5.4复数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦复数专题，依据课标要求覆盖复数概念、代数运算、几何意义及方程应用等核心考点，通过近五年高考真题分析明确运算、几何意义等高频考点权重，归纳选择、多选题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题突破+技巧建模+素养培养”，如以2024新高考Ⅰ复数方程题为例，详解分母有理化与方程思想，培养数学思维与运算能力，特设易错点警示（如虚部为b非bi），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第4节　复数 2027 课标解读　1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.理解复数的代数表示及其几何意义.3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解两个具体复数相加减的几何意义. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第四册10.2.2节练习A第1(4)题改编)复数z=(3-2i)2的虚部等于(　　) A.-12i B.12i C.-12 D.12 C 解析 由于z=(3-2i)2=9-12i-4=5-12i,所以其虚部等于-12.故选C. 2.(人教A版必修第二册习题7.2第4(1)题改编)复数z=的共轭复数是(　) A.-i B.i C.-2-4i D.2+4i A 解析 z==-i,所以其共轭复数是-i.故选A. 3.(人教B版必修第四册习题10-1B第5题改编)若z1=4-3i,z2=4+3i对应的向量分别为,则△OZ1Z2的周长等于(　　) A.58 B.56 C.18 D.16 D 解析 依题意,复数z1和z2在复平面内对应的点分别为Z1(4,-3)和Z2(4,3),O为坐标原点,OZ1的长度为|z1|=|4-3i|=5,OZ2的长度为|z2|=|4+3i|=5,Z1Z2的长度为=6,因此△OZ1Z2的周长为5+5+6=16.故选D. 4.(人教A版必修第二册7.1.1节例1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=　　　　.  -1 解析 若复数z为纯虚数,需m+1=0,且m-1≠0,即m=-1. 5.(人教A版必修第二册习题7.2第7题改编)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,则实数p=　　　　.  12 解析 因为2i-3是方程的一个根,所以-2i-3也是这个方程的一个根,由根与系数的关系,得-=(2i-3)+(-2i-3),解得p=12. 知识梳理 1.复数的定义及分类 全体复数构成的集合叫做复数集,记为C,显然有R⊆C (1)复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做　　　　　　　,实部是　　,虚部是　 　.  (2)复数的分类 复数z=a+bi(a,b∈R) 这个条件不能忽略 虚数单位 a　 b　 实数 纯虚数 微点拨 1.复数的实部与虚部都是实数,复数a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi. 2.对于复数a+bi(a,b∈R),其实部a=0是a+bi为纯虚数的必要不充分条件. 2.复数的有关概念 复数相等 a+bi=c+di⇔　　　　　　　(a,b,c,d∈R)  共轭复数 a+bi与c+di共轭⇔　　　　　　(a,b,c,d∈R)  复数的模 设对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=　 　　  微思考 “3+2i>1+2i”“2+i<4+i”等结论对吗?为什么? a=c且b=d　 a=c且b=-d 提示 不对.两个实数可以比较大小,但两个虚数只能判断它们是否相等,而不能比较它们的大小. 3.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量(O为坐标原点). 微点拨 若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|的几何意义是点Z1,Z2之间的距离. 4.复数的运算 (1)运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. (a±c)+(b±d)i　 (ac-bd)+(bc+ad)i i (2)复数加法的运算定律 设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律: ①交换律:z1+z2=　　　　　.  ②结合律:(z1+z2)+z3=　　　　　　.  z2+z1 z1+(z2+z3) 研考点•精准突破 考点一　复数的运算 例1　(1)(2025·全国2,2)已知z=1+i,则=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 A 解析 由z=1+i,得=-i.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 教考链接 (人教A版必修第二册复习参考题7第2(2)题)已知复数z=1-2i,那么=　　　　　　.  i 解析 依题意i. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2024·新高考Ⅰ,2)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i C 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (方法1)因为=1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C. (方法2)∵=1+i,∴z=(z-1)(1+i)=(1+i)z-(1+i),∴iz=1+i, ∴z==1-i. (方法3)设z=a+bi(a,b∈R), 因为=1+i,所以=1+i, 整理得a+bi=(a-b-1)+(a+b-1)i, 所以解得 于是z=1-i.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　复数代数形式运算问题的解题策略 复数的加减法:在进行复数的加减法运算时,可类比实数运算中的合并同类项法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)进行. 复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含虚数单位i的看作一类同类项,分别合并即可. 复数的除法:复数除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数,同时注意将i的幂写成最简形式. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](多选题)(2026·江苏常州期中)已知z是虚数,且|z|=1,则在下列四个选项中,+z的可能取值有(　　) A.0 B.i C.1 D.1+i AC 解析 (方法1)由于z是虚数,且|z|=1,可设z=cos θ+isin θ(θ≠kπ,k∈Z),则+z=+cos θ+isin θ=2cos θ∈(-2,2),因此+z的可能取值有0和1.故选AC. (方法2)依题意,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),由于|z|=1,所以a2+b2=1.又因为b≠0,所以-1<a<1.于是+z=+a+bi=+a+bi=2a∈(-2,2),因此+z的可能取值有0和1.故选AC. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　复数的有关概念 例2　(1)(2025·全国1,1)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 C 解析 ∵(1+5i)i=-5+i,∴虚部为1.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)[一题多变](2026·安徽合肥模拟)若复数z=(a,b∈R)为纯虚数,则=(　　) A.2 B.1 C.-2 D.-3 C 解析 (方法1)依题意,设z==mi(m∈R,m≠0),则a-bi=m+2mi,所以a=m,b=-2m,且a,b≠0,所以=-2.故选C. (方法2)由于z=i,因为z是纯虚数,所以=0且≠0,于是2a+b=0,且a-2b≠0,必有a,b≠0,所以=-2.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)(2026·浙江湖州模拟)已知i为虚数单位,若=1-2i,则|z|=(　　) A.2 B. C.4 D.2 B 解析 因为=1-2i,所以1+=-2+i,于是=-3+i, 则z=-3-i,因此|z|=.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 AI变式 [变式](改变条件,辨析概念)在本例(2)中,若复数z=(a,b∈R)为实数,则下列结论正确的是(　　) A.2a+b=0 B.a-2b=0 C. D.=2 B 解析 由于z=i,因为z是实数,所以=0,于是a-2b=0,并且a,b可同时为零,所以不一定成立.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,解决这些概念问题时,关键是将已知复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),然后根据概念的不同,列出实部、虚部应满足的条件,从而解决问题. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2](多选题)(2026·江苏南京模拟)已知复数z,是其共轭复数,下列说法正确的有(　　) A.若z-=0,则z为实数 B.若z2-=0,则z= C.z2=|z|2 D.z·=|z|2 AD 解析 由题意设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.对于A,z-=a+bi-(a-bi)=2bi=0,则b=0,所以z=a为实数,故A正确;对于B,当a=0,b≠0时,z=bi,=-bi,此时z2-=0, z≠,故B错误;对于C,当a=b=1时,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=2abi,|z|2=a2+b2=2,此时z2≠|z|2,故C错误;对于D,z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=a2+b2,即z·=|z|2,故D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　复数的几何意义 例3　(1)(2023·新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 解析 ∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025·上海,10)若i为虚数单位,复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值为　　　　.  2 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 设z=a+bi,a,b∈R,由z2=,得a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,化简得ab=0.由|z|≤1,得a2+b2≤1.可知复平面内的点Z(a,b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动,如图所示. ∵|z-2-3i|表示复平面内点Z(a,b)到点M(2,3)的距离, 由图可知,|MZ|min=|MZ1|或|MZ2|. 又|MZ1|==2, |MZ2|=, ∵2,∴|z-2-3i|的最小值为2. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)、复平面内的向量三者之间建立了一一对应关系,因此解决复数问题时,可考虑运用数形结合的思想方法. 2.由于|z1-z2|表示z1,z2在复平面内对应点Z1,Z2之间的距离,因此可由此判断复数对应点的轨迹问题,并结合平面解析几何知识解决最值问题. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](2026·福建漳州模拟)若复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,且z1=1+2i,则=(　　) A.-i B.-i C.-i D.-i B 解析 ∵z1=1+2i,又复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,∴z2=1-2i,则=-i.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　复数与方程 例4　(多选题)(2026·山东烟台期末)已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则(　　) A.p2-8q<0 B.方程2x2+px+q=0的另一个根为3+2i C.p=12 D.q=26 ACD 解析 因为-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以-3+2i的共轭复数-3-2i也是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以Δ=p2-8q<0,故A正确,B错误.由根与系数的关系知-=-3+2i-3-2i=-6,所以p=12,故C正确; =(-3+2i)(-3-2i)=9+4=13,所以q=26,故D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　与复数有关的方程问题的解法 (1)对于实系数一元二次方程,在复数范围内求解时,求根公式、根与系数的关系、判别式等仍然适用,并且当方程有虚数根时,两个虚数根互为共轭复数. (2)对于虚系数一元二次方程,求根公式、根与系数的关系、判别式等不再适用,这时一般是把方程的实根设出,代入方程,利用两复数相等的充要条件找到参数满足的条件求解. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4](2025·福建宁德模拟)已知i是虚数单位,且关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,则复数z=m+ni=(　　) A.1-3i B.3-i C.3+i D.1+3i B 解析 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即解得所以z=m+ni=3-i.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 $