4.4　三角恒等变换专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，依据课标“运用和差倍角公式进行简单恒等变换”的要求，覆盖三角函数式化简、求值、综合应用三大核心考点，通过2024新高考Ⅱ卷、2023新高考Ⅰ卷等真题改编题分析考点权重，归纳给角求值、给值求值等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”的复习策略，如给值求值问题通过角的拆分与公式逆用培养数学思维，提炼“找差异—抓联系—促转化”三步法，结合辅助角公式、降幂扩角等技巧提升运算能力，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准定位学情，实现高效复习指导。

第4节　三角恒等变换 2027 课标解读　能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第一册5.5.2节练习第2题改编)已知cos θ=,且270°<θ<360°,则sin=(　　) A. B.- C. D.- A 解析 ∵270°<θ<360°,∴135°<<180°,∴sin.故选A. 2.(人教B版必修第三册习题8-2B第2题改编)sincos=(　　) A. B. C. D. C 解析 由题可得,sincos=cos2.故选C. 3.(人教A版必修第一册5.5.2节练习第1题改编)若,则tan的值等于(　　) A.4 B. C.2 D. B 解析 因为,所以,即,所以tan.故选B. 4.(人教A版必修第一册5.5.2节例9(2)改编)已知函数y=3sin x+4cos x,则它的最小正周期是　　　　　,最大值是　　　　　.  2π 5 解析 y=3sin x+4cos x=5(sin x+cos x)=5sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=,所以最小正周期T=2π,函数最大值是5. 知识梳理 1.三角恒等变换的三个步骤 2.三角恒等变换常用方法 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如:1=sin2x+cos2x=tan等. (2)弦切互化:tan θ=,sin θ=tan θcos θ(θ≠+kπ,k∈Z)等. (3)降幂扩角:sin θcos θ=sin 2θ,sin2θ=,cos2θ=等. (4)升幂缩角:1+cos θ=2cos2,1-cos θ=2sin2等. (5)引入辅助角:asin θ+bcos θ=sin(θ+φ),这里辅助角φ所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tan φ=确定. (6)项的分拆:如sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x等. 研考点•精准突破 考点一　三角函数式的化简 例1　(1)(2026·江苏南京期中)f(x)=sin(x+)cos x可化为(　　) A.f(x)=sin(2x+)+ B.f(x)=sin(2x+)+ C.f(x)=cos(2x+)+ D.f(x)=cos(2x+)+ B 解析 由题可得,f(x)=sin(x+)cos x=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x +cos2x=sin 2x+(1+cos 2x)=sin 2x+cos 2x+sin(2x+)+. 故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)化简:的结果为　　　　.  解析 =. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](2025·辽宁大连期中)化简=　　　　　　　　.  2(cos θ-sin θ) 解析 由题可得,=2(cos θ-sin θ). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　三角函数式的求值 考向1　给角求值 例2　(1)(2026·广东广州模拟)+tan 10°=(　　) A.-1 B.- C.1 D. D 解析 +tan 10°=+tan 10° =+tan 10°=-tan 10°+tan 10°=.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·安徽合肥模拟)=(　　) A.1 B.2 C. D. B 解析 原式=====2.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　给角求值问题的求解策略 给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角,求解时,需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系,通过公式的正用、逆用、变形用,使得式子中的角以及式子的结构发生变换,从而达到化简计算的目的,通常有以下三种思路: (1)通过变换,化为特殊角的三角函数值; (2)通过变换,产生可消去的正负项,再求值; (3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](2026·湖北宜昌期末)=(　　) A. B.- C.2 D.-2 B 解析 =-.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向2　给值求值 例3　(1)[一题多变](2025·河南平顶山模拟)已知sin(α+)=,cos(β-)=, α∈(,π),β∈(0,),则cos(α+β)=(　　) A. B. C.- D.- C 解析 由α∈(,π),β∈(0,),得α+∈(),β-∈(-,0), 故cos(α+)=-=-,sin(β-)=-=-,因此cos(α+β)=cos[(α+)+(β-)]=cos(α+)cos(β-)-sin(α+)sin(β-) =-×(-)=-.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2024·新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4, tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.  - 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 (方法1)tan(α+β)==-2,又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角.由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=.又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-. (方法2)设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则sin α=, cos α=,sin β=,cos β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 AI变式 [变式](调整提高角的复杂程度)已知sin(α+)=,cos(β-)=,α∈(,π), β∈(0,),则cos(2α-β)=　　　　.  - 解析 由例(1)知,sin(2α+)=sin 2(α+)=2sin(α+)·cos(α+)=2××(-) =-,cos(2α+)=cos 2(α+)=cos2(α+)-sin2(α+)=(-)2-()2=-. 而(2α+)-(β-)=(2α-β)+, 所以cos(2α-β)=sin[(2α-β)+]=sin[(2α+)-(β-)]=sin(2α+(cos(β-)-cos(2α+)·sin(β-)=(-)×-(-)×(-)=-. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练3](2023·新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- B 解析 由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =sin αcos β-,解得sin αcos β=.∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =,∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向3　给值求角 例4　(1)(2026·江苏南通月考)已知α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 因为α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,所以α,β∈(0,). 因为又cos β=,则sin β=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.因为α+β∈(0,π), 所以α+β=.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·广东珠海模拟)设α∈(0,),β∈(0,),且tan α+tan β=,则(　　) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= D 解析 由题知,,所以sin(α+β)=cos α.因为α∈(0,),β∈(0,),则α+β∈(0,π),又sin(α+β)=cos α =sin(±α),所以α+β=±α或α+β+±α=π,即2α+β=或β=(舍去),故2α+β=.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　给值求角问题的解题步骤及原则 (1)解决给值求角问题的一般步骤是:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围得到所求的角. (2)通过角的某种三角函数值来求角,其关键是选取函数,若选取不当,容易导致多解或错解,函数的选取一般遵循以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正弦、余弦函数值,选正弦函数或余弦函数;若角的范围是(0,),选正弦较好. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练4](2025·四川内江期中)已知α,β∈(0,π),且tan α,tan β是方程 x2-3x-2=0的两根,则α+β的值为(　　) A. B. C. D. C 解析 由条件可知,tan α+tan β=3>0,tan αtan β=-2<0,且α,β∈(0,π),所以不妨设tan α>0,tan β<0,则α∈(0,),β∈(,π),则α+β∈().又因为tan(α+β)==1,所以α+β=.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　三角恒等变换的综合应用 例5　(2026·安徽蚌埠期末)已知f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)-2cos2x+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若θ为锐角,f()=,求cos θ. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 (1)由题可得,f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)-2cos2x+1=sin(2x+)+sin(2x-)-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-). 令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)因为f()=2sin(θ-)=,所以sin(θ-)=. 因为θ为锐角,θ-∈(-), 所以cos(θ-)=,所以cos θ=cos(θ-)=cos(θ-)-sin(θ-) =. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　利用恒等变换研究三角函数性质 在研究三角函数的周期、最值、奇偶性、单调区间等性质时,通常先利用和、差、倍角公式以及其他三角函数公式,进行恒等变换,对函数解析式进行化简整理,化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据正弦函数的性质得出结论.其中恒等变换的关键步骤有: (1)降次:化为asin ωx+bcos ωx的形式; (2)化一:化为sin(ωx+φ)的形式. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练5](2025·北京通州期中)已知函数f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若f(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点,求m的取值范围. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 (1)因为f(x)=cos x·(2sin x+cos x)-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2x =sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)=2sin(2x+),所以f(x)的最小正周期T==π.令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z). (2)当x∈[0,m]时,2x+∈[,2m+].又f(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点,所以2π≤2m+<3π,解得≤m<, 即实数m的取值范围为[). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(六)　积化和差与和差化积 三角函数中的积化和差与和差化积公式为: 积化和差公式 考点一 考点二 考点三 思维进阶 利用积化和差与和差化积公式,可以使一些三角函数的求值与化简过程更为简洁,从而更好地解决求值、函数性质、三角形等问题. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例1(2025·河南濮阳期中)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值等于(　　) A. B.0 C.- D. B 解析 sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°cos 10°-cos 10° =cos 10°-cos 10°=0.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](2026·福建宁德期中)若cos(α+)cos(α-)=-,则 sin 2α=　　　　.  　 解析 因为cos(α+)cos(α-)=×[cos(α++α-)+cos(α+-α+)] =×[cos(2α-)+cos π]=(sin 2α-1)=-, 所以sin 2α=. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例2(2026·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=2sin(2x-)cos(2x+),则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在(-)上单调递增 C.f'(x)为偶函数 D.f(x)的最小值为 C 解析 由积化和差公式可得f(x)=2sin(2x-)cos(2x+)=2×[sin(2x-+2x+) +sin(2x--2x-)]=sin 4x-,此时最小正周期为,其最小值为-1-,故A,D错误;因为-<x<,所以-<4x<π,可知f(x)在区间(-)上不单调,故B错误;又f'(x)=4cos 4x,所以f'(x)为偶函数,故C正确.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](2025·河南南阳期末)已知锐角x满足sin 3x-sin x>0,则x的取值范围为(　　) A.(0,) B.(0,) C.() D.() B 解析 由和差化积公式得sin 3x-sin x=2cos 2xsin x,所以2cos 2xsin x>0.由于x是锐角,所以sin x>0,因此cos 2x>0.又0<2x<π,所以0<2x<,即0<x<,所以x的取值范围为(0,).故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 $