2=r2+d2(r为底面多边形的外接圆的半径,R为几何体的外接球的半径,d为球心到底面的距离),建立关于球半径的方程. 题型一　定义法确定外接球球心 例1　(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π A 解析 设外接球的半径为R,由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所得圆的半径是4,在轴截面中,设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2,则d1=,d2=,故|d1-d2|=1或|d1+d2|=1,由几何知识可得=1,或=1,解得R2=25符合题意.因此球的表面积是S=4πR2=4π·25=100π.故选A. 题型一 题型二 题型三 思维升华　由球的定义确定球心的常见情况 (1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. (2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点. (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的连线的中点. (4)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过构造直角三角形,利用勾股定理求得. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2025·江苏苏北四市高三期末)已知正四棱锥的底面边长为2,侧面积为4,则该四棱锥的外接球的表面积为(　　) A. B. C.24π D. B 题型一 题型二 题型三 解析 设正四棱锥的斜高为h0,高为h,外接球的半径为R,AC,BD相交于点G.因为正四棱锥的侧面积为4,则4××2×h0=4,解得h0=. 取AB的中点M,连接GM,故GM=AD=1,PM=,则正四棱锥的高PG=h=. 因为OP=OA=R,则OG=PG-PO=-R,其中 GA=AC=,则OA2=OG2+GA2, 即R2=(-R)2+()2,解得R=, 则该四棱锥的外接球的表面积为4π×()2=.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型二　能补形为长方体的外接球 例2　已知四面体A-BCD中,AB=CD=2,AC=BD=,AD=BC=,则四面体A-BCD外接球的体积为(　　) A.45π B. C. D.24π C 题型一 题型二 题型三 解析 设四面体A-BCD的外接球的半径为R.因为四面体的对棱相等, 所以可以把它看成是由长方体的面对角线组成的几何体.设四面体A-BCD在一个长、宽、高为a,b,c的长方体中,如图. 则 故R=,故四面体A-BCD外接球的体积为V=πR3=π×. 题型一 题型二 题型三 思维升华　1.墙角模型:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=,求出R. 图1 图2 图3 2.对棱相等:对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等,这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线. 题型一 题型二 题型三 [对点训练2]《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD, PA=AB=2AD=2,则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为　 .  　9π 题型一 题型二 题型三 解析 将该阳马P-ABCD放入长方体中,如图,则三棱锥P-BCD的外接球与长方体的外接球相同,故外接球的直径为PC==3, 则外接球的表面积为4π()2=9π. 题型一 题型二 题型三 题型三　内切球 例3　(1)已知正四棱锥P-ABCD内切球的半径为-1,且PA=AB,则正四棱锥P-ABCD的体积是(　　) A. B. C. D. D 题型一 题型二 题型三 解析 在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,AC∩BD=O',连接PO',则PO'⊥平面ABCD. 设PA=AB=a,则O'A=a,O'P=.由等体积法可得S四边形ABCD·PO'=(S四边形ABCD+4S△PAB)·r,故a2·(a2+4×a2×)×(-1),解得a=2,故VP-ABCD=a2·×16.故选D. 题型一 题型二 题型三 (2)(2020·全国Ⅲ,理15,文16)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　　.  题型一 题型二 题型三 解析 (方法1)由题意可知圆锥轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆. 如图,SB=3,BC=1,SC==2. 设该球内切于母线SB,切点为点O. 令OC=OD=R,由△SOD∽△SBC得,即, 解得R=. 因此V球=πR3=π·. 题型一 题型二 题型三 (方法2)由题意可知该圆锥的轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.该三角形的周长为8,面积为2,由于三角形面积S,周长C和内切圆半径R的关系为S=,即R=,故该球的体积为 V球=πR3=π·. 题型一 题型二 题型三 思维升华　1.求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决. 2.求多面体的内切球半径经常使用等体积法. 如图,在四棱锥P-ABCD中,内切球为球O,求球半径r. 方法如下:VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB,即VP-ABCD =S△PAB·r,可求出r. 题型一 题型二 题型三 3.内切球独立截面法: (1)画出过球心和切点的大圆的截面图; (2)在截面中,找到和球半径相关的直角三角形; (3)利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径. 题型一 题型二 题型三 [对点训练3](2025·全国2,14)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大 值为　　　　　 cm.  题型一 题型二 题型三 解析 作出轴截面ABCD,如图所示.由题意, 两球半径相等,所以图中两圆的切点M到AD的距离为4,到DC的距离为.过点M作AD的平行线与过点O1作DC的平行线相交于点N.设两球的半径为r,在Rt△MO1N中,由MN2+O1N2=O1M2,得(4-r)2+(-r)2=r2,即4r2-68r+145=0,解得r=或r=(舍).所以最大值为. 题型一 题型二 题型三 $