2026年河南省信阳市多校中考调研数学试卷

**基本信息** 以绿色发展大会、河南博物院等真实情境为载体，通过函数建模（如化学试剂挥发）、几何探究（如矩形与反比例函数综合）等题，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、科学记数法、视图等|第7题结合祖冲之等数学家考概率，渗透文化传承| |填空题|5/15|二次函数、图形变换等|第15题动态对称问题，考查空间观念与分类讨论| |解答题|8/75|函数建模、几何证明、统计分析|22题以彩虹桥设计考二次函数应用（模型意识），23题从正方形到矩形类比探究（推理能力与创新意识）|

2026年九年级中考调研数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1.2024的绝对值是（　　） A．  2024 B．2024 C．   D．  2.河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器，这里的数据17万可用科学记数法表示为（　　） A．17×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17×106 3.砚台与笔，墨，纸是传统的文房四宝，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（          ） 4.下列式子运算正确的是（          ） A. B. C. D. 5.如图，AB∥CD，BE⊥AC交AC于点E，若∠ACD＝132°，则∠ABE的度数为(　　) A. 38° B. 42° C. 46° D. 48° 6. 一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.圆周率π是无限不循环小数，历史上，数学家张衡，刘辉，祖冲之，阿基米德等都对π有过深入研究，其中我国数学家刘辉首创“割圆术”来确定圆周率．某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上四位数学家的画像中随机选取两幅，则选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率是（      ） A． B． C． D． 8.某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α＝16°，则飞机A到控制点B的距离为（      ） A．1200sin16° B．1200cos16° C． D． 9.如图，⊙O的半径为2，OA⊥CD于点E，AE＝2－ ，则扇形BOD的面积为(　　) A． B．π C． D．2π 10.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D→C→B方向运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为(　　) 二、填空题（每空3分，共15分） 11.要使  有意义，x的值可以是            ．(写出一个即可) 12.不等式组   的解集为            . 13.已知二次函数y=a(x-1)2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值为______. 14.如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形纸片的边长与等腰三角形的底边长的比为            . 15.如图，∠ABC＝90°，点D为AB上一定点，BD＝3，BC＝5，点E为射线DA上一动点， CBE关于CE对称的图形为 CFE(点B的对称点为点F)，连接DF．若 DEF是直角三角形，则DE的长为            ． 三、解答题（每题3分，共15分） 16.（10分）(1)计算： ； (2)化简：  ． 17.（9分）2026绿色发展科技创新大会，以践行绿色发展理念、交流绿色发展经验为目标，努力以科技创新成果服务生态文明建设和环境保护．为了提高学生的绿色发展意识，某校举办了以“绿色发展”为主题的知识大赛，试卷共10题，每题10分，赛后从七年级和八年级各随机抽取了8名同学的成绩(成绩：分)，收集数据如下： 八年级：70　90　80　80　90　100　100　90 分析、整理数据： 平均数 中位数 众数 七年级 a 80 c 八年级 87.5 b 90 根据以上信息，回答下列问题： (1)请直接写出表格中a，b，c的值； (2)若该校七、八年级各有600名学生参加此次知识大赛，请估计拿到满分的人数是多少？ (3)请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 18.（10分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长． 19.（10分）请阅读以下材料，并完成相应任务. 问题背景：如图①，矩形OABC的边AB，BC分别与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E. 小红的探究：如图②，过点D作DF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥x轴于点G.根据反比例函数中|k|的几何意义，可得CE·EG=AD·DF，又EG=AB，DF=BC，∴CE·AB=AD·BC，∴ ＝ . 小明说：“如图③，连接DE，AC，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到DE∥AC.” (1)小明的结论正确吗?若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由. (2)如图④，直线MN分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E.求证：EM=DN. (3)如图⑤，矩形OABC的边AB，BC分别与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E.连接OD，OE，DE.若点D为AB的中点，则S△ODE=______(用含k的代数式表示).  20.（10分）如图，A，B，C，D是  O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4. (1)求AB的长; (2)若要使AC//BD，需要添加一个条件，请从“条件1：  ”，“条件2:BD是   O的直径”，“条件3：∠ACB=45°”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程. 21.（10分）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20)，并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． (1)从y＝ax＋21(a≠0)，y＝ (k≠0)，y＝－0.04x2＋bx＋c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 22.（10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材1 某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路AB的宽为20 m，桥拱最高处距离路面的距离为8 m. 图① 素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩CD＝EF＝4 m. 图② 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆CE，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在横杆CE上方设置一个面积为18 m2的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在CE上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称. 图③ 任务一：以AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； 任务二：确定桥墩位置，求两个桥墩之间的距离(不考虑桥墩的宽度)； 任务三：拟定设计方案，给出一种广告牌的设计方案，并根据你所建立的坐标系，求出矩形广告牌左上方顶点的坐标． 23.（10分）【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF． 【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点H，连接EH可以解决这个问题．请在图①中补全图形，并解答老师提出的问题； 【类比探究】（2）如图②，四边形ABCD是矩形，且  ，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求  的值(用含n的式子表示)； 【综合应用】（3）如图③，P为边CD上一点，连接AP，PF，在（2）的基础上，当  ，∠PAE＝45°，  时，请直接写出BC的长． 答案 一、选择题 1.B 2.B 3.C 详解：从上面看到的是一个正方形及正方形内与正方形无交点的一个圆，故选项C符合题意． 4.D 详解：A．  与  不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；B．  ，故B选项不符合题意；C．  ，故C选项不符合题意；D．  ，故D选项符合题意． 5.B 详解：∵AB∥CD，∠ACD＝132°，∴∠A＝180°－∠ACD＝48°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°－∠A＝42°. 6. A　 详解： 将一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3转化为一般式为x2－2x－4＝0，∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，∴该方程有两个不相等的实数根． 7.D 详解：将张衡，刘辉，祖冲之，阿基米德四位数学家分别记作甲，乙，丙，丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） — （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） — （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） — ∵共有12种等可能的结果，其中选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的结果有6种结果，∴P（选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家）  ． 8.C 9.C　 详解：∵OA⊥CD，半径OC＝2，AE＝2－ ，∴OE＝ ，CE＝DE＝ ，∴∠COD＝90°，∵AB是直径，∴∠BOD＝135°，∴S扇形BOD＝ ＝ . 10.A　 详解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°.∵EF两点的速度均为1cm/s.∴当0≤x≤2时，y＝ AE·DF·sin∠CDB＝ x2，当2≤x≤4时，y＝ AE·BF·sin∠B＝－ x2＋ x，∴只有A选项符合题意 二、填空题 11.0(答案不唯一) 详解：要使  有意义，则x+1≥0，解得x≥－1，所以x的值可以是0(答案不唯一)． 12.x＞2 详解：令   ，解不等式①得x＞2, 解不等式②得x≥-3, ∴不等式组的解集为x＞2. 13.1（答案不唯一，满足a＞0的值均可） 14. 详解：如答案图，设小梯形纸片的上底和下底分别为a和b，根据题意得  ，化简得  ，设a＝1，则  ，解得  （负值舍去），∴这个正方形纸片的边长与等腰三角形的底边长的比为（a＋  答案图 15. 详解：根据对称的性质可得，CB＝CF＝5，∠CFE＝∠CBE＝90°，∴点F的轨迹为以C为圆心，5为半径的圆，根据图形及点F运动轨迹可知∠DFE≠90°，所以分两种情况讨论：情况一：如答案图①，当∠DEF＝90°时，此时∠EBC＝∠CFE＝∠BEF＝90°，∴四边形BCFE是矩形，∵CF＝CB，∴四边形BCFE是正方形，∴BE＝BC＝5，∴DE＝BE－BD＝2；情况二：如答案图②，当∠EDF＝90°时，过点C作CH⊥DF于点H，则四边形BCHD是矩形，∴CH＝BD＝3，DH＝BC＝5，在Rt△CHF中，FH  4，∴DF＝DH＋FH＝9，由对称可知，EB＝EF，设DE＝x，则EF＝EB＝x＋3，在Rt△DEF中，DE2＋DF2＝EF2，∴x2＋92＝(x＋3)2，解得x＝12，∴DE＝12.综上所述，DE的长为2或12． 三、解答题 16.解：(1)原式＝－2+1 ＝－1 ； (2)原式 •     ． 17.解：(1)a＝81.25，b＝90，c＝80； (2)600× ＋600× ＝225(名). 答：估计七、八年级参赛的学生拿到满分的人数有225名； (3)从中位数看，七年级有一半的学生成绩不低于80分，八年级有一半的学生成绩不低于90分．(或从众数看，七年级学生成绩为80分的人数最多，八年级学生成绩为90分的人数最多) 18.(1)证明：如答案图①，连接AC，BD，设AC，BD交于点O. ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90°(即EH⊥EF)， 又∵点E，F，G，H分别是各边的中点，∴EH∥BD，EF∥AC，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形； 【一题多解】如答案图②，连接AC，BD交于点O，设AC交FG于点N，BD交HG于点M，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HGF＝90°，∵H，G分别是AD，DC的中点，∴HG∥AC，HG＝  AC，∴∠HGF＝∠GNC，∴∠GNC＝90°，∵G，F分别是DC，BC的中点，∴GF∥BD，GF＝  BD，∴∠GNC＝∠MOC＝90°，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形； 答案图①            答案图② (2)解：由(1)得四边形ABCD是菱形，∴AO⊥BO，AC＝2AO，BD＝2BO， ∵菱形ABCD的面积为10，∴ AC·BD＝10，即 ×2AO×2BO＝10，∴AO·BO＝5. ∵矩形EFGH的周长为22，∴EH＋EF＝11. ∵点E，F，G，H分别是各边的中点，∴EH＝ BD＝BO，EF＝ AC＝AO，∴BO＋AO＝11， 在Rt△AOB中，由勾股定理得AB2＝AO2＋OB2＝(AO＋BO)2－2AO·BO＝112－2×5＝111，∴AB＝ . 【一题多解】∵矩形EFGH的周长为22，∴HG＋FG＝11，由(1)知HG＝ AC，GF＝ BD，∴AC＋BD＝22，∵菱形ABCD的面积为10，∴ AC·BD＝10，∴AC·BD＝20，∵(AC＋BD)2＝AC2＋2AC·BD＋BD2，∴AC2＋BD2＝444，∴( AC)2＋( BD)2＝111，∴AO2＋BO2＝111，∴AB2＝AO2＋BO2＝111，∴AB＝ . 19.（1）解：正确. 证明：由 = ，可得 = . 又∠B=∠B，∴△BED~△BCA， ∴∠BED=∠BCA，∴DE//AC. （2）证明：如解图①，过点E作x轴的平行线，交y轴于点F，过点D作y轴的平行线，交x轴于点G，连接FG，则ED//FG.又MF//DG，EF//CN， ∴四边形MFGD和四边形FENG都是平行四边形， ∴DM=FG=EN， ∴EM=DN. 解图① （3）解：  k. 【解法提示】如解图②，连接AC，OB，则DE//AC.又BD=AD，∴BE=CE，∴S△OBE：=：S△OCE：=：  k，S△OBD=S△OAD=  ：k，S△BDE=  S△OCE=  k，∴S△ODE=S△OBE+S△OBD-S△BDE=  k×2-  k=  k. 解图② 20.（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB．  ， ∴∠ABC＝∠ADB． ∵∠BAE＝∠BAD， ∴△ABE∽△ADB， ∴  ． ∵AE＝2，AD＝AE+ED＝2+4＝6， ∴  ， ∴AB＝2 ； （2）选择条件2：BD是 O的直径，理由如下： ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°． ∵AB＝2 ，AD＝6， ∴在Rt△BAD中，tan∠BDA ， ∴∠BDA＝30°， ∴∠ACB＝30°，∠ABD=60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠CBD=30°=∠ACB， ∴AC∥BD． 21.(1)解：由题图知，场景A选择函数模型y＝－0.04x2＋bx＋c，将点(10，16)和点(20，3)的坐标代入， 得 解得 ∴场景A下的函数表达式为y＝－0.04x2－0.1x＋21. 场景B选择函数模型y＝ax＋21(a≠0)， 将点(5，16)的坐标代入，得16＝5a＋21，解得a＝－1， ∴场景B下的函数表达式为y＝－x＋21. (2)由题图知，场景A下，当该化学试剂发挥作用的最低质量为3克时，时间为20分钟． 在场景B下，令y＝－x＋21＝3，得x＝18.即场景B下该化学试剂发挥作用的时间最长为18分钟， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 22.解：任务一：如图，以AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，则桥拱最高点M的坐标为(0，8)， ∵AB＝20，∴OB＝10， ∴B(10，0)， 设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋c， 则  ， 解得  ， ∴抛物线的函数解析式为y＝－0.08x2＋8(－10≤x≤10)； 任务二：令y＝4，则－0.08x2＋8＝4， 解得x1＝－5  ，x2＝5  . ∵5  －（－5  ）=10  ， ∴两个桥墩之间的距离是10  m； 任务三：∵矩形广告牌的面积为18m2，且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案(前面的数字代表的边长落在CE上)：①1×18；②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1. ∵拱桥的最高点到CE的距离为8－4＝4(m)， ∴方案①，②，③不符合题意． ∵CE＝10   ＜18，∴方案⑥不符合题意． 对于方案④： 当x＝   ＝3时，y＝－0.08x2＋8＝7.28. 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为4＋3＝7(m)． ∵7.28＞7， ∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是(－3，7)； 对于方案⑤： 当x＝   时，y＝－0.08x2＋8＝6.38(m)， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为4＋2＝6(m)． ∵6.38＞6，∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是(－   ，6)； 综上所述，共有两种设计方案： 方案一：矩形广告牌的长为6m，宽为3m，左上方顶点的坐标是(－3，7)； 方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，左上方顶点的坐标是(－   ，6)． 23.解：（1）如答案图①，取AB的中点H，连接EH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∵H是AB中点，E是BC中点， ∴AH＝BH＝BE＝EC， ∴∠BHE＝45°，∠AHE＝135°． ∵CF是正方形外角平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝∠DCF＋∠BCD＝135°， ∴∠AHE＝∠ECF， 又∵∠AEF＝90°，∠B＝90°， ∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∠FEC＋∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC． 在 AHE和 ECF中 ， ∴△AHE≌△ECF(ASA)， ∴AE＝EF； （2）如答案图②，在AB上截取BH＝CE，连接EH， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 设BH＝BE＝CE＝1，则BC＝2， ∵  ， ∴AB＝2n， ∴AH＝2n－1， 由（1）得，∠BAE＝∠CEF，∠AHE＝∠ECF＝135°， ∴△AHE∽△ECF， ∴  ； （3）2  【解法提示】如答案图③，延长EF，AP，交于点R，过点R作RH⊥AD，交AD的延长线于点H，交BC的延长线与点G，过点F作FT⊥CD于点T，∵  ，∴可设AB＝CD＝6x，BC＝AD＝4x，则BE＝CE＝2x，∵∠AEF＝90°，∠PAE＝45°，∴ AER是等腰直角三角形，∴AE＝ER，由（1）知∠BAE＝∠CEF，∵∠B＝∠G＝90°，∴ ABE≌△EGR(AAS)，∴EG＝AB＝6x，GR＝BE＝2x，∴DH＝CG＝EG－EC＝6x－2x＝4x，HR＝GH－GR＝6x－2x＝4x，∴AH＝AD＋DH＝8x，∵CD∥GH，∴ APD∽△ARH，∴  ，∴  ，∴CP＝CD－PD＝6x－2x＝4x，在AB上截取BQ＝BE＝CE，连接EQ，∴QE＝  BE＝2  x，AQ＝AB－BQ＝6x－2x＝4x，由（2）知， AQE∽△ECF，∴  ，∴  ，∴  ，∴CT＝FT＝x，∴PT＝CP－CT＝3x，在Rt△PTF中，PT2＋FT2＝PF2，∴  ，解得  ，  (舍去)，∴BC＝4x＝2  ． 数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $