4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ★[考试要求] 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握 两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 复盘必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” (1)公式C。: 或“X”) cos(a-β)= (1)存在实数a,B,使等式sin(a+B)=sina+ (2)公式Ca+: sinB成立. () cos(a十B)= (2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，B (3)公式Sam: 是任意角 sin(a-B)= (3)tana士tanB=tan(a士B)(l干tan atan B). (4)公式Sa+: ( sin (a+8)- (5)公式Tam:tan(a-B)= tana-tanβ 2osa=sina+) 1+tan atan B 2.若c0sa=一 5a是第三象限角， 4 (6)公式Ta+:tan(a十B)= tan a+tan B 1-tan atan B 2.辅助角公式 则sima+)等于 asin a+bcos a=√a+bsin(a+p),其中sin b a A.一 2 ,C0S9= √a+b √a2+b C.-7② 知识拓展用活 10 n普 两角和与差的公式的常用变形： 3.sim意co意的值为 (1)sin asin B++cos(a+B)=cos acos B. A.0 B.-√2 (2)cos asin B+sin(a-B)-sin acos B. (3)tana士tanB-tan(a士B)(1干tan atan). C.2 D.√2 tan atan 8-1-tan aftan Btan a tan81. 4.若tana= tan(aB) tan(a-β) 合，tan(a十B》=司，则ianB 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 两角和与差的三角函数公式 规律方法 [例1] (1)已知tana= 7,an月=子，则 三角函数公式的应用策略 tan(2a+B)的值为 ( (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住 A若 C.-3 D.一3 4 公式的结构特征和符号变化规律.例如 4 两角差的余弦公式可简记为：“同名相 (2)若sin(2a-)-名，sim(2e+B=号 乘，符号反.” 则sin2acos3等于 (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数 c D品 基本关系、诱导公式的综合应用. ·76· 第四章 三角函数与解三角形 跟踪训练 (2)已知a,β∈ 3π ,sin(a+8)=- 1.sin20°+sin40°= A.sin 50 B.sin 60 smg-碧，则cose+) C.sin 70 D.sin 80 规律方法 2.已知cos a+ 6 √5cosa,tanB= 利用角的变换求三角函数值的策略 tan(a+8)= (1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角” 题型2 两角和与差的三角函数公式的 表示为两个“已知角”的和或差的形式. 逆用与辅助角公式 (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所 [例2] (D[多选]已知a,Y∈(0，受sina 求角”与“已知角”的和或差的关系，然后 十sinY=sinB,cosB+cosY=cosa,则下列 应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” 说法正确的是 ( ) (如本例) A.c0s(B-a)- B6os(g-a)-号 (3)常见的角变换技巧： C月-a=-君 D.月-a=若 a=2·号a=(a+8-B:a=月-(g-a): (2)在△ABC中，C=120°，tanA+tanB= a=2[a+B)+(a-B]: 25,则tan Atan B的值为 3 ( -[a+m-a-m]: R号 c 5 0 规律方法 +a=-(任-a 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的 (④)特角的拆分：登-+子：=子十 4 异同，创造条件逆用公式： (2)tan atan B,tan a+tan B(tan a-tan B), 6123 tan(a+B)(或tan(a一B)三者中可以 知二求一，注意公式的正用、逆用和变形 跟踪训练 使用， 1.已知tan +)-2.则am(e+ 日跟踪训练 1.已知tan atan B=2,cos(a+B)=- A- B司 C.-3 D.3 则cos(a一3)= ( A -号 c品 2.已知a,B都是锐角，cos(a十B)= 13,sin(a- 2.(1+tan20°)(1+tan21)(1+tan24)(1+ tan25°)= =号则na= 题型3 角的变换问题 A. 9√130 B.7130 2√5 130 130 [例3] (1)已知sina= 5 sin(B-a)= C.7v65 10,a,8均为锐角，则3等于 W10 65 D.465 65 C温馨提 A.12 元 B.3 C. D.g 学习至此，请完成配套训练 课时冲关23 ·77高考总复习数学 §4.3两角和与差的正弦、余孩和正切公式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)cos acos B+sin asin B (2)cos acos B-sin asin B (3)sin acos B-cos asin B (4)sin acos B-cos asin B 自主诊断查验 1.(1)√(2)/(3)/(4)× 2.C[:a是第三象限角， ∴.sina=- √1-cosa=- asin(a+平)-sin acos季+n平-- 2 ()×9=1 3.B[sin是5os=2（ 1 =2sin(倍晋)2sin(）.] 4.解析：tanB=tan[(a十B)-a] =tan(aB)-tan a 1十tan(a十3)tana 11 2-3 1 1、1 1+2×3 7 答案： 跃升·关键能力题型1 [例1]（1D[解析]由1ana=子，an月=是， 1 13 得tan(a十B)= tana十tanB 74 =1, 1-tan atanβ 1、3 1-7×4 tan(2a-+8)=tanla(a8) =tana十tan(a十B) 4 1-tan atan(a)1一×1 3 [答案]A 1 (2)[解析]由sin(2a-)=6,sin(2a十)=2， 可得sin2 2ecos B-cos2asin月=日.0 sin 2asc asin 2 由①+②得，2sin2 acos B=-3, 所以sin2 acos B=3 [答案]B 跟踪训练 1.D[sin20°十sin40°=sin(30°-10°)+sin(30°十10°)= sin30°cos10°-cos30°sin10°+sin30cos10°+cos30°sin10° =2sin30cos10=2×2c0s10=sin80.] 所以一sina=√3cosa,故tana=一√3，所以tan(a十)= tana十tan3 3+ _25 3 3 3 1-tan atan B 1+3x 2 31 3 答案： 3 ·3 题型2 [例2](I)[解析]由题意知，sinY=sinB-sina,cosY =cos a-cos B, 将两式分别平方后相加， 1=(sin B-sin a)2+(cos a-cos B)2 =2-2(sin Bsin a+cos Bcos a), ∴.cos(g-a)= ,即选项A正确B错误： 7e(0,） .'sin y=sin B-sin a>>0, 六gDa,而ae(0,受)） 0C月-a<受， -a=号， 即选项D正确，C错误， [答案]AD (2)[解析]C=120°，.tanC=-√5. A十B=π一C, ,.tan(A十B)=-tanC. ∴.tan(A十B)=√5， tanA十tanB=√3(1-tan Atan B), 又：tanA+tanB=2E, 3 .tan Atan B= 1 [答案]B 跟踪训练 1.A[由题意可得 tan atan =sin asin2. cos acos B cos(aB)=cos acos B-sin asin B=- 1 (sin asin B=2cos acos B, 即 所以 故cos(a-f)=6os6oc0s叶in=子.] 2.解析：(1十tan20)(1十tan25°)=1十tan20°十tan25°+ tan20°tan25°=1+tan(20°+25°)(1-tan20°tan25)+ tan20°tan25°=2，同理可得(1十tan21°)(1十tan24)=2, 所以原式=4 答案：4 题型3 [例3](1)汇解析]因为sina=5,s1n(f-a)=一√10 10 且α，B均为锐角， 所以osa=号c0sg-a)=3厘， 5 10 所以sinB-sin a十(g-a)]=sina·cos(g-a)十cos asin(g-a) =9x3+9×(四) 25巨=巨，所以 5 10 10 50 2 B= [答案]C 96 (2[解析]由题意知，a十e(受，2x）sin(a+)= -是<0，所以osa+助=青，因为g∈（受） 3 所以cas(但至)=-务 cos(a+F)=o[a+)-(B-)] =cos(a+Dos(e于）十sin(a+)sin(eT) [答案] 跟踪训练 1.A [tan(a)=-2,'tan(a+ an(a十)十ian +台)引 -2+1 2.A[a,B都是锐角心0<a十Km,-乏<a一K受. 又coa十0=高sna-n=g, na十m=号msa0=告 则cos2a=cos[(a十B)十(a-B)]=cos(a十B)cos(a-B) 65 cas2a=1-2ima=-9sma=动， sina>0,∴.sina= 9130 130 §4.4 简单的三角恒等变换 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)2sin acos a (2)cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a 8。 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ 2.B[sin347°cos148°+sin77°cos58° =sin(270°+77)cos(90°+58)十sin77°cos58 =(-c0s77°)·(-sin58°)+sin77°cos589 =sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)= sm135-9] 3.D[因为√十cos4=√2cos2,又cos2<0,所以可得 选项D正确.门 4.解析：tan2a= 2tan a 2X3 3 1-tan'a 1-32 4 答案：一是 跃升·关键能力题型1 [例1】(1)[解析]f(x)=an9an(x士 1-3tan(x十f) tanx+tanθ tan&-tanx·tan0 1一3Xm0 ·3 参考答案 tan @(1-tan x.tan 0)-(tan x+tan 0) 1-tan x.tan 0-3(tan x+tan 0) -(tan8+1)·tanx 1-3tan 0-(tan 0+3).tan x ,f(x)是 π 1 2026'2026 上的奇函数， 又y=-(tan0十l)·tanx为奇函数，则分母上的函数 需为偶函数， .tan0+3=0,.tan8=-3. [答案]A (2)[解析]由0E(0x)得0<号<受 日0 所以c0s 所以√2十2c0s8= =2c0s2 又(1+sin9十cos)(sin2-cos2)】 (ir-os号）-2asos8 -2cos 2 cos 0 故原式= -cos 0. 日 2c052 [答案] -cos 0 跟踪训练 1.解析：原式=2 sin ac0sa-2c0sa=22cosa. sin acos a) 2 答案：2√2cosa 2.D[由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得. sn(e+受）-as(经-） cos a+sin a cos(一a)一sin(π-a) cos a-sin a 1 1十2 1+tan a=_ 1-tan&1- =3.] 题型2 [例2-1] [解析]依题意，得t=sin36=n14 sin 72 sin 72 2cos72°， 则1-2sin279 c0s54° 2t√4-f4cos72°√4-(2c0572) c0s54° c0s54° sin36° 4cos72°√/4sin72 4cos72°·2sin724sin144=4· [答案]D [例2-2][解析]由tan atan Bi=2, 得sin asin3=2 cos acos B,cos(a十3)=cos acos B- sin asin B=一cos acos B=m,故cos acos B=-m, cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=3cos acos B=-3m. [答案]A 教考衔接 解：(I)由题意，cos(a十B)=0sB--sin asin=号① cosa-)=计sin6sing=子@ ①+②得cs=月号，②-①得sin asin月=} 所以tan atan B=sin asin-L cos acos B2.