素能培优(7)　数列中的构造问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列中的构造问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了形如\(a_{n+1}=pa_n + f(n)\)、分式型、幂型三大递推关系的考查要求，通过真题分析明确构造法在求通项公式中的高频考点地位，归纳出等比数列构造、倒数转化、对数变形等常考题型及对应策略，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“题型拆解+规律建模+真题演练”的复习模式，如例1通过引入参数将\(a_{n+1}=2a_n - 3\)转化为等比数列，培养数学思维；例3取对数将\(a_{n+1}=3a_n^2\)转化为线性递推，强化数学语言表达。包含2025 - 2026年多地模拟真题及变式训练，帮助学生掌握构造技巧，教师可据此系统开展专题教学，提升高考冲刺效率。

素能培优(七)　数列中的构造问题 高考总复习 2027 求数列的通项公式时,除了前面我们学习过的公式法、累加法、累乘法等,构造法也是一种重要方法.其基本思想是根据数列递推公式的特征,通过构造转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘法求解的数列)解决问题. 题型一　形如an+1=pan+f(n)型 例1　(1)(2026·湖南株洲期中)已知数列{an}的首项a1=4,且an+1=2an-3 (n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.  2n-1+3　 解析 因为an+1=2an-3,所以an+1-3=2(an-3), 因此数列{an-3}是公比为2的等比数列. 又a1=4,所以a1-3=4-3=1, 所以an-3=2n-1,故an=2n-1+3. 题型一 题型二 题型三 (2)若a1=1,an+1=2an-3n,n∈N*,则an=　　　 　　.  -5·2n-1+3n+3 解析 设an+1+λ(n+1)+u=2(an+λn+u),所以an+1=2an+λn+u-λ, 所以所以λ=u=-3, 所以=2, 所以数列{an-3n-3}是以a1-3-3=-5为首项,2为公比的等比数列, 所以an-3n-3=-5×2n-1, 所以an=-5·2n-1+3n+3. 题型一 题型二 题型三 (3)(2025·吉林长春模拟)已知数列{an}满足a1=2,且an+1=2an+2n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.  n·2n 解析 因为an+1=2an+2n+1, 所以+1, 即=1,又=1, 所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,故=n,则an=n·2n. 题型一 题型二 题型三 规律方法　 形式 构造方法 an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 引入参数c,构造新的等比数列{an+c} an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0) 引入参数x,y,构造新的等比数列{an+xn+y} an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 等式两边同时除以qn+1,构造新的数列{} 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](1)(2026·山东济南期末)已知数列{an}满足a1=2,且an=3an+1-1,则数列{an}的通项公式为　　　 　　　　.  an=·()n-1+ 解析 由an=3an+1-1可得an+1=an+, 所以an+1-(an-), 因此{an-}是公比为的等比数列, 又a1=2,所以a1-, 所以an-·()n-1, 于是an=·()n-1+. 题型一 题型二 题型三 (2)已知数列{an}的首项为a1=2,an+1=an+2n+,则{an}的通项公式是　　　　　　　　.  an=()n-1+3n-2　 题型一 题型二 题型三 解析 an+1=an+2n+,设an+1+A(n+1)+B=(an+An+B), 即an+1=an-An-A-B, 则解得 又a1-3+2=1,所以{an-3n+2}是首项为1,公比为的等比数列. 故an-3n+2=()n-1, 故an=()n-1+3n-2. 题型一 题型二 题型三 (3)(2026·云南昆明模拟)已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=3an+2n,则数列{an}的通项公式为　　　　　.  an=3n-2n 解析 因为an+1=3an+2n,所以an+1+2n+1=3an+2n+2n+1,化简得an+1+2n+1=3(an+2n),又a1+2=3,则{an+2n}是以3为首项,3为公比的等比数列,得an+2n=3n,所以an=3n-2n. 题型一 题型二 题型三 题型二　形如an+1=型 例2　[一题多变](2026·广东河源期末)已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=,则数列{an}的通项公式为　 .  an= 题型一 题型二 题型三 解析 因为an+1=,两边取倒数得, 所以,即, 因此数列{}是公差为的等差数列, 又a1=,所以, 于是+(n-1)·,故an=. 题型一 题型二 题型三 AI变式 [变式](改变常数值)若数列{an}的首项a1=,且满足an+1=,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.  an= 题型一 题型二 题型三 解析 因为an+1=,两边取倒数得, 所以, 因此-1=×(-1), 即{-1}为等比数列,由a1=-1=, 所以-1=×()n-1=, 整理得an=. 题型一 题型二 题型三 规律方法　对于形如an+1= bn+1 bn 的表达式,再求an. 题型一 题型二 题型三 题型三　形如an+1=p型 例3　(2025·安徽安庆二模)数列{an}满足a1=1,an+1=3,则{an}的通项公式为　　　　　　　　.  an= 解析 因为an+1=3,两边取对数得log3an+1=2log3an+1, 令bn=log3an,则bn+1=2bn+1,于是bn+1+1=2(bn+1), 因此{bn+1}是公比为2的等比数列, 又b1+1=log3a1+1=1,于是bn+1=1×2n-1, 所以bn=2n-1-1,即log3an=2n-1-1,故an=. 题型一 题型二 题型三 思维升华　对于形如an+1=p的数列的递推关系式,可以两边同时取对数得到logkan+1=qlogkan+logkp,若令bn=logkan,则有bn+1=qbn+logkp,此时转化为an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的形式,可通过构造等比数列进行求解. 题型一 题型二 题型三 [对点训练2](2026·山西晋城模拟)在数列{an}中,已知a1=8,an+1=2,则数列{an}的通项公式为　　 　　　　.  an= 题型一 题型二 题型三 解析 因为an+1=2, 两边取对数得log2an+1=log2+1, 即log2an+1=log2an+1. 令bn=log2an,则bn+1=bn+1,于是bn+1-2=(bn-2), 所以{bn-2}是公比为的等比数列. 又b1-2=log2a1-2=log28-2=1, 所以bn-2=()n-1, 即bn=()n-1+2,则log2an=()n-1+2,故an=. 题型一 题型二 题型三 $