6.1　数列的概念与简单表示法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念与简单表示法”专题，覆盖由an与Sn关系求通项、递推关系求通项、数列周期性单调性及最值等核心考点。依据高考评价体系分析近五年真题，明确“一大一小”题型占比及数学运算、逻辑推理素养考查要求，归纳常考题型如累加法累乘法求通项等，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，以2025福建模拟题为例详解由Sn求an的“三步流程”，通过累加法解决递推关系培养数学思维。设“规律方法”总结及“对点训练”，帮助学生掌握周期性判断、单调性参数范围等技巧，教师可据此系统教学，助力学生高效冲刺高考。

第1节　数列的概念与简单表示法 高考总复习 2027 备考路径 考点 考题 考情分析 等差数列 2025全国2,第7题;2025全国1,第16题; 2024新高考Ⅰ,第19题;2024新高考Ⅱ,第12题; 2023新高考Ⅰ,第20题;2023新高考Ⅱ,第18题; 2022新高考Ⅱ,第3题;2021新高考Ⅰ,第17题; 2021新高考Ⅱ,第17题 从题型和题量上看,高考对本专题的考查多为“一大一小”的形式,有时也只考一道解答题.从内容上看,小题主要考查等差、等比数列基本量的运算,等差、等比数列的性质及递推数列的关系等.解答题主要考查数列通项公式的求解、等差(等比)数列的判断与证明、数列求和等综合问题 等比数列 2025全国1,第13题,2025全国2,第9题; 2024新高考Ⅱ,第19题;2023新高考Ⅱ,第8题 等差数列与等比数列的交汇 2022新高考Ⅱ,第17题 数列求和问题 2025全国1,第16题;2023新高考Ⅱ,第18题; 2022新高考Ⅰ,第17题;2021新高考Ⅰ,第16题 课标解读　1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.能利用an与Sn的关系以及递推关系求数列的通项公式.3.了解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版选择性必修第三册5.1.1节练习B第2(1)题)数列,…的一个通项公式为　　　　　　　.  an= 解析 分子都是1,分母分别为21,22,23,24,…. 2.(人教A版选择性必修第二册4.1节练习第2(2)题改编)已知数列{an}满足a1=3,an=an-1+1(n≥2),则a4=　　　　　.  3 解析 a2=a1+1=3,a3=a2+1=3,a4=a3+1=3. 3.(人教A版选择性必修第二册4.1节练习第4题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则a4=　　　　.  -14 解析 a4=S4-S3=-32-(-18)=-14. 4.(人教B版选择性必修第三册习题5-1B第4题改编)数列{an}中,an=,则数列{an}是(　　) A.递增数列　　　　B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 B 解析 因为an=,所以an+1=,于是an+1-an=<0,因此数列{an}是递减数列.故选B. 知识梳理 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照　　　　　　　排列的一列数  数列的项 数列中的　　　　　  通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式   并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=　　　 　  确定的顺序 每一个数 a1+a2+…+an 微点拨 从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值就是数列{a n}. 2.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,则an= 误区警示 切记公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,根据Sn求an时一定要注意检验a1的值是否适合an=Sn-Sn-1. S1　 Sn-Sn-1 3.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列 an+1>an n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它前一项,有些项小于它前一项 微思考 数列的单调性与对应函数的单调性相同吗? 提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)=(x-)2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列. 研考点•精准突破 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 考向1　已知Sn求an 例1　(1)[一题多变](2025·福建福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-3n+1,则数列{an}的通项公式为 .  an= 解析 当n=1时,a1=S1=12-3×1+1=-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-3n+1)-[(n-1)2-3(n-1)+1]=2n-4,且a1=-1不适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·江苏南京模拟)已知正项数列{an}满足+…+,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  an= 解析 当n=1时,,又数列{an}为正项数列,所以a1=. 当n≥2时,由+…++…+, 两式相减得,所以. 又数列{an}为正项数列,所以an=,且a1=适合上式, 故数列{an}的通项公式为an=. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](改变Sn的表达式)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-3n,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  an=2n-4 解析 当n=1时,a1=S1=12-3×1=-2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-3n)-[(n-1)2-3(n-1)]=2n-4,且a1=-2适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-4. 考点一 考点二 考点三 [变式2](由前n项的积求通项公式)已知数列{an}满足a1a2a3…an=n2,则数列 {an}的通项公式为　　 　　　　.  an= 解析 当n=1时,a1=1,当n≥2时,由a1a2a3…an=n2得a1a2a3…an-1=(n-1)2,两式相除得an=,而a1=1不适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 考点一 考点二 考点三 规律方法　已知Sn求an的流程 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式; (3)注意检验n=1时的值是否可以与n≥2时的表达式合并.若不能合并,需用分段函数的形式表示. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2025·湖北十堰模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=3n-n,则a5=(　　) A.153 B.161 C.163 D.238 B 解析 因为Sn=3n-n,则a5=S5-S4=35-5-34+4=161.故选B. 考点一 考点二 考点三 考向2　已知Sn与an的关系式求an 例2　(1)(2026·湖北荆州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an-2,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  an=-3×(-)n-1 考点一 考点二 考点三 解析 因为Sn=an-2, 所以当n≥2时,Sn-1=an-1-2, 两式相减得Sn-Sn-1=(an-2)-(an-1-2),即an=an-an-1, 则an=-an-1,于是=-, 因此数列{an}是公比为-的等比数列. 又当n=1时,a1=a1-2,解得a1=-3,所以an=-3×(-)n-1, 故数列{an}的通项公式为an=-3×(-)n-1. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·安徽安庆模拟)已知正项数列{an}中,a1=4,且(n≥2),其中Sn为数列{an}的前n项和,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  an=8n-4 解析 因为当n≥2时,, 又an=Sn-Sn-1,所以. 由于{an}为正项数列,所以Sn>0,Sn-1>0,于是,则=1,即=2. 又=2,所以数列{}是以2为首项,2为公差的等差数列,于是=2+2(n-1)=2n,则Sn=4n2. 考点一 考点二 考点三 (方法1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-4(n-1)2=8n-4,且a1=4适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=8n-4. (方法2)当n≥2时,代入 =2n+2n-2=4n-2, 于是an=8n-4,且a1=4适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=8n-4. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用an与Sn的关系式求通项公式 已知an与Sn的关系式求an时,一般有两种基本思路: (1)消去Sn,根据已给出的关系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再写出一个式子,然后将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定与an有关的数列是等差数列或等比数列,然后求出其通项公式; (2)消去an,在an与Sn的关系式中,将an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn与Sn-1的关系,从而确定与Sn有关的数列是等差数列或等比数列,求出Sn后再求得an. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2026·广东深圳模拟)记数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,若Sn=2an(n≥2),则a2 026=(　　) A.22 023 B.22 024 C.22 025 D.22 026 C 解析 因为当n≥2时,Sn=2an,所以当n≥3时,Sn-1=2an-1,两式相减得an=2an-2an-1,则an=2an-1,即=2.又S2=2a2,a2=2,则a1=a2=2,不满足=2,所以数列{an}从第2项起为等比数列,则an=2×2n-2=2n-1(n≥2),于是a2 026=22 025.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点二　由数列的递推关系求通项公式 例3　(1)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　.  解析 由题意a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).以上各式相加, 得an-a1=2+3+…+n=. 又因为a1=1,所以an=(n≥2). 因为当n=1时,a1=1也满足此式,所以an=. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·山东济南模拟)在数列{an}中,满足a1=1,an+1=(n∈N*),则an=　　　　.  解析 因为an+1=,所以. 则有,…,(n≥2). 以上各式相乘得, 又a1=1,所以an=. 显然a1=1满足上式,则an=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　累加法、累乘法求通项公式 方法 适用类型 要点 累加 法 an+1=an+f(n),变形为an+1-an =f(n) 利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)(n≥2,n∈N*)求解 累乘 法 an+1=f(n)an,变形为=f(n) 利用恒等式an=a1··…· (an≠0,n≥2,n∈N*)求解 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2026·四川成都模拟)已知数列{an}满足a1=1, an+1=an+2n(n∈N*),则a10=(　　) A.210-1 B.211+1 C.210+1 D.211-1 A 解析 由已知得an+1-an=2n,所以当n≥2时,a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1 =2+22+23+…+2n-1,又a1=1,所以an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,所以a10=210-1.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)已知数列{an}满足a1=1,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式为an=(　　) A.2n-1 B.()n-1 C.n2 D.n D 解析 由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即,则,…,,n≥2,由累乘法可得=n,又a1=1,所以an=n,n≥2.又a1=1符合上式,所以an=n.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点三　数列的性质 考向1　数列的周期性 例4　(2026·海南海口期中)已知数列{an}中,a1=-,an+1=1-,则a2 026=(　　) A.5 B. C. D.- D 解析 由于an+1=1-,且a1=-,所以当n=1时,a2=1-=5; 当n=2时,a3=1-;当n=3时,a4=1-=-,所以数列{an}是周期为3的数列.由于2 026=3×675+1,因此a2 026=a1=-.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　数列周期性及其应用 数列是一种特殊的函数,也具有周期性.一般可利用所给的数列的递推公式,结合首项,求出数列的前几项,观察发现数列是否具有周期性,并确定数列的周期,再解决相关的求值问题. 考点一 考点二 考点三 考向2　数列的单调性 例5　(2026·湖南长沙开学考试)数列{an}的通项公式为an=n2-kn(n∈N*),且{an}为递增数列,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3] B 解析 由于数列{an}是递增数列,则an+1>an对n∈N*恒成立,即(n+1)2-k(n+1)>n2-kn,整理得k<2n+1对n∈N*恒成立,因为函数f(n)=2n+1在n∈N*时单调递增,则k<f(1)=3.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　数列的单调性及其应用 (1)判断数列的单调性,一般运用作差法或作商法,即由an+1-an的符号或与1的大小关系,确定数列的增减性,也可借助相应函数的图象进行判断. (2)根据数列的单调性求参数取值范围时,可通过an+1>an(或an+1<an)对n∈N*恒成立进行求解. 考点一 考点二 考点三 考向3　数列的最值 例6　(1)(2026·北京西城模拟)若数列{an}的通项公式为an=(n+3)(10-n),则数列{an}的最大项为(　　) A.40 B. C.42 D.3或4 C 解析 因为an=(n+3)(10-n)=-n2+7n+30=-(n-)2+,由于n∈N*,所以当n=3或n=4时,an取最大值,且最大值a3=a4=42.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·辽宁锦州期中)已知an=n·()n+2,则数列{an}中的最大项为(　　) A.a6 B.a5或a6 C.a3或a4 D.a4或a5 D 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)假设数列{an}中的最大项为ak(k≥2,且k∈N*),则整理得解得即4≤k≤5,所以k=4或k=5,数列{an}中的最大项为a4或a5.故选D. (方法2)因为an=n·()n+2>0,则.令>1,解得n<4,则当n<4时,an+1>an,即a4>a3>a2>a1,同理当n>4时,an+1<an,即a5>a6>a7>a8>…,而当n=4时,可得a5=a4,所以数列{an}中的最大项为a4或a5.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求数列最大项或最小项的方法 (1)函数法:将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值,根据f(x)的类型作出相应的函数图象,或利用求函数最值的方法,求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项. (2)通项公式法:利用确定最大项,利用确定最小项. 考点一 考点二 考点三 (3)比较法:若有an+1-an=f(n+1)-f(n)>0(或当an>0时,>1),则an+1>an,即数列{an}是递增数列,所以数列{an}的最小项为a1=f(1);若有an+1-an=f(n+1)-f(n)<0(或当an>0时,<1),则an+1<an,即数列{an}是递减数列,所以数列{an}的最大项为a1=f(1). 考点一 考点二 考点三 $