4.6　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用”专题，依据课标要求覆盖参数意义、图象变换、解析式求解、实际应用等核心考点，通过近五年高考真题分析明确图象变换和解析式求解为高频考点，归纳选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如以2021全国乙卷图象变换题为例，提炼“逆向变换法”培养数学思维，结合五点法和整体换元法突破零点问题，渗透模型意识。设“易错警示”和“对点训练”，助力学生掌握解题技巧，教师可依此实现精准复习。

第6节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 2027 课标解读　1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第一册5.6.2节例1改编)用五点法作函数y=3sin(2x-)的图象时,首先描出的五个点的横坐标分别是(　　) A.0,,π,,2π B. C. D.0,,π B 解析 令2x-分别等于0,,π,,2π,得x的值为.故选B. 2.(人教B版必修第三册7.3.2节练习B第1题改编)要得到函数y=3sin(x-)的图象,需要把函数y=3sin x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 C 3.(人教A版必修第一册5.6.2节练习第2题(3)改编)为了得到函数y=4sin(x+)的图象,只要把函数y=3sin(x+)的图象上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变 C 解析 依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变. 4.(人教A版必修第一册习题5.6第4题)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为　　　　　　　　　.  y=2sin(2x+) 解析 由函数的最小值为-2,可得A=2,再根据-(-)=, 又ω>0,得ω=2.根据“五点法”可得2×(-)+φ=,得φ=,满足0<φ<π,故函数的解析式为y=2sin(2x+). 知识梳理 1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0)表示一个简谐运动时 振幅 周期 频率 相位 初相 　   T= f= 　  　   A　 ωx+φ　 　φ 2.五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示: ωx+φ 0 π 2π x 　 　  　 　  　 　  　 　  　 　  y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 误区警示 在用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象时,要令ωx+φ整体取0,,2π. -　 -　 　- -　 - 3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的两种方法. 微思考 先平移变换再周期变换和先周期变换再平移变换有什么联系与区别? 提示 两种变换方法都是针对x而言的,即x本身加减多少,而不是ωx加减多少. 先平移变换(左右平移),再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度,而先周期变换(伸缩变换),再平移变换(左右平移),平移的量是||个单位长度. 研考点•精准突破 考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象 例1　(1)(2026·山东青岛期中)将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象所对应的函数是(　　) A.y=sin(x-) B.y=sin(2x-) C.y=sin(x-) D.y=sin(2x-) D 解析 将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x-)的图象.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变]要得到函数y=sin(2x+)的图象,应将y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 B 解析 由于y=sin(2x+)=sin[2(x+)],所以由y=sin 2x的图象得到y=sin(2x+)的图象,应向左平移个单位长度.故选B. 考点一 考点二 考点三 (3)(2021·全国乙,理7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)=(　　) A.sin() B.sin() C.sin(2x-) D.sin(2x+) B 解析 逆向考虑:y=sin(x-(的图象 y=sin(x+)的图象 y=sin()的图象.故选B. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](改变目标函数的名称)要得到函数y=cos(2x+)的图象,应将函数y=sin 2x图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 C 考点一 考点二 考点三 解析 由于y=cos(2x+)=sin(2x+)=sin(2x+)=sin[2(x+)],所以应将函数y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度,才能得到y=cos(2x+)的图象.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　三角函数图象变换的关键点 三角函数的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下: (1)定函数:一定要看准是将哪一个函数的图象变换得到哪一个函数的图象. (2)变同名:变换前后函数的名称要一样. (3)选方法:即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin[ω(x+|φ|)]的图象. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2026·安徽安庆模拟)要得到函数f(x)=sin x+cos x的图象,只需把函数g(x)=sin x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 C 解析 由于f(x)=sin x+cos x=sin(x+),把函数g(x)=sin x的图象向左平移个单位长度得函数y=sin(x+)的图象,满足要求.故选C. 考点一 考点二 考点三 考向2　函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2　(1)(2025·山东德州期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0, |φ|<π)的部分图象如下图所示,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin(2x+) B.f(x)=2sin(2x+) C.f(x)=2sin(4x+) D.f(x)=2sin(4x+) B 考点一 考点二 考点三 解析 由图象可知A=2,,解得T=π,ω=2.又因为f()=0,所以2×+φ=π+2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+).故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·山西吕梁期末)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,-<φ<0)的部分图象如图所示,则ω=(　　) A. B.1 C. D. A 考点一 考点二 考点三 解析 由图象得f(0)=2cos φ=1,即cos φ=.又-<φ<0,解得φ=-.因为f(-)=0,得-ω-+kπ(k∈Z),解得ω=--3k(k∈Z).由图象知-在函数f(x)的单调递增区间内,所以函数的周期T满足T>,即,因此0<ω<,于是当k=-1时,取ω=.故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据图象求函数解析式的解法要点 已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,关键是求ω和φ,常用如下两种方法: (1)由ω=即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ. (2)代入图象中已知点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的取值范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)(2020·新高考Ⅰ,10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　) A.sin(x+) B.sin(-2x) C.cos(2x+) D.cos(-2x) BC 考点一 考点二 考点三 解析 由题图可知,最小正周期T==2()=π,得ω=±2,故A错误;当ω=2时,将(,0)的坐标代入y=sin(2x+φ),得2×+φ=2kπ+π,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z.当k=0时,φ=,则y=sin(2x+)=sin(π+2x-)=-sin(2x-) =sin(-2x),故B正确;y=sin(2x+)=sin(+2x+)=cos(2x+),故C正确;y=cos(2x+)=cos(π+2x-)=-cos(2x-)=-cos(-2x),故D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点二　函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及性质的综合应用 例3　(1)(2024·新高考Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 C 考点一 考点二 考点三 解析 在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin(3x-),如图所示. 由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)有6个交点. 考点一 考点二 考点三 教考链接(人教A版必修第一册5.6.2节例1)画出函数y=2sin(3x-)的简图. 解 令X=3x-,则x=(X+). 列表, X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 描点画图. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北石家庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间(0,)上有且仅有2个零点,则f(x)的最小正周期的最小值为　　　　.  考点一 考点二 考点三 解析 函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,)上有且仅有2个零点,即t=ωx+∈(ω+),y=sin t有且仅有两个零点, 所以<ω≤. 又T=,ω取最大值时,T有最小值,最小值为T=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用三角函数图象解决方程根或零点问题的方法 (1)研究函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上零点个数问题时,仍然采用整体换元的方法,将ωx+φ作为一个整体,结合函数的周期性确定ωx+φ的范围,从而解决问题. (2)将方程的根转化为两函数图象的交点问题,结合三角函数的周期性,建立不等式组进行求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·四川绵阳期中)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)的值为(　　) A.- B. C.- D. A 考点一 考点二 考点三 解析 由图象可知,A=1,T=2×()=π,所以ω==2,此时f(x)=sin(2x+φ).又f()=sin(+φ)=0,则+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin(2x-).由图可知,若x1,x2∈(),且f(x1)=f(x2),则,即x1+x2=,所以f(x1+x2)=sin[2(x1+x2)-]=sin()=sin=-.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点三　三角函数模型的简单应用 例4　(2025·广东广州期末)如图,一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:米)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:秒)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,-<φ<), 则(　　) A.ω= B.φ=- C.盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D.盛水筒P在转动一圈的过程中,P在水中的时间为秒 D 考点一 考点二 考点三 解析 点P到水面的距离d与时间t之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K,对于选项A,依题意,A=3,K=1.5,T=40,则ω=,故A错误;对于选项B,由t=0时,d=3sin φ+1.5=0,得sin φ=-.而-<φ<,则φ=-,故B错误;对于选项C,d=3sin(t-)+1.5,令d=-1.5,得3sin(t-)+1.5=-1.5,解得sin(t-)=-1,则t-,解得t=,即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点,故C错误;对于选项D,由d≤0,得3sin(t-)+1.5≤0,即sin(t-)≤-,则+2kπ≤t-+2kπ,k∈Z,解得+40k≤t≤40+40k(k∈Z),所以盛水筒P在转动一圈的过程中,P在水中的时间为秒,故D正确.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略 (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系; (2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](多选题)(2025·湖南湘潭期中)某观测站通过长时间观察,发现某港口的潮汐涨落规律为y=Acos(ωx+)+6(其中A>0,ω>0),其中y(单位:m)为港口水深,x(0≤x≤24)(单位:h)为时间,该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6 h,且中午12点的水深为8 m,为保证安全,当水深超过8 m时,应限制船只出入,则下列说法正确的是(　　) A.ω= B.最高水位为12 m C.该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D.一天内限制船只出入的时长为4 h AC 考点一 考点二 考点三 解析 对于选项A,依题意=6,所以ω=,故A正确;对于选项B,当x=12时, y=Acos(×12+)+6=8,解得A=4,所以最高水位为10 m,故B错误;对于选项C,D,由上可知y=4cos(x+)+6,令y≥8,解得8≤x≤12或20≤x≤24,所以从上午8点开始首次限制船只出入,一天内限制船只出入时长为8 h,故C正确,D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 $