6.2等差数列课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等差数列”专题，覆盖概念理解、通项公式、前n项和公式、性质应用等核心考点，依据课标要求梳理近五年高考真题，明确基本量运算、判定证明、性质应用三大高频题型，对接高考评价体系，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”，如以2023新高考Ⅰ等差数列充要条件证明题为例，用定义法和前n项和公式法培养逻辑思维，总结方程思想、整体思想等解题技巧，帮助学生掌握答题规律，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第2节　等差数列 高考总复习 2027 课标解读　1.理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第二册4.2.1节练习第2题改编)若m∈R,则32-m与 m-18的等差中项等于(　　) A.15-m B.m-15 C.7 D.14 C 解析 32-m与m-18的等差中项为=7.故选C. 2.(人教A版选择性必修第二册4.2.1节例2改编)等差数列-5,-9,-13,…的第10项为(　　) A.-41 B.31 C.-45 D.36 A 解析 等差数列的首项为-5,公差为-9-(-5)=-4,所以第10项为-5+9×(-4)=-41.故选A. 3.(人教B版选择性必修第三册5.2.1节练习A第5题改编)已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1,则数列{a3n}(　　) A.不是等差数列 B.是公差为2的等差数列 C.是公差为3的等差数列 D.是公差为6的等差数列 D 解析 因为an=2n-1,所以{an}的公差为2,又因为 a3n-a3(n-1)=(2×3n-1)-[2(3n-3)-1]=6,所以数列{a3n}是公差为6的等差数列.故选D. 4.(人教A版选择性必修第二册4.2.2节练习第4题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S13=13ak,则k的值等于(　　) A.5 B.7 C.8 D.9 B 解析 因为S13==13a7,所以k=7.故选B. 5.(人教A版选择性必修第二册4.2.2节练习第3题改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a9+a10+a11+a12等于　　　　　.  16 解析 在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8仍为等差数列,即8,20-8, a9+a10+a11+a12 为等差数列,所以a9+a10+a11+a12=16. 知识梳理 1.等差数列的有关概念 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 　　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的　　　　,通常用字母d表示.定义表达式为　　 　　　　　　　　  等差 中项 若三个数a,A,b组成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有2A=　　　  同一个常数 公差 an+1-an=d(n∈N*,d为常数) a+b 微点拨 1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2). 2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的. 2.等差数列的有关公式 公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率 通项公式 an=a1+(n-1)d 前n项和公式 Sn=　　　　  Sn=　　　　　　　　  　 　na1+ 微思考 在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于n的二次函数吗? 提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中, an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数. Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且A≠0)是二次函数;当公差为0时,数列为常数列,Sn=Bn不是二次函数. 3.等差数列的常用性质 (1)等差数列通项公式的推广:an=am+　　　(n,m∈N*).  (2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q,则　　　　　　　(m,n,p,q∈N*).  特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,t∈N*). at为am和an的等差中项 (3)若数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. 在等差数列中下标是等差数列的项组成的新数列仍为等差数列 数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d. (n-m)d　 am+an=ap+aq (4)若数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则{}也是等差数列,其首项与数列{an}的首项相同,公差是数列{an}的公差的. (5)若等差数列{an}的项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an. 研考点•精准突破 考点一　等差数列的基本量运算 例1　(1)(2025·全国2,7)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,由已知得解得所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.故选B. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版选择性必修第二册4.2.2节第23页练习3)在等差数列{an}中,Sn为其前n项的和,且S4=6,S8=20,求S16. 解 (方法1)设公差为d,依题意有解得 于是S16=16×=72. (方法2)由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12仍然构成等差数列,即6,14,S12-S8,S16-S12, 所以S12-S8=22,S16-S12=30,于是S16=6+14+22+30=72. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变](2025·天津,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　) A.112 B.48 C.80 D.64 C 解析 因为Sn=-n2+8n,所以当n=1时,a1=S1=-12+8×1=7.当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9,a1=7满足上式,所以an=-2n+9.令an=-2n +9≥0,得n≤4,令an=-2n+9≤0,得n≥5,设数列{|an|}的前n项和为Tn,则数列{|an|}的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16,数列{|an|}的前12项和为T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12 =2×16-(-122+8×12)=80.故选C. 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·新高考Ⅱ,12)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　　.  95 解析 设等差数列{an}的公差为d. (方法1)由条件得解得 所以S10=10a1+×3=95. (方法2)解得则d=3,a9=20, ∴S10=5(a2+a9)=95. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](求和项数由具体数值变为一般的n)已知数列{an}的前n项和 Sn=-n2+8n,则数列{|an|}的前n项和Tn=　　　　 　　　.  解析 由于an=-2n+9,且当n≤4时,an>0,当n≥5时,an<0.所以当n≤4时,|an|=an,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+8n; 当n≥5时,|an|=-an,则Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-an =2S4-(a1+a2+a3+a4+a5+…+an)=2S4-Sn=32+n2-8n.故Tn= 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2026·安徽合肥期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=15,S7=14a10,则S5=(　　) A.65 B.60 C.55 D.50 A 解析 设等差数列{an}的公差为d,由S7=14a10,得7a4=14a10,即7(a1+3d)=14(a1+9d),则a1=-15d,又a1=15,所以d=-1, 所以S5=5×15+×(-1)=65.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·浙江绍兴期末)已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a4=3a7,则数列{|an|}的前20项之和为(　　) A.80 B.208 C.680 D.780 B 解析 设数列{an}的公差为d,因为a4=3a7,所以a1+3d=3(a1+6d),又d=2,所以a1+3×2=3(a1+6×2),解得a1=-15,所以an=-17+2n,前n项和Sn==n2-16n.令-17+2n>0,得n>,所以数列{an}的前20项中,前8项为负数,后12项为正数,所以|a1|+|a2|+…+|a20|=-a1-a2-…-a8+a9+a10 +…+a20=S20-2S8=202-16×20-2×(82-16×8)=208.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点二　等差数列的判定与证明 例2　(1)(2023·新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 C 考点一 考点二 考点三 解析 若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,则=a1+d=n+a1-,故为常数,则{}为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,若{}为等差数列,设=An+B,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1时也符合上式, 故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2022·全国甲,理17)设Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. ①证明:{an}是等差数列; ②若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. ①证明 由+n=2an+1,变形为2Sn=2nan+n-n2,记为(ⅰ)式, 又当n≥2时,有2Sn-1=2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2,记为(ⅱ)式, (ⅰ)-(ⅱ)并整理可得(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n≥2,n∈N*. 即an-an-1=1,n≥2,n∈N*,所以{an}是等差数列. ②解 由题意可知=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12, 所以an=-12+(n-1)×1=n-13,其中a1<a2<…<a12<0,a13=0, 则Sn的最小值为S12=S13=-78. 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2026·重庆万州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,S3=6且Sn+2-Sn=3an+1-an(n∈N*). (1)求证:{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{}的前n项和Tn. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 因为当n∈N*时,Sn+2-Sn=3an+1-an, 所以an+1+an+2=3an+1-an,即an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列. 因为a1=1,S3=6,即S3=3a2=6,所以a2=2,所以公差为a2-a1=1, 所以an=1+n-1=n,即数列{an}的通项公式为an=n. (2)解 由(1)知Sn=n×1+, 所以=2(), 因此Tn=2×(1-)+2×()+…+2×() =2×(1-+…+)=. 考点一 考点二 考点三 考点三　等差数列的性质及应用 考向1　等差数列项的性质 例3　(1)(2024·全国甲,文5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=(　　) A.-2 B. C.1 D. D 解析 因为{an}为等差数列,所以S9=9a5=1,解得a5=,于是a3+a7=2a5=2×.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·湖南湘东教学联盟联考)已知等差数列{an}满足a2+a4+…+a2n=2n2+n,则其前20项的和S20为(　　) A.190 B.360 C.400 D.440 C 解析 (方法1)令bn=a2n,设{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则由a2+a4+…+a2n=2n2+n可得Tn=b1+b2+…+bn=2n2+n.由Tn=2n2+n,易求得bn=4n-1,因此an=2n-1,于是Sn==n2,则S20=202=400.故选C. (方法2)设等差数列{an}的公差为d,令n=1,得a2=3=a1+d,令n=2,得a2+a4=10,则a4=7=a1+3d,解得a1=1,d=2,所以S20=20a1+d=20×1+×2=400.故选C. 考点一 考点二 考点三 考向2　等差数列前n项和的性质 例4　(1)(2026·广东韶关期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=2S6=6,则S9=(　　) A.-9 B.-6 C.-3 D.9 A 解析 由已知得S3=6,S6=3,易知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, 所以2(S6-S3)=S3+S9-S6, 所以S9=3S6-3S3=3×3-3×6=-9.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)已知等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为(　　) A.30 B.29 C.28 D.27 B 解析 (方法1)奇数项共有n+1项,其和为·(n+1)=·(n+1)=290,所以(n+1)an+1=290.偶数项共有n项,其和为·n=·n=nan+1=261,所以an+1=290-261=29.故选B. (方法2)由等差数列前n项和的性质,可知当项数为2n+1时,an+1=S奇-S偶=290-261=29.故选B. 考点一 考点二 考点三 (3)[一题多变]两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,则等于(　　) A. B. C. D. A 解析 因为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,所以.故选A. 考点一 考点二 考点三 (4)(2026·浙江宁波期末)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,设Tn为数列{}的前n项和,若S6=12,S12=168,则Tn=　　　　.  n2-9n 解析 根据等差数列的性质知,数列{}为等差数列. 设数列{}的公差为d,因为=2,=14, 所以d==2, 又+5d,所以=-8,于是Tn=(-8)n+·2=n2-9n. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](由项数相同变为项数不同)两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,则的值等于　　　　　.  　 解析 ,可设Sn=kn(5n+2),Tn=kn(n+3),k≠0,则. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用等差数列前n项和的性质解题的关注点 (1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn=中,Sn与a1+an可以相互转化. (2)在等差数列中,前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来,相互转化. (3)在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,并不是Sm,S2m,S3m成等差数列,在运用时注意区分. (4)在等差数列中,性质并不一定成立,应用时注意区分. 考点一 考点二 考点三 考向3　等差数列前n项和的最值问题 例5　设Sn为等差数列{an}的前n项和,且满足a1<0,S3=S9,则当Sn取得最小值时,n的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 B 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)设{an}的公差为d,由S3=S9得3a1+d=9a1+d,整理得 a1=-d,于是Sn=n×(-d)+d=n2-6dn=[(n-6)2-36].因为a1<0,所以d>0.因此当n=6时,Sn取得最小值.故选B. (方法2)设{an}的公差为d,由S3=S9得a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7)=0.因此a6+a7=0.因为a1<0,所以d>0.从而a6<0,a7>0,所以当Sn取得最小值时,n的值为6.故选B. (方法3)设{an}的公差为d,由S3=S9得3a1+d=9a1+d,整理得a1=-d,于是an=-d+(n-1)d=(n-)d.因为a1<0,所以d>0.因此当n≤6时,an<0,当n≥7时,an>0,故当n=6时,Sn取得最小值.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 考点一 考点二 考点三 $