6.2等差数列课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦等差数列专题，依据高考评价体系梳理了定义、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，分析了基本量运算、判定与证明、性质应用三大高频题型，结合2024新高考Ⅱ卷等真题实例，构建了系统的备考框架。 课件亮点在于“知识清单+真题探源+技巧提炼”的复习模式，如以2024新高考Ⅱ卷基本量运算题为例，用方程思想培养数学思维，通过项的性质题训练数学眼光，总结学霸笔记中的判定方法和最值技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准指导复习。

第二节　等差数列 1 知识清单 1.等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_____都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常 数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学表达式为 _______________________． (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝________． 差 同一个常数 an－an－1＝d(n≥2，d为常数) 返回导航 2 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝____________． (2)前n项和公式：Sn＝________＝___________________. 剖析　当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列；若公差d＜0，则为递减数列． 当公差d≠0时，前n项和Sn＝na1＋n2＋n是关于n的二次函数，且常数项为0. a1＋(n－1)d na1＋d 返回导航 3 3．等差数列的性质 (1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝ (n≠m)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ________________． ak＋al＝am＋an 返回导航 4 (3)若{an}为等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_____的等差数列． (4)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m， …(m∈N*)也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列． md 返回导航 5 【常用结论】 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 3．若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． 4．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则. 返回导航 6 5．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，. 返回导航 7 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) × √ × × 返回导航 8 2．(人教A版选修二P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝______． 6 解析：由等差数列的性质可得a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10，又a7＝12，所以d＝a7－a6＝2，所以a4＝a6－2d＝10－2×2＝6. 返回导航 9 3．(人教A版选修二P15T5改编)在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为__________． ，14， 解析：方法一　设这个等差数列为{an}，公差为d，则a1＝7，a5＝21.由a5＝a1＋4d，得21＝7＋4d，∴d＝，∴a2＝a1＋d＝7＋＝，a3＝a1＋2d＝14，a4＝a1＋3d＝7＋＝，∴插入的3个数依次为，14，. 方法二　设这个等差数列为{an}，则a3＝＝＝14，a2＝＝＝，a4＝＝＝，∴插入的3个数依次为，14，. 返回导航 10 4．(人教A版选修二P21例7改编)在一个等差数列{an}中，S10＝310，S20＝1 220，则S30＝________． 2 730 返回导航 11 解析：方法一　设{an}的公差为d，前n项和为Sn，由题意得解得 ∴S30＝30a1＋d＝30×4＋×6＝2 730. 返回导航 12 方法二　设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A2＋B2≠0)，由题意得解得∴S30＝302A＋30B＝900×3＋30×1＝2 730. 方法三　∵{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，即310，1 220－310，S30－1 220成等差数列，∴S30－1 220＝2×(1 220－310)－310，∴S30＝2 730. 返回导航 13 命题点一　等差数列基本量的运算 例　1 (1)(链接·2025年全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题可得 ⇒∴S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×(－3)＝－15.故选B. 返回导航 14 (2)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 95 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，∴解得∴an＝3n－7，∴S10＝＝＝95. 返回导航 15 真题探源　(1)(源自人教A版选修二P55复习参考题T3(2))《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A． B． C． D． 答案：A 返回导航 16 解析：设分的面包从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d)＝100，得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝.故选A. 返回导航 17 (2)(源自人教A版选修二P25T2改编)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5 ＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝_____． 1 解析：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得 解得∴a20＝a1＋19d＝1. 返回导航 18 学霸笔记：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． 返回导航 19 命题点二　等差数列的判定与证明 例2 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2. (1)求证：是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 返回导航 20 解析：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0. ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0. 即＝.又＝＝. 故数列是以首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知＝，∴Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝ 返回导航 21 学霸笔记： 返回导航 22 跟踪训练　(衔接·人教A版选修二P25T7)已知Sn是等差数列{an}的前n项和． (1)证明：数列是等差数列． (2)设Tn为数列的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn. 返回导航 23 解析：(1)证明：等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 所以＝＝， 故＝＝＝(常数)， 故是等差数列． 返回导航 24 (2)由于S4＝12，S8＝40， 故解得 故Sn＝n＋＝n2＋n，所以＝n＋1， 数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以Tn＝n＋＝n2＋n. 返回导航 25 命题点三　等差数列的性质 考向1　项的性质 例3 已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝_____． 4 解析：由题意有a2＋a6＝2a4，a3＋a7＝2a5，又a2＋a4＋a6＝3a4＝3⇒a4＝1，a3＋a5＋a7＝3a5＝9⇒a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝1＋3＝4. 返回导航 26 学霸笔记：项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 这一性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合． 返回导航 27 跟踪训练　(2026·济南模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2a7－a9＝4，则S9＝(　　) A．12　　　B．24　　　C．36　　　D．48 答案：C 解析：∵2a7－a9＝4，∴a5＋a9－a9＝4，∴a5＝4，∴S9＝＝＝9a5＝9×4＝36.故选C. 返回导航 28 考向2　和的性质 例4 (1)(2026·潍坊模拟)已知数列{an}是等差数列，，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 29 解析：由＝，得S4＝3S2，设S2＝m，m为非零实数，则S4＝3m，因为数列{an}是等差数列， 所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…，是以m为首项，m为公差的等差数列，所以S6－S4＝3m，S8－S6＝4m，解得S6＝6m，S8＝10m，所以＝＝.故选D. 返回导航 30 (2)(2026·太原模拟)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，已知，则＝ ________． 解析：由题意得＝＝＝，所以＝＝＝. 返回导航 31 学霸笔记：在等差数列中，性质是针对两个等差数列而言的，且等式中分子与分母的项数应该是相等的，不一定成立，应用时注意区分． 返回导航 32 跟踪训练　(1)(2026·南阳模拟)在等差数列{an}中，已知S8＝48，S12＝168，则S4＝(　　) A．－16 B．－14 C．－10 D．－8 答案：D 解析：根据等差数列前n项和性质，可得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S12－S8＋S4，即2(48－S4)＝168－48＋S4，解得S4＝－8.故选D. 返回导航 33 (2)在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 025＝________． 2 025 解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，所以是等差数列．因为＝2，所以的公差为1，又＝＝－2 023，所以是以－2 023为首项，1为公差的等差数列，所以＝－2 023＋2 024×1＝1，所以S2 025＝2 025. 返回导航 34 考向3　前n项和的最值问题 例5 (多选)(2026·平顶山模拟)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，若S7<S8＝S9>S10，则(　　) A．d<0 B．S10>S7 C．S8与S9是Sn的最大值 D．使Sn<0成立的n的最小值为17 答案：AC 返回导航 35 解析：对于A，由S7<S8＝S9，得a8＝S8－S7>0，a9＝S8－S9＝0，d＝a9－a8＝－a8<0，A正确；对于B，S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9＝0，B错误；对于C，由A知，数列{an}是递减等差数列，前8项都为正，第9项为0，从第10项起为负，因此S8与S9是Sn的最大值，C正确；对于D，S17＝＝17a9＝0，D错误．故选AC. 返回导航 36 学霸笔记：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值． 返回导航 37 跟踪训练　(衔接·人教A版选修二P23例9改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，d＝－2，则Sn的最大值为________．   30 解析：因为Sn＝n2＋(a1－)n＝－n2＋11n＝－(n－)2＋，所以当n＝5或6时，Sn取得最大值，最大值为30. 返回导航 38 1．(2026·桂林模拟)已知数列{an}为等差数列，若a1＋a2 025＝2 026，则a1 013＝(　　) A．2 026 B．2 025 C．1 013 D．1 012.5 答案：C 解析：数列{an}为等差数列，所以a1 013＝＝1 013.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 2．(2026·佛山模拟)－2 025是等差数列－5，…，－35，－37，…的(　　) A．第1 013项 B．第1 012项 C．第1 011项 D．第1 010项 答案：C 解析：由条件可知，等差数列的首项是－5，公差是－37－(－35)＝－2，所以等差数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－2)＝－2n－3，令an＝－2n－3＝－2 025，得n＝1 011.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 3．(2026·常德模拟)已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，前n项和为Sn，则a3＋S5＝(　　) A．14 B．30 C．42 D．60 答案：B 解析：因为等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d＝2，所以a3＋S5＝a1＋2d＋5a1＋d＝6a1＋12d＝30.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 4．(2026·河北多校联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝64，a3＋a4＝12a1，则a4＝(　　) A．22 B．24 C．28 D．36 答案：C 解析：由S4＝64，a3＋a4＝12a1可得解得a1＝4，d＝8，故a4＝a1＋3d＝28.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 5．(2026·泰安模拟)等差数列{an}满足a3＋a4＝4，a7＋a8＝8，则a15＋a16＝(　　) A．14 B．16 C．18 D．20 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a4＝4，a7＋a8＝8，可得8d＝(a7＋a8)－(a3＋a4)＝4，可得d＝，又由a15＋a16＝a7＋a8＋16d＝8＋16×＝16.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 6．(2026·淮安模拟)如果等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝15，S7＝63，那么a3的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：由S3＝3×＝7a4＝63，可得a2＝5，a4＝9，则a3＝(a2＋a4)＝＝7.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 7．(2026·南阳模拟)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则Sn＝(　　) A．n2＋21n B．－n2＋21n C．－n2＋19n D．n2＋19n 答案：B 解析：因为S10＝S11，则a11＝0，a11＝a1＋10d＝a1－20＝0，得a1＝20，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋21n.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 8．(2026·新乡模拟)某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有(　　) A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：依题意，该会场的座位构成以15为首项，2为公差的等差数列{an}，其前n项和Sn，则Sn＝15n＋×2＝n2＋14n，显然数列{Sn}是递增数列，S20＝680<700，S21＝735>700，由Sn≥700，得nmin＝21，所以该会场的座位至少有21排．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 9．(2026·苏州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝18，S9＝108，则(　　) A．数列{an}的公差为2 B．a5＝2a2 C．S6＝4S3 D．＝2 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：设等差数列{an}的公差为d，则解得4d＝4＋4×2＝12，a2＝a1＋d＝4＋2＝6，则a5＝2a2，B正确；对于C，Sn＝na1＋＝4n＋n(n－1)＝n2＋3n，S6＝62＋3×6＝54，S3＝32＋3×3＝18，故S6＝3S3，C错误；对于D，＝n＋3，所以＝(n＋4)－(n＋3)＝1，D错误．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 10．已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11>0，S12<0，则(　　) A．a6>0 B．d<0 C．{Sn}中S7最大 D．|a4|<|a9| 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：因为数列{an}为等差数列，则S11＝0，可得a6>0，故A正确；且S12＝<0，则a1＋a12＝a6＋a7<0，可得a7<0，所以公差d＝a7－a6<0，故B正确；结合等差数列的性质可知a1>a2>…>a6>0>a7>…，所以{Sn}中S6最大，故C错误；因为a4>a6>0，a9<a7<0且a4＋a9＝a6＋a7<0，即a4<－a9，所以|a4|<|a9|，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 11．(2026·南充模拟)在等差数列{an}中，已知S6＝10，S12＝30，则 S18＝________． 60 解析：由于S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，所以10，20，S18－S12成等差数列，故S18－S12＝30，故S18＝60. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 12．(2026·潍坊模拟)若一个等差数列的前5项和为35，前9项和为45，则该数列的第8项为_____． 2 解析：由一个等差数列的前5项和为35，前9项和为45，可得S5＝＝35，可得a1＋a5＝14，所以a3＝＝45，可得a1＋a9＝10，所以a5＝＝5，设等差数列的公差为d，可得d＝＝－1，所以a8＝a5＋3d＝5＋3×(－1)＝2，所以数列的第8项为2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 13．(13分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＋＝2Sn. (1)证明：}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析：(1)证明：令n＝1得a1＋＝2a1，解得a1＝或a1＝－， 而a1>0，所以a1＝. 由an＋＝2Sn得，故Sn－Sn－1＋＝2Sn， 整理得＝2， 又∵＝2，∴}是以2为首项，2为公差的等差数列． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 (2)由(1)知＝2＋2(n－1)＝2n， 而{an}为正项数列，故Sn>0， 故Sn＝， 当n≥2时，an＝，且a1＝也满足该式， 故an＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 14．(15分)(2023年新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即， ∴6＝，即－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0。 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， ∴a50－＝1，即－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)， 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，舍去； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝. 综上，d＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 15．(5分)(2026·杭州模拟)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2 025<S2 024<S2 026，则数列{}的最小项是第(　　)项． A．2 026 B．2 027 C．4 048 D．4 049 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 解析：由S2 025<S2 024<S2 026，则a2 025＝S2 025－S2 024<0，a2 026＝S2 026－S2 025>0，a2 025＋a2 026＝S2 026－S2 024>0，因此等差数列{an}为递增数列，而S4 049＝<0，S4 050＝＝2 025(a2 025＋a2 026)>0，则n≤2 025时，an<0，Sn<0，即>0；当n≥2 026时，an>0，要使最小，则Sn<0，此时2 026≤n≤4 049，数列{Sn}为递增数列，则随着n的增大，an增大，减小，Sn增大，但>0，Sn<0，则增大，因此，当n＝2 026时，最小．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 16.(5分)已知一个项数为n的等差数列{an}，设其前n项和为Sn，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差d＝－8，则当n为偶数时，此数列首尾两项之和为_____． 56 解析：当n为偶数时，由题意可知S奇＝，S偶＝，所以S偶－S奇＝d＝－4n＝360－480＝－120，所以n＝30，此时S奇＝×15＝15a15＝480，解得a15＝32，S偶＝×15＝15a16＝360，解得a16＝24，则a1＋a30＝a15＋a16＝32＋24＝56. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 $