素能培优(6)　三角函数中的综合问题专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数综合问题，覆盖图象与性质、解三角形、创新问题三大核心考点。对接高考评价体系，结合2024新高考Ⅰ卷等真题分析考点权重，归纳解析式求解、正弦定理应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点是“真题突破+素养落地”，如题型一用整体换元求对称轴方程，题型二通过余弦定理与面积公式结合解题，培养逻辑推理和数学运算素养。提供易错点警示和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可依此精准教学，提升高考冲刺效率。

素能培优(六)　三角函数中的综合问题 2027 三角函数是高考的必考内容,在近几年的高考试卷中,三角函数解答题以考查三角函数的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,对学生的综合素养要求较高,对逻辑推理、数学运算、数学建模等多个数学核心素养都有较深入的考查. 题型一　三角函数的图象与性质问题 例1　(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,且f()=0,f(π)=,f()=-A. (1)求f(x)的解析式. (2)已知函数g(x)=f(x-)+f(x-). ①求g(x)图象的对称轴方程; ②若关于x的方程g(x)+m=0在区间[0,]上恰有两个不同的实根,求m的取值范围. 题型一 题型二 题型三 解 (1)由图象可知,所以T=π. 因为ω>0,所以ω==2. 由f()=Asin(2×+φ)=-A,得2×+φ=+2kπ(k∈Z), 所以φ=+2kπ(k∈Z). 因为|φ|<,所以φ=. 由f(π)=Asin(2π+)=A=,得A=,所以f(x)=sin(2x+). 题型一 题型二 题型三 (2)由(1)得g(x)=f(x-)+f(x-)=3sin(2x-)+sin(2x+) =3sin(2x-)+cos(2x-)=2sin(2x-)=2sin(2x-). ①令2x-+kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),所以g(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z). 题型一 题型二 题型三 ②关于x的方程g(x)+m=0在区间[0,]上恰有两个不同的实根等价于函数g(x)在区间[0,]上的图象与直线y=-m恰有两个不同的交点. 因为x∈[0,],所以2x-∈[-]. 当2x-∈[-],即x∈[0,]时,g(x)单调递增; 当2x-∈[],即x∈[]时,g(x)单调递减. 又因为g(0)=-,g()=2,g()=, 所以≤-m<2,解得-2<m≤-, 即m的取值范围是(-2,-]. 题型一 题型二 题型三 规律方法　三角函数图象与性质问题的解法 (1)求解三角函数图象问题时,要善于从图象中获取函数性质方面的信息,例如函数周期、最值、对称性、单调性等,由此确定函数解析式中的参数值(范围). (2)研究三角函数的性质时,一般先要通过恒等变换将函数解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体换元思想解决相应的性质问题.注意各种性质之间的内在联系,例如:周期性与单调区间的长度、奇偶性与对称性、对称性与最值等都有内在联系. (3)通过图象研究方程的根或函数零点问题时,一是直接观察函数图象交点的情况,二是通过整体换元,借助正弦函数y=sin t的图象,结合函数单调性、最值情况进行分析求解. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2026·湖北鄂州期中)已知函数f(x)=2cos()cos +2sin2+1(ω>0),x1,x2是f(x)的两个极值点,且|x1-x2|min=. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间; (3)若|f(x)-m|<2在区间[]上恒成立,求实数m的取值范围. 题型一 题型二 题型三 解 (1)f(x)=2sincos(1-cos)-+1=sincos+1 =2sin()+1. 由x1,x2是f(x)的两个极值点,且|x1-x2|min=,则f(x)的最小正周期T=2×=π,所以=π,解得ω=4, 所以f(x)=2sin(2x-)+1. 题型一 题型二 题型三 (2)当x∈[0,π]时,-≤2x-. 而y=sin t在区间[-]上单调递增,在区间[]上单调递减,在区间[]上单调递增, 由-≤2x-,解得0≤x≤,由≤2x-,解得≤x≤π, 所以f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π]. 题型一 题型二 题型三 (3)因为x∈[], 所以2x-∈[], 故≤sin(2x-)≤1, 所以2sin(2x-)+1∈[2,3]. 因为|f(x)-m|<2在区间[]上恒成立,即m-2<f(x)<2+m在区间[]上恒成立, 所以解得1<m<4. 所以满足题意的实数m的取值范围为(1,4). 题型一 题型二 题型三 题型二　解三角形的综合问题 例2　(13分)(2024·新高考Ⅰ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; 突破口:由a2+b2-c2=ab结合余弦定理求cos C. (2)若△ABC的面积为3+,求c. 关键点:用c表示△ABC的各边. 审题指导:(1)由a2+b2-c2=cos B求出cos B,从而求出角B;(2)先求出A,B,C,然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解. 题型一 题型二 题型三 [规范解答] 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 规律方法　解三角形综合问题的基本求解策略 题型一 题型二 题型三 [对点训练2](2026·浙江杭州模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且满足. (1)求角A的大小; (2)D是边BC上一点,且满足AD2=bc,∠ADC=,求的值. 题型一 题型二 题型三 解 (1)因为,由正弦定理可得. 又sin B≠0, 所以2sin C-sin B=2sin Acos B. 由于在△ABC中,sin C=sin(A+B), 所以2sin(A+B)-sin B=2sin Acos B, 化简得2cos Asin B=sin B,则cos A=,由于A∈(0,π),所以A=. 题型一 题型二 题型三 (2)由于∠ADC=,则∠ADB=. 在△ADC中,由正弦定理,可得,在△ADB中,由正弦定理,可得, 所以. 由于满足AD2=bc, 所以sin Bsin C=. 所以sin Bsin(+B)=, 题型一 题型二 题型三 即sin B(cos B+sin B)=, 所以sin 2B+=1, 所以sin(2B-)=. 由于B∈(0,),则2B-∈(-),所以2B-,解得B=或B=. 当B=时,C=,所以; 当B=时,C=,所以=2. 即的值等于或2. 题型一 题型二 题型三 题型三　三角函数与解三角形背景下的创新问题 例3　(2026·广东深圳模拟)数学与音乐有着紧密的关联,每一个音都是由纯音合成,纯音的数学模型是函数y=Asin ωx.我们平时听到的音乐是许多个纯音的结合,称为复合音.复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动,它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动.已知刻画某声音的函数为f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x. (1)求函数f(x)在点(,f())处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间(0,π)上的单调区间; (3)函数g(x)=f(x)+2sin x-mx,若g(x)在区间(0,π)上有三个不同的极值点x1,x2,x3(xi≠,i=1,2,3),证明:为定值. 题型一 题型二 题型三 (1)解 由题可得f'(x)=cos x+cos 2x+cos 3x, 所以f'()=+0-=0, 所以切线的斜率为0. 又f()=, 所以函数f(x)在点(,f())处的切线方程为y=. 题型一 题型二 题型三 (2)解 由于cos a+cos b=cos()+cos()=2cos·cos, 所以f'(x)=cos x+cos 2x+cos 3x=2cos xcos 2x+cos 2x=cos 2x(2cos x+1). 当x∈(0,π)时,令f'(x)=0,解得x=或x=或x=. 令f'(x)>0,解得0<x<<x<; 令f'(x)<0,解得<x<<x<π. 故f(x)的单调递增区间为(0,)和(),单调递减区间为()和(,π). 题型一 题型二 题型三 (3)证明 由于g(x)=f(x)+2sin x-mx=3sin x+sin 2x+sin 3x-mx, 所以g'(x)=3cos x+cos 2x+cos 3x-m. 又因为cos 3x=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin2xcos x=cos x(2cos2x-1-2sin2x)=cos x·(4cos2x-3), 所以g'(x)=3cos x+cos 2x+cos 3x-m=4cos3x+cos 2x-m=4cos3x+2cos2x-(m+1). 因为g(x)在区间(0,π)上有三个不同的极值点x1,x2,x3(xi≠,i=1,2,3), 所以g'(x)=0在区间(0,π)上有三个不同的根, 即4cos3x+2cos2x-(m+1)=0在区间(0,π)上有三个不同的根. 题型一 题型二 题型三 令t=cos x,方程转化为4t3+2t2-(m+1)=0, 设方程的根为t1=cos x1,t2=cos x2,t3=cos x3,则4(t-t1)(t-t2)(t-t3)=0, 化简可得4t3-4(t1+t2+t3)t2+4(t1t2+t2t3+t1t3)t-4t1t2t3=0, 则-4(t1+t2+t3)=2,即t1+t2+t3=-; 4(t1t2+t2t3+t1t3)=0,即t1t2+t2t3+t1t3=0, -4t1t2t3=-(m+1),即t1t2t3=. 所以=0, 所以为定值. 题型一 题型二 题型三 规律方法　三角函数创新问题的求解策略 三角函数创新问题的求解核心是:拆解“创新外壳”(新定义、跨模块结合等),锚定三角函数的基本性质(定义、周期性、单调性、最值等),通过转化、建模、分步突破等方式回归常规问题求解. (1)对于新定义型问题,要“翻译”定义,对接性质,核心思路是:将题目给出的三角函数相关新定义转化为已知的三角函数性质(周期性、奇偶性、最值等). (2)对于跨模块综合型问题,要拆分模块,分步突破,其核心思路是:针对与导数、零点、不等式等结合的问题,分别处理各模块知识,再通过三角函数性质建立联系,“分而治之”. (3)注意综合应用多种方法,在解题过程中,可能需要综合运用多种方法,如代数法、几何法、三角法等,灵活转换不同的解题方法,以适应不同的问题情境,可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证,以确保答案的正确性. 题型一 题型二 题型三 [对点训练3](2025·河北沧州模拟)设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,定义f=的值为△ABC的“分离比”. (1)若△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的分离比f; (2)证明:f=; (3)探究f的最小值.   题型一 题型二 题型三 (1)解 设△ABC的两条直角边为,斜边为2,所以外接圆半径为1. 内切圆半径r满足r(+2)=,所以+1. 所以f=+1. (2)证明 因为△ABC的面积S=absin C, 所以r(a+b+c)=absin C,则. 由正弦定理=2R,得R=. 因此f=. 题型一 题型二 题型三 (3)解 由(2)知,f=). 先证明对于任意的正数a,b,c,均有a3+b3+c3≥3abc. 因为(a3+b3)+(c3+abc)≥2+2c2≥4abc, 所以a3+b3+c3≥3abc得证,当且仅当a=b=c时,等号成立, 所以f≥. 下面求解u=sin Asin Bsin C的取值范围. 因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以u=sin A(sin Asin Ccos C+cos Asin2C), 题型一 题型二 题型三 即u=sin A(sin Asin 2C-cos Acos 2C+cos A) =sin A[cos A-cos(A+2C)]≤sin A(cos A+1), 当且仅当A+2C=π时,等号成立. 对于v=, (1+cos A)(3-3cos A)≤()2=(2-cos A)2,① (1+cos A)(2-cos A)≤()2=,② 题型一 题型二 题型三 当且仅当cos A=时,等号成立. 由①式与②式的平方相乘得(1+cos A)3·(1-cos A)≤,所以v≤, 即sin Asin Bsin C=u≤, 故f≥=2,当且仅当A=B=C=时,等号成立. 综上,f有最小值2. 题型一 题型二 题型三 解 (1)因为a2+b2-c2=2abcos C,且a2+b2-c2=. 2分 因为C∈(0,π),所以sin C>0, 从而sin C=. 3分 又因为sin C=. 4分 因为B∈(0,π),所以B=. 5分 (2)(方法1)由(1)可知B=, 6分 从而A=π-. 7分 于是sin A=sin. 8分 由正弦定理得c. 10分 因为S△ABC=c2. 12分 又△ABC的面积为3+2. 13分 (方法2)由(1)知B=. 7分 如图,作AD⊥BC,垂足为D,则∠BAD=. 8分 在△ABD中,AD=csin B=c. 9分 在△ACD中,CD=AD=c, 所以BC=BD+CD=c. 10分 又S△ABC=, 解得c2=8,故c=2. 13分 $