专题04不等式与不等式组期末易错与压轴专项训练(19大题型共计78道)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组全章高频易错与压轴题型，通过典题特征分析、易错点梳理及系统性解题思路提炼，构建从基础到综合的突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错模块（8个）|含典题特征+易错点，如整数解漏边界、绝对值不等式等价转化|针对解不等式（组）的核心易错点，提炼“符号变换规则”“边界值验证法”等实用技巧|从一元一次不等式解法到数轴表示，逐步构建“解法-表示-应用”的基础逻辑链| |压轴模块（11个）|含参数问题、函数综合、实际应用等，如参数范围确定、新定义运算|总结“参数分离法”“图像转化法”“实际问题建模步骤”等解题模型|以不等式组为核心，关联方程、函数、实际情境，形成“代数推理-几何直观-模型应用”的综合逻辑体系|

专题04不等式与不等式组期未易错与玉轴专项训练 易错与压轴题型 本专练聚焦不等式与不等式组全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路， 针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.求一元一次不等式的整数解 易错02.求一元一次不等式解的最值 易错03.解x≥a型的不等式 易错04.直线与坐标轴校点求不等式解集 易错05.两直线交点求不等式的解集 易错06.数轴上表示不等式的解集 易错07.求不等式心组的整数解 易解08.解特殊不等式组 压轴09.由不等式组的解集求参数 压轴10.由不等式组解集的情况求参数 压轴11.不等式组和方程组结合的问题 轴12.含参数不等式组取值范围问题 压轴13.不等式组有解无解问题 轴14.不等式组整数解求参数问题 压轴15.不等式组确解集相同求参数问题 B轴16.新定义运算题型 压轴17.限定条件下求代数式最值问题 轴18.不等式组与一次函数综合问题 压轴19.不等式组的实际应用 易错01.求一元一次不等式的整数解 典题特征：给出含/不含参数的一元一次不等式，要求找出整数解（如正整数解、负整数解、所 有整数解)。 易错点：①解不等式时系数化为1，除以负数未变号；②找整数解时漏看边界值（如x<3的正 整数解不含3)；©混淆“整数解”和“正整数解”的范围。 1.不等式4x-2)>2(3x-7)的非负整数解的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到x的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可 得到答案 【详解】解：4x-2)>2(3x-7 4x-8>6x-14 试卷第1页，共3页 4x-6x>-14+8 -2x>-6 x<3, 满足x<3的非负整数为0,1,2，共3个 2.不等式x-8>2x-5的最大整数解是： 【答案】一4 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出最大整数解即可. 【详解】解：x-8>2x-5, x-2x>-5+8, -x>3, x<-3, .小于-3的最大整数为-4， 2x+5y=3m 3.若关于x,y的方程组 的解满足3x+2y>7,则m的最小整数解为(). x-3y=2+m A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】解题时无需分别解出x,y,直接将方程组两个方程相加得到目标式3x+2y,再代入 不等式求出m的取值范围，即可得到最小整数解 2x+5y=3m① 【详解】解： x-3y=2+m② 由①+②得：3x+2y=4m+2, :方程组的解满足3x+2y>7, .4m+2>7, 解得>好 m为整数， ∴m的最小整数解为2，故选C. 4.已知关于k不等式2k-3引<10，k,其中m是关于k的不等式的最大整数解，求关于x 3 的不等式2x-5}、X-m的解集。 4 试卷第1页，共3页 3 【答案】x> 2 【分析】先解不等式得出k<4,根据m是关于k的不等式的最大整数解，求出m=3,然后 把m=3代入关于x的不等式，得到关于x的不等式，解不等式即可。 【详解】解：2(k-3)<10-k 3 化简，得6k-18<10-k, 解得k<4, .m=3, 把m=3代入关于x的不等式，得3到2x-5>x-3, 4 解得：x> 2 易错02.求一元一次不等式解的最值 典题特征：给出一元一次不等式，要求求解集的最大/最小值，或限定条件下代数式的最值。 易错点：①误將无界解集（如x>2)认为有最值：②边界值判断错误（如×≤5的最大值是5， X≥-1的最小值是-1)：③混淆"解的最值”和“代数式的最值”。 5.若关于x的不等式x<a的正整数解恰有两个，则实数a的最大值为() A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参 数取值范围的关系是关键.先确定满足“正整数解恰有两个时正整数解的具体值，再据此分 析实数a的取值范围，从而求出a的最大值. 【详解】解：：正整数解恰有两个，而最小的正整数是1， :这两个正整数解为1和2， 要使正整数解是1和2，那么Q要大于2（如果a=2,则x<2的正整数解只有1）： 同时a不能大于3（如果a>3,则x<a的正整数解会有1、2，可能还有3，不满足恰有两个 正整数解)， 2<a≤3， .a的最大值为3. 故选：D. 试卷第1页，共3页 6.己知实数x,y,z满足x+y=3,x-z=6.若x≥-4y,则x+y+z的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】设x+y+z=1,用x表示z得到z=x-6,则t=3+x-6=x-3,所以x=1+3,再 利用x之2-4y,y=3-x得到x之-4(3-x,解不等式得到x≤4，所以1+3≤4，然后解不等 式得到t的最大值即可. 【详解】解：设x+y+z=t, .X-2=6, ∴.z=x-6, x+y=3, .y=3-x,1=3+x-6=x-3, .x=1+3, x2-4y, 即x2-43-x), .x≤4， .t+3≤4， 解得：t≤1， x+y+z的最大值为1. 7.已知实数x,y,z满足x+y=6,x-z=8,若x≥-3y,则x+y+z的最大值为() A.3 B.7 C.10 D.13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键 由条件可得x+y+z=x-2,因此求最大值等价于求x的最大值，结合x+y=6和x≥-3y约 束，得到x2-3(6-x,解不等式可得x≤9，从而求出最大值. 【详解】解：x+y=6,x-z=8, .z=x-8, .x+y+z=6+x-8=x-2。 故求x+y+?的最大值即求x的最大值， 试卷第1页，共3页 由x+y=6,得y=6-x, 代入x≥-3y,得x2-36-x, 即x≥-18+3x, 解得x≤9 .x的最大值为9， 此时x+y+z=9-2=7, 故最大值为7， 故选：B 8.已知b≥0，且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值. 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代 数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键 通过解方程组用b表示出a、c、d,然后代入a+b+c+d得到只含b的代数式，最后结合b 的范围即可解答， 【详解】解：：a+b=c+l,b+c=d+2,c+d=a+3, a+b-c=1① .{b+c-d=2②， c+d-a=3③ ①+②得：a+2b-d-3④， ①+③得：b+d=4⑤，即d=4-b, ④+⑤得：a+3b=7,即a=7-3b, 将a=7-3b、d=4-b代入b+c=d+2得：c=6-2b, ..a+b+c+d =7-3b+b+6-2b+4-b =17-5b, .b20, 当b=0时，a+b+c+d的最大值为17. 易错03.解×≥a型的不等式 典题特征：含绝对值的一元一次不等式，形式为mx+n≥a或mx+nsa(a>0)。 试卷第1页，共3页 易错点：①记错绝对值不等式的等价形式（如把x之a误写成asx≤a):②去绝对值时抹考虑 mx+n的正负；③忽略a≤0的特殊情况（如lx上-1的解集是全体实数）。 ,则a= 9.已知不等式0k-2斗-5列-1>)a-2+2到的解是x<) 【答案】-5 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据x<二列方程求解即可. 【详解】0-2斗-列-1>a-2+2到 x-2-5-2>ax-2+2 x-2-ax-2>2+2+5 1-ajx-2>9 .1-a>0,即a<1, ÷x-29 1-a x-2<-9 或x-2>9 1-a 1-a .x<- 9+2或9+2 1- 1-a :不等式的解是x<2 1 9 +2应舍去， 1-a 。+2=分得a-5 1- 经检验，a=-5是方程的解. 故答案为：-5. 【点晴】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不 等式的解 10.不等式1x-3+x+4≥9的解为 【答案】x≤-5或x24 【分析】分x≤-4、-4<x≤3和x>3三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解。 【详解】解：当x≤-4时，原不等式即3-x-x-4≥9，解得：x≤-5； 当-4<x≤3时，原式即：3-x+x+4≥9，无解： 当x>3时，原式即：x-3+x+4≥9，解得：x24. 试卷第1页，共3页 故不等式的解集是：x≤-5或x≥4. 11.若不等式x+2|+|x-2≤a无解，则a的取值范围为() A.a<5 B.5<a≤4 C.a≤4 D.a<4 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得x+2|+x-2| 表示数轴上x对应点到-2和2对应点的距离之和，最小值为4，即可求解；理解绝对值的几 何意义是解题的关键， 【详解】解：x+2|+|x-2|表示数轴上x对应点到-2和2对应点的距离之和，最小值为4， “x+2|+|x-2a无解， a<4, 故选：D 12.解不等式：x-1+x+2>5 【答案】x<-3或x>2 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分x<-2,-2≤x≤1和x>1三种情况，分 别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案， 【详解】解：当x<-2时， x-+x+2>5, 1-x-x-2>5, 解得x<-3; 当-2≤x≤1时， :x-1+x+2>5, .1-x+x+2>5,即3>5，故此种情况不成立： 当x>1时， x-+x+2>5, .x-1+x+2>5, 解得x>2; 综上所述，x<-3或x>2. 试卷第1页，共3页 易错04.直线与坐标轴交点求不等式解集 典题特征：给出一次函数解析式，结合直线与x轴/y轴的交点，求kx+b>0或kx+b<0的解 易错点：①求交点时坐标算错：②混淆“y>0”对应x轴上方、“y<0”对应×轴下方的图像： ③直线斜率为负时，解集方向判断错误。 13.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集是() y=kx+b 2 A.x>2 B.x<2 C.x>-1 D.x<-1 【答案】B 【分析】关于x的不等式kx+b<0的解集即为直线y=kx+b(k≠0)在x轴下方时对应x的取 值范围 【详解】解：由函数图象可得，关于x的不等式kx+b<0的解集是x<2. 14.一次函数y=c+b与y=mx+n的图象如图所示，若0<kx+b<mx+n,根据图象可得 x的取值范围为 y=kx+b v=mx+n 6- 【答案】3<r<5 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，0<kx+b<mx+n表示在x轴的上 方，且y=mx+”的图象在y=x+b的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直 接求解。 【详解】解：根据图象可得，0<kx+b<mx+n,则x的取值范围是：3<x<5. 故答案为：3<x<5. 试卷第1页，共3页 15.在平面直角坐标系中，一次函数y=c+1(k≠0)的图象经过点A1,3). (1)求该一次函数的解析式. (2)若点B(-2m+1,-3m)在该函数图象上，求点B的坐标. (3)当x>3时，对于x的每一个值，一次函数y=-x+n的值都小于一次函数y=x+1的值.求 的取值范围. 【答案】(1)y=2x+1 (2)点B的坐标为-5，-9】 (3)n≤10 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的确定、函数图象上点的坐标特征以及一元一次不 等式的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式以及根据函数值的大小关系确定参 数的取值范围是解题的关键 (1)将点A(1,3)代入一次函数y=x+1,通过解方程求出k的值，进而得到函数解析式. (2)将点B(-2m+1,-3m代入第(1)小题求得的函数解析式，解出m的值，再代回点B的坐 标表达式中，得到点B的坐标 (3)根据题意，当x>3时，不等式-x+n<x+1恒成立.先代入的值化简不等式，再根据 x的取值范围，求出的取值范围. 【详解】(1)解：：一次函数y=c+1的图象经过点A1,3), 3=k×1+1, k=2, ·该一次函数的解析式为y=2x+1. (2)解：：点B(-2m+1,-3m)在函数y=2x+1的图象上， -3m=2(-2m+1)+1, 解得m=3, :-2m+1=-2×3+1=-5,-3m=-3×3=-9, :点B的坐标为-5，-9)： (3)解：”当x>3时，-x+n<2x+1, n<3x+1, 试卷第1页，共3页 x>3, .3x+1>3×3+1=10, n≤10 易错05.两直线交点求不等式的解集 典题特征：给出两条一次函数yh=k1x+b1、y2=k2x+b2,结合交点坐标，求y1>y2或y1≤y2 的解集。 易错点：①求交点坐标时计算错误；②判断“上方/下方”时混淆两条直线；③未根据直线斜率 判断解集的增减方向。 16.如图，一次函数y=-2x+4与y=kx+b(k≠0)的图象交于点P,则关于x的不等式 -2x+4>kx+b的解集是() y=kx+b 3 1 -5-4-3-2 12 3456x -3 y-2x+4 -5 A.x<-1 B.x>2 C.x>3 D.x<3 【答案】D 【分析】观察函数图象，写出直线y=-2x+4在y=kx+b(k≠0)上方所对应的自变量的范围 即可。 【详解】解：由题意得：不等式-2x+4>kx+b表示函数y=-2x+4的图象在函数 y=kx+b(k≠0)图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：x<3, 如图所示是函数)+的图象，若，x+>x+，则x的取值雨 试卷第1页，共3页 5 1 -3-2-10 123 -1 -2 【答案】月x<1 【分析】令x 3 5中x+,解得，令行+x山，解得x三在同户坐标系中作 2 13 出y ,结合图形即可得解。 2+ x+1(x2-1 【详解】解：由图象可得y=x+1= -x-1x<-1' 1 3 x+=x+1,解得x=1, 令 2 13 令2x+ =-x-1,解得x=-2 3 1 在同一坐标系中作出y=2x+ 如所标 A 3 Z3-2-10 123末 1F 由可如，考行+子>+小，则的取但葡围为-子<1 18.在直角坐标系中，直线y=kx+2(k<0)与直线y2=kx-2(k2>0)的图像如图，两直 线的交点坐标为P,9),那么不等式kx+2>k2x-2的解集为() 试卷第1页，共3页 y2=k2x-2 0 (p.q) yi=kx+2 A.0<x<p B.x>p C.x<0或x>pD.x>0 【答案】C 【分析】由直线片=kx+2k<0)与直线y,=kx-2(k2>0)的图像可知，直线 y=kx+2k<0)与直线y=kx-2k,>0)的交点为P,-9),(0,2),根据图形即可求得不 等式kx+2>k2x-2的解集。 【详解】解：当x=0时，y=k×0+2=2,y=k2×0-2=2, 又：直线片=kx+2(k<0)与直线y2=kx-2(k,>0)的图像的交点坐标为P,9, 如图， y2=k2x-2 (0,2) (p,-q) x(p.g) yi=kx+2 直线y=kx+2k<0)与直线y=k2x-2k2>0)的交点为p,-9,(0,2), 观察图像可知：当x<0或x>p时，y=kx+2k<0)的图像在y=k,x-2k,>0)的图像的 上方， :不等式kx+2>kx-2的解集为x<0或x>p. 19.如图，己知一次函数，=x+m与y2=-2x+n的图象交于点P,且点P的横坐标为-1. 试卷第1页，共3页 (1)求m与的关系式. (2)当-2<x<-1时，都有y2>片>0，求的取值范围. 【答案】()m=3+n (2)n≥-1 【分析】(1)x=-1代入两个函数建立等量关系即可求解： (2)求出一次函数片=x+m与x轴的交点坐标，结合图像写出y2>y,>0的解，再建立不等 式求解即可 【详解】(1)解：x=-1时，y1=-1+m,y2=-2x-1+n=2+n, -1+m=2+n,即m=3+n; (2)解：y1=x+m=0,解得x=-m, 即一次函数y1=x+m与x轴相交于(-m,0), 结合图像y2>,>0的解为-m<x<-1, -m≤-2，解得m≥2， .3+n≥2，解得n≥-1. 69 易错06数轴上表示不等式的解集 典题特征：要求将一元一次不等式（组）的解集在数轴上表示，或根据数轴表示写出解集 易错点：①空心/实心圆点用错（如x>2用实心圆点，x之2用空心圆点）；②方向画反（大于向 左、小于向右)：®不等式组的公共部分找错 20.不等式)x+1<2的解集在数轴上表示正确的是（() A.0 0 试卷第1页，共3页 c. D. 【答案】B 【详解】解： 2x+1<2, 移项得，<2-1， 1 合并同类项得，2x<1, 系数化1得，x<2, 画数轴如图所示， 0 21.己知点P(a,3-a在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为() A211234 B.2161234 C.- 2-10124→ D. 【答案】B 【分析】根据点所在的象限求出Q的取值范围，在数轴上表示即可. 【详解】解：：点P(a,3-a在第二象限， a<0 3-a>0' 解得a<0, 选项B符合题意 x≤3 22.关于x的一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为() x>-2 A.-4-3-2-101234 B.433-01234 C.-4-3-2-101234 D.-4-3-2-101234 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集，利用“同大取大，同小取小，大 小小大取中间，大大小小是无解”在数轴上表示出解集 试卷第1页，共3页 【详解】解：解集在数轴上表示如下： -4-3-2-1012341 故选：B 23.解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集， (1)-2x+5<3 (2)- +2≥5r+1 4 6 【答案】0)x>1,43210234 2②)x≤1，-4-3-2-101234 【详解】(1)解：-2x+5<3, -2x<3-5, -2x<-2, x>1, 数轴略； (2)解：- +2≥5r+1 4 6 3(x-5)+24≥2(5x+1), 3x-15+24≥10x+2, 3x-10x≥2+15-24， -7x2-7, x≤1， 数轴略 易错07.求不等式组的整数解. 典题特征：给出一元一次不等式组，要求找出整数解（或指定范围的整数解）。 易错点：①解不等式组时步骤出错：②找公共解集时遗漏边界；®整数解个数数错（如包含/不 包含端点值)。 2x-1>3 24.不等式组 x+4<8 的整数解的个数是() 试卷第1页，共3页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数， 统计整数解的个数即可得到答案. 2x-1>3① 【详解】解： x+4<8② 由①可得x>2; 由②可得x<4, :不等式组的解集为2<x<4; 该区间内的整数只有3，整数解共1个 25.若关于x的不等式组 3x-6≤0只有4个整数解，则m的取值范围是 x>m-1 【答案】-1≤m<0 x>m-1 【分析】先解3x-6≤0得x≤2，则可得关于x的不等式组 的4个整数解是2、1、 3x-6≤0 m-1≥-2 0、-1,然后列出不等式组 m-1<-1 即可求出m的取值范围， 【详解】解：3x-6≤0， 3x≤6， x≤2， x>m-1 :关于x的不等式组 的4个整数解是2、1、0、-1， 3x-6≤0 m-12-2 m-1<-1' 解得：-1≤m<0, .m的取值范围是-1≤m<0. 26.已知关于x的一元一次方程mx-2=-3x有整数解，且关于y的不等式组 [-2y<4 4-m>5y-4有 且只有四个整数解，则所有满足条件m的整数值之和是() A.-9 B.9 C.-12 D.12 试卷第1页，共3页 【答案】A 【分析】先解一元一次方程得到x的表达式，根据方程有整数解得到整数m的可能取值，再 解不等式组，根据不等式组有且只有四个整数解确定m的取值范围，最后筛选出符合条件 的整数m计算和即可 【详解】解：先解一元一次方程mx-2=-3x, 移项得mx+3x=2,即xm+3=2, ·方程是一元一次方程，且解为整数， ：m+3≠0，且m+3是2的因数，即m+3=±1，±2， 解得整数m为-5，-4，-2，-1， -2y<4 再解不等式组 4-m>5y-4 解第一个不等式-2y<4得y>-2 解第二个不等式4-m>5y-4得y<8-m 5 ·不等式组的解集为-2<y<8-m 5 :不等式组有且只有四个整数解，大于-2的四个整数为-1,01,2， 2<8-m≤3， 5 不等式同乘5得10<8-m≤15， 移项化简得-7≤m<-2, 在-7≤m<-2范围内，符合条件的整数m为-5，-4， 所有满足条件的整数值之和为-5+(-4)=-9， 故选A. 27.已知关于x,y的二元一次方程组： x+y=3n+2 的解满足x为非负数，y为负数。 x-y=4-n ()求的取值范围： (2)在的取值范围内，当取何整数时，关于m的不等式mn+m<n+1的解集是m<1? 【答案】0)-3≤n<2 (2)0 【分析】(1)先由加减消元法求出x,y,，再由题意列不等式组求解即可 试卷第1页，共3页 (2)先将题中不等式恒等变形为(n+1)m<n+1,结合不等式解集为m<1,求出n>-l,再 由(1)中关于的取值范围求解即可. 【详解】(1)解： x+y=3n+2① (x-y=4-n② 由①+②得2x=2n+6,解得x=n+3, 由①-②得2y=4n-2,解得y=2n-1, “x为非负数，y为负数， 2n-1<0'解得-3sn< n+3≥0 2， .n的取值范围是-3≤n<2 1 (2)解：由mn+m<n+1得，(n+lm<n+1, :不等式的解集是m<1, n+1>0,即n>-1, 结合(1)中-3≤n 2,得-1<n< n为整数， :符合条件的的取值是0 易解08.解特殊不等式组 典题特征：连写型不等式（如1<2x-1≤5）或含括号/分母的复杂不等式组。 易错点：①拆分成不等式组时符号错误；②直接对连写不等式变形时漏乘常数项；③去分母时漏 乘不含分母的项。 28.已知1≤ax+b<3的解集为2≤x<3,则1≤a(1-x)+b<3的解集为 【答案】-2<x≤-1 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可， 【详解】解：：1≤ax+b<3的解集为2≤x<3, 则1≤a(1-x)+b<3的解集为2≤1-x<3, .-2<x≤-1： 故答案为：-2<x≤-1. 试卷第1页，共3页 29.若方程组 ax+hy=G的解为 x=1 y=-1’则方程组 a(x+1+b(y+=G的解为 ax+by=c, a2x+1)+b2y+1)=c2 x=0 y=-2 利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组m≤ax+b≤n的解集为1≤x≤3 ,则不等式组m-b≤ax+a≤n-b的解集为 【答案】0≤x≤2 【分析】将待解不等式组变形为与已知不等式组结构一致的形式，对照已知解集求解即可； 【详解】解：对不等式组m-b≤ax+a≤n-b变形，同时加上b得 m-b+b≤ar+a+b≤n-b+b, 整理得m≤a(x+1+b≤n, :不等式组m≤ar+b≤n的解集为l≤x≤3， 1≤x+1≤3， .0≤x≤2. a(az0 30.阅读：我们知道a= 于是要解不等式x-3引≤4，我们可以分两种情况去掉绝 -aa<0 对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当x-3≥0，即x≥3时，x-3≤4， 解得x≤7， 所以3≤x≤7： ②当x-3<0,即x<3时，-(x-3)≤4， 解得x≥-1， 所以-1≤x<3. 所以原不等式的解集为-1≤x≤7. 根据以上思想，请解下列不等式： 1)x+1≤2： (2)x-2≥1. 【答案】)-3≤x≤1 (2)x≤1或x≥3 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键 试卷第1页，共3页 (1)仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集。 (2)仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集。 【详解】(1)解：x+≤2， ①当x+1≥0，即x≥-1时，x+1≤2， 解得x≤1， .-1≤x≤1， ②当x+1<0,即x<-1时，-x+1≤2， 解得x≥-3， .-3≤x<-1, ∴，不等式x+1≤2的解集为-3≤x≤1： (2)解：x-2≥1， ①当x-2≥0，即x22时，x-2≥1， 解得x≥3， .x≥3， ②当x-2<0,即x<2时，-(x-2)≥1 解得x≤1， x≤1， .不等式x-2≥1的解集为x≤1或x≥3. 09 压轴09.由不等式组的解集求参数 典题特征：给出含参数的一元一次不等式组，已知解集，求参数的值/范围。 解题思路：①分别解含参数的不等式，用参数表示解集：②结合已知解集，根据“同大取大、同 小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”列等式/不等式：③验正边界值是否符合题意。 x+2>a 31.己知关于x的不等式组 x-1<6的解集为-1<x<3,则的值是 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及代数式求值，先分别求解每个不等式的解 集，根据已知不等式组的解集得到关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入计算a即可 试卷第1页，共3页 得到结果。 【详解】解：解不等式x+2>a, 解得：x>a-2, 解不等式x-1<b, 解得：x<b+1, .a-2<x<b+1, :-1<x<3, a-2=-1 b+1=3, a=1 解得： 1b=2' ∴a=12=1. x≥1 32.若不等式组 的解集为x≥1，则的取值范围是 x>n 【答案】n<1 x≥1 【详解】解：已知不等式组 的解集为x≥1， x>n .x21>n, 即n<1. 33.若不等式组 r-a>0 的解集为2<x<3,则(a+b)2025的值为() 3x+b<6 A.0 B.1 C.-1 D.2025 【答案】C x-a>0 【分析】先求出不等式组的解集，根据“不等式组 的解集为2<x<3”求出a、b的 3x+b<6 值，进而代入(a+b)2025计算即可. 【详解】解：解x-a>0,得x>a, 解3x+b<6,得x<6-b 3 试卷第1页，共3页 6-b :不等式组的解集为a<x< 3, :不等式组的解集为2<x<3, a=2, 6-b=3, 3 解得b=-3, .(a+b)2025=(2-3)2025=-1. 2-3x<8. 34.当a为何值时，不等式组 的解集是x>-2? x+a>0 【答案】a≥2 【分析】考查知识点：一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定，解题关键：根据不 等式组的最终解集，分析两个不等式解集的关系（第一个不等式的解集需包含于第二个不等 式的解集).易错点：忽略“-a=-2”的情况，误将a的取值范围写成a>2,先分别解不等 式组中的两个不等式，得到各自的解集；根据同大取大原则，要使不等式组的解集为x>-2 ,需满足-a≤-2，即a≥2. 【详解】解：对2-3x<8变形，得x>-2, 对x+a>0变形，得x>-a. 已知解集为x>-2,因此-a需满足-a≤-2， 解得a≥22. 所以当a≥2时，不等式组的解集是x>-2. 压轴10.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：给出含参数的不等式组，已知“有解/无解/有唯一解”，求参数范围。 解题思路：①分别解两个不等式，用参数表示解集；②根据“有解”需满足“大小小大中间找”， '无解”需满足“大大小小找不到”列不等式：③注意边界值的取舍（如是否取等号）。 x>2 35,如果不等式组 无解，那么m的取值范围是() x<m A.m>2 B.m≤2 C.m≥2 D.m≠2 【答案】B 【分析】不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分，据此确定参数m的取值范围即可. 【详解】解：当m≤2时，不存在x同时满足x>2和x<m,不等式组无解， 试卷第1页，共3页 因此m的取值范围是m≤2 3x-4>2的解为r>2,则m的取值范围为 x+m>0 36.关于x的一元一次不等式组 【答案】m≥-2 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大的原则确定参数m的取值范围. 【详解】解：解不等式x+m>0,得：x>-m, 解不等式3x-4>2,得：x>2, :不等式组的解集为x>2, 根据同大取大的原则，可得-m≤2， 解得m≥-2. 37.已知关于x的不等式组 x>2 x≤。-1'甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式 组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是5≤a<6；乙：如果此不等式组无解，那么 a<3.其中下列判断正确的是(). A.甲、乙都对B.甲错，乙对 C.甲对，乙错 D.甲、乙都错 【答案】C 【分析】先确定不等式组的解集范围，再分别根据甲，乙给出的条件求出的取值范围，判 断两人结论是否正确即可」 【详解】解：解得原不等式组的解集为2<x≤a-1, 判断甲的结论：：不等式组有且仅有2个整数解，且x>2, ：两个整数解为3和4， 4≤a-1<5, 解得5≤a<6,与甲的结论一致，故甲正确： 判断乙的结论：：不等式组无解， :a-1≤2， 解得a≤3， 即不等式组无解时a的取值范围是a≤3，并非a<3,故乙错误， 因此甲对，乙错 38.已知不等式组 x-a> ,的解集中任意一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，求a的取值 x-a< 试卷第1页，共3页 范围。 【答案】a≤1或a≥5 【分析】解不等式组，求出x的范围，根据任何一个x的值均不在2≤x≤5的范围内列出不 等式，解不等式得到答案. 【详解】解：由x-a>0,得：x>a; 由x-a<1,得：x<a+1, 不等式的解集为：a<x<a+1, x的值均不在2≤x≤5的范围内，如图， 012345 不等式的解集中的最小值应不小于5或者最大值不超过2， a的取值范围是：a≥5或a+1≤2，即a≤1； a的取值范围是：a≥5或a≤1. 00 压轴11.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：给出二元一次方程组和含参数如的不等式组，已知方程组的解满足不等式组，求参数范 围。 解题思路：①解方程组，用参数表示未知数的解；②将解代入不等式组，得到关于参数的不等式： ③解不等式组，得到参数的取值范围。 39.若6x=3y+12=2z,且y≥0，z≤9，设m=2x+y-3z,则m的取值范围为 【答案】-19≤x≤-14/-14≥m≥-19 y=2x-4 【分析】先求出 z=3x ，再由y≥0，≤9求出2≤x≤3，求出m=-5x-4,进而求出m 的取值范围即可。 【详解】解：6x=3y+12=2z, y=2x-4 [z=3x .y20,z≤9， 试卷第1页，共3页 2x-4≥0 3x≤9 解得2≤x≤3， m=2x+y-3z=2x+2x-4-9x=-5x-4, .-15-4≤m≤-10-4， .-19≤m≤-14， 故答案为：-19≤m≤-14. 【点晴】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确根据题意求出x的取值范围是解题的关 键 40.已知实数x,y满足2x-y+2=0,0<2x+y+2<2,则下列判断错误的是（) A.-1<x<-2 1 B.0<y<1 C.-2<2x+4y<3 D.-6<2x-4y<0 【答案】D 【分析】先利用已知等式用x表示y,代入不等式求出x的范围，再依次推导各选项中代数 式的范围，找出错误判断， 【详解】解：：2x-y+2=0 .y=2x+2 :0<2x+y+2<2, .0<2x+2x+2)+2<2 二<x<,因此选项A判断正确 .-2<2x<-1, .0<2x+2<1, .0<y<1,因此选项B判断正确。 :2x+4y=2x+42x+2)=10x+8, 由-1kx<得-2<10+8<3， ·.-2<2x+4y<3,因此选项C判断正确. 2x-4y=2x-42x+2)=-6x-8, 试卷第1页，共3页 由-1<x<-。得-5<-6x-8<-2, 即-5<2x-4y<-2,不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误， x+y=2m+7 41,己知关于x,y的方程组 的解满足x>0,y≥0，求m的取值范围. x-y=4m-3 2 【答案】-了m≤5 【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式组，正确计算是关键；先利用加 减法求出方程组的解，再根据解满足x>0,y20得到关于m的一元一次不等式组，解不等 式组即可 x+y=2m+7① 【详解】解： x-y=4m-3②’ ①+②得2x=6m+4, 解得x=3m+2, ①-②得2y=-2m+10, 解得y=-m+5, 因为x>0,y≥0， 3m+2>0 所以 -m+5≥0' 解得、2」 <m≤5， 3 压轴12.含参数不等式组取值范围问题 典题特征：给出含多个参数的不等式组，或含参数的分式/绝对值不等式组，求参数范围 解题思路：①先化简不等式组，分离参数与未知数：②对参数的正负/大小进行分类讨论；③结 合集的定义，列不等式求解参数范围。 42.如果关于x的不等式x-3≤m的正整数解有3个，那么m的取值范围是 【答案】0≤m<1 【分析】先解出不等式的解集，再根据正整数解的个数确定关于m的不等式，进而求出m的 取值范围. 【详解】解：x-3≤m, 移项得x≤m+3, 试卷第1页，共3页 :关于x的不等式x-3≤m的正整数解有3个， :不等式的正整数解为1,2,3， .3≤m+3<4 解得0≤m<1· x<1 43.关于x的不等式组 恰好有三个整数解，则a的取值范围是 x≥a 【答案】-3<a≤-2 【分析】先写出不等式的解集，再根据有3个整数确定α的取值范围即可. x<1 【详解】解：：关于x的不等式组 有解， x≥a :该不等式组的解集为a≤x<1, :不等式组恰好有三个整数解， 这三个整数解为0、-1、-2， .-3<a≤-2. 44.解关于x的不等式组 x-a<0 17-2x≤1 的整数解有4个，则a的取值范围是() A.6<a<7 B.6≤a<7 C.6≤a≤7 D.6<a≤7 【答案】D x-a<0 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合关于x的不等式组 的整数解有4个， 7-2x≤1 即可得出结果。 x-a<0① 【详解】解： 7-2x≤1②' 解不等式①可得：x<a, 解不等式②可得：x≥3， :关于x的不等式组 x-a<0 的整数解有4个， 7-2x≤1 x-a<0 “不等式组 17-2x≤1 的整数解为3,4,5,6， .6<a≤7. 试卷第1页，共3页 x+2y=3k 45.己知关于x,y的二元一次方程组 2x-y=k+5 ()当k=号时，求原方程组的解。 (2)求证：无论k取什么实数，x与y的值不可能相等. (3)当x-3y<1时，求k的取值范围. 3 x= 【答案】() 2 3 J=_ 2 x+2y=3k① (2)证明： 2x-y=k+5②' ②x3-①，得， 5x-5y=15, x-y=3, x=y+3, .x与y的值不可能相等。 (3)k>2 3 x+2y= 【分析】(I)当k=- 时，方程组变为 2 2 9 2y、3 解得= 2x-y= 2 (2)消去参数k,直接得到5x-5y=15,即x-y=3,从而x≠y,与k的取值无关， (3)求解正确：由②①得x-3y=5-2k,代入不等式x-3y<1得5-2k<1,注意除以 负数-2时不等号方向改变，解得k>2. 【详粉】1解：把= x+2y=3k 代入2-=k+5得， 3 x+2y= 2 9 2x-y= 21 试卷第1页，共3页 3 x= 解得 2 3 y=- 2 (2)略 (3)解： x+2y=3k① 2x-y=k+5②， ②-①， 得x-3y=5-2k. 当x-3y<1时， 即5-2k<1, 解得k>2. 压轴13.不等式组有解无解问题 典题特征：含参数的一元一次不等式组，直接考查"“有解”或“无解”的条件。 解题思略：①分别解两个不等式，得到解集形式；②根据“无解”即两个解集无公共部分，列参 数的不等式；③验正边界值（如参数取等号时是否有解）。 46.已知关于x的不等式组 x-m≥0 3x-3<x+5有解，则m的取值范围为 【答案】m<4 【分析】先分别求解两个不等式，再结合不等式组有解的条件确定m的取值范围。 x-m≥0① 【详解】解： 3x-3<x+5② 解不等式①得：x≥m, 解不等式②得：移项得3x-x<5+3, 合并同类项得2x<8, 系数化为1得x<4, 不等式组有解， .m<4 47.若关于x的不等式组 1-x3有解，则a的值可以是 x>a 试卷第1页，共3页 【答案】-3（答案不唯一，满足a<-2即可） 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据不等式组有解的条件得到的取值范围， 写出符合范围的a的值即可. 【详解】解：解不等式1-x≥3，得x≤-2， x>a :关于x的不等式组 1x≥3有解， a<-2, ∴满足a<-2的a都符合题意，可取a=-3(答案不唯一). -(x-1)>3 48.已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 2x+9>a 【答案】a≥5 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“不等式组无解”的条件，即两个 解集没有公共部分，列出关于a的不等式，求解即可. 【详解】解：解不等式：-x+1>3, -x>2, x<-2; 解不等式：2x>a-9, rs4~9 2 :不等式组无解， 09 2 -2， 解得a≥5. 4-2x>-6 49.不等式组 x-m>-1无解，则m的取值范围是() A.m≥5 B.m≥6 C.m>6 D.m≤6 【答案】B 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组无解的条件建立关于m的不等式， 即可求出m的取值范围 【详解】解不等式4-2x>-6 :-2x>-10 试卷第1页，共3页 x<5 解不等式x-m>-1 得到x>m-1 :不等式组无解，两个不等式的解集无公共部分， :m-1≥5 解得m≥6 压轴14.不等式组整数解求参数问题 典题特征：给出含参数的不等式组，已知整数解的个数（如“恰有2个整数解），求参数范围。 解题思路：①解不等式组，用参数表示解集；②根据整数的个数，确定解集的边界范围：③列 不等式组求解参数，注意边界值是否可取。 x+3 ≥x-1 50.如果关于x的不等式组 2 有且只有4个整数解，则α的取值范围是 3x+6>a+4 【答案】5sa<8 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是2,3,4， 5,即可得到1sa:2<2,解得55a<8即可。 3 【弹解】解，由 2≥x-1,得x≤5， 由3x+6>a+4,得x>a-2 3 :关于x的不等式组有且只有4个整数解， ：这4个整数解是2,3,4,5， 1s02<2, 3 解得：5≤a<8. 1-2x>x-2有3个整数解，则a的取值范围是 x-a≥1 51.关于x的一元一次不等式组 【答案】-4<a≤-3 x-a≥1 【详解】解-2x>x-2' 解不等式x-a≥1得x≥1+a, 试卷第1页，共3页 解不等式1-2x>x-2得x<1, 则不等式组的解集为a+1≤x<1, x-a≥1 :关于x的一元一次不等式组 1-2x>x-2 有3个整数解， .-3<a+1≤-2， 解得4<a≤-3. 1-2x≥-3 52.已知关于x的不等式组 x-2a>0’ (1)若不等式组无解，则a的取值范围是 (2)若不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 【答案】 a21 2sa<0 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，(1)由不等式组无解得到2a≥2，即可求解： (2)根据题意可得这三个整数解为2,1,0，进而得到-1≤2a<0,即可求解. [1-2x≥-3① 【详解】解：(1) x-2a>0② 解不等式①得x≤2， 解不等式②得x>2a, “该不等式组无解， ：2a22,即a≥1： (2):该不等式组有且仅有3个整数解，则这三个整数解为2,1,0， ：-1≤2a<0, 第-宁子a<0 53.已知关于x的不等式组 x-a≤0 3+2x≥0 的整数解共有3个，则a的取值范围是() A.1≤a<2 B.1<a≤2 C.1≤a≤2 D.1<a<2 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知条件 得出关于a的不等式组即可. 试卷第1页，共3页 【详解】解： x-a≤0① 3+2x≥0② 由①得：x≤a 由②得：x≥- “不等式组解集： 3 xsa, :不等式组有3个整数解， :不等式组有3个整数解为-1、0、1. :a的取值范围是1≤a<2. 54.若关于x的不等式组 x≤2 5x-a>3x有且只有4个整数解，则a的取值范围为() A.-2≤a<0 B.-2≤a≤0 C.-4≤a<-2 D.-4≤a≤-2 【答案】C 【分析】先解不等式组可得解集为 a<x≤2，再根据不等式组有且只有4个整数解，即可 求解. x≤2 【详解】解：由不等式组 1 5x-a>3x 得：2a<x≤2， 又：不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数是-1、0、1、2， 1 .-2≤5a<-1, 解得：-4≤a<-2. 压轴15.不等式组解集相同求参数问题 典题特征：给出两个含参数的不等式组，已知它们的解集相同，求参数的值。 解题思路：①分别解两个不等式组，用参数表示各自的确解集；②令两个解集的边界值对应相等， 列方程求解参数：③验证参数值是否使两个不等式组的解集完全一致。 5.若关于的不等式3：-小+525江+2m+)与不等式25s3-x的解架相同，则m满 足() 试卷第1页，共3页 3 A.m= B.m25 3 C.m=- D.m≤- 5 【答案】C 【分析】分别解两个不等式的解集，再根据两个解集相同，列式计算即可求出的值。 【详解】解：解不等式3(x-1)+5≥5x+2(m+x), 3x-3+5≥5x+2m+2x, 3x+2≥7x+2m, 3x-7x≥2m-2, -4x22m-2, 1-m x≤ 2, 解不等式25- 2x+5≤33-x, 2x+5≤9-3x, 2x+3x≤9-5， 5x≤4， :两个不等式的解集相同， 1-m、4 25,解得m=3 = 5 56.若关于x的不等式2(x-a)<a+6的解集与不等式2x-4<0的解集相同，则a的值为() 2 A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【分析】先求解出两个不等式的解集，再根据两个解集相同列出关于的方程，即可求解。 【详解】解：解不等式2x-4<0得，x<2, 解不等式2(x-a<a+6得，x<。a+3, 20+3=2, 2 解得a=-3 试卷第1页，共3页 。若关于x的不等式3x+2>5x+2(m+)的解集与不等式2x十-1<2-x的解集相同，则m 的值为() 4 B. 4 3 A.- C.- D. 3 5 5 5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解 解相同得关于m的方程，解方程即可得解， 解)解：解不等式2+51<2-x,得x 3 1-m 解不等式3x+2>5x+2(m+x),得x< 2 :两个不等式的解集相同， 第得=号》 故选：C 58.已知不等式0+x之-3. 3 ()求不等式①的解集。 (2)求不等式①的负整数解， (3)若关于x的不等式②3-2x≥6(a-x)的解集与不等式①的解集相同，求a的值. (④者不等式0的解都是关于x的不等式2x>受的解，求m的取值范围 【答案】1)x≥2-2 (2-1,-2. ③a=-3 6 (4m<-8 【分析】(1)通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，解一元一次不等式： (2)在第(1)问的解集里，找出所有负整数： (3)先解不等式②，根据解集相同的条件，令两个解集的边界相等，列方程求的值； (4)根据不等式①的解都是2x>”的解，说明①的解集是2x>”解集的子集，通过边界的 2 大小关系列不等式求m的范围， 试卷第1页，共3页 【详解】(1)解：去分母得x-1+3x≥-9， 移项得x+3x≥-9+1， 合并同类项，得4x≥-8， 系数化为1，得x≥-2. (2)解：由(1)得，不等式①的解集为x≥-2， .不等式①的负整数解为一1，一2 (3)解：去括号得3-2x26a-6x, 移项得-2x+6x≥6a-3, 合并同类项得4x≥6a-3, 系数化为1，得x≥6a-3 4 :不等式②的解集与不等式①的解集相同， 60-3=-2, 4 a名 ④)解：解不等式2x>分，可得x 4 “不等式①的解都是2x>”的解， ·-2 4 解得m<-8. 【点晴】本题考查了一元一次不等式的解法、解集的包含关系及方程思想的应用，掌握解 元一次不等式的步骤，以及通过解集的包含关系确定参数范围是解题的关键， 压轴16.新定义运算题型 典题特征：给出新定义的运算规侧（如a*b=2a-b),要求根据规侧列不等式并求解。 解题思路：①理解新定义的运算逻辑，将题目中的式子转化伪常规不等式：②按一元一次不等式 的解法求解：③注意新定义运算的限制条件（如，b的取值范围）。 59.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作(x),即：当n为非负整数时，若 -2x<n+则x=m,如：0)=0.48)=0.0.64)=1.493)=1,2)=2,3.5)=(4.12y=4 1 (1)(π+1)=； 试卷第1页，共3页 (2)如果(2x-3)=4,则实数x的取值范围为 13 15 【答案】 4 4 【分析】(1)先估算出π+1的大致范围，再根据题中定义求出结果； (2)根据题中对(x)的定义，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范 围。 【详解】解：(1)π≈3.14， .π+1≈4.14， 由定义可知4-0.5≤4.14<4+0.5， 因此（π+1〉=4： (2)(2x-3)=4, 根据定义得：4-号2x-3<4+号 1 解商号2 15 15 …4 4 60.对于任意实数a、b,定义一种运算：a⊕b=a+b-ab,请根据以上定义解决问题： (1)2⊕3= 2⊕x>0 (2)若关于x的不等式组 只有2个整数解，则m的取值范围是 x⊕3≤m 【答案】 -1 3≤m<5 【分析】(1)根据新定义a⊕b=a+b-ab代入求值； (2)先根据新定义a⊕b=a+b-ab,变形不等式组，再求出不等式组的解，根据已知得出 关于m的不等式组，即可求出m的范围 【详解】解：(1)：a⊕b=a+b-ab, .2©3=2+3-2×3=5-6=-1； 2⊕x>0 (2)a⊕b=a+b-ab, x⊕3≤m 2+x-2x>0 x+3-3x≤m1 试卷第1页，共3页 x<2 解得： x≥3-m, 2 :不等式组只有2个整数解， 2个整数解为0,1， -1<3m≤0，解得：35m<5. 2 6.定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式 ①是一元一次不等式②的蕴含不等式.例如：不等式x<-3的解都是不等式x<-1的解，则 x<-3是x<-1的蕴含不等式， (1)在不等式x>1,x>3,x<4中，是x>2的蕴含不等式的是 (2)若x<-2是x<-2n+4的蕴含不等式，x<-2n+4是x<2的蕴含不等式，则n的取值范 围是 【答案】 x>3 1≤n≤3 【分析】(1)根据蕴含不等式的含义判断即可； (2)根据题意得两个关于n的不等式，求解即可得n的取值范围. 【详解】解：(1)：不等式x>3的解都是不等式x>2的解， :.不等式x>3是不等式x>2的蕴含不等式； 而x=2分别是不等式x>1,x<4的解，但不是不等式x>2的解， :x>1,x<4不是x>2的蕴含不等式： (2):x<-2是x<-2n+4的蕴含不等式， -2≤-2n+4, 解得：n≤3； :x<-2n+4是x<2的蕴含不等式， -2n+4≤2， 解得：n≥1； 综上可知，1≤n≤3. 62.新定义：关于x的一次函数y=kc+b,我们称函数y= k+b(x≤m为一次函数 -kx-b(xxm) y=x+b的“m变函数”（其中m为常数). 试卷第1页，共3页 x+4x≤3) 例如：关于x的一次函数y=x+4的3变函数”为y= -x-4(x>3) 关于x的一次函数y=2x+2的1变函数为片，关于x的一次函数y=x-1的m变函数” 为，若函数片和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 答案】2≤m<3 【分析】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识.利用方程组求出交点坐标即 可解决问题； 2x+2(x≤1 x-1(x≤m 【详解】解：由题意：y:y -2x-2(x>1)'y= 1 2x+I(x>m) 解特商个函数的交点为(2-2，（号)或1.2，（号9) x+1 y=2x+2 2x- 2 观察图象可知：-2≤m<-二时，函数y和函数2有且仅有两个交点 故答案为：-2≤m<- 2 63.设a、b是任意两个实数，用max(a,b)表示这两个数中较大的那个数，当a≥b时， max(a,b)=a;当a<b时，max(a,b)=b;例如：max1,3=3,max5,5=5,若 y=max(x+3,-x+7),则y的最小值是 【答案】5 【分析】本题考查了实数的新定义运算，分x+3≥-x+7和x+3<-x+7两种情况，分别求出 y的最小值即可求解，理解题意是解题的关键。 试卷第1页，共3页 【详解】解：当x+3≥-x+7时， 解得x≥2， y=max(x+3,-x+7=x+3, y22+3=5, 即此时y的最小值是5： 当x+3<-x+7时， 解得x<2, y=maxx+3,-x+7）=-x+7, .y≥-2+7=5， 即此时y的最小值是5； 综上，y的最小值是5， 故答案为：5. 64.新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程 4-x<3 为该不等式组的“和谐方程”.例如：方程x+2=5的解为x=3,而不等式组 的解 2x-4<x 4-x<3 集为1<x<4,恰好x=3在1<x<4的范围内，所以方程x+2=5是不等式组 的“和 2x-4<x 谐方程”.结合新定义，按要求解答下面问题： (①)在方程①2x+5=11;②-3(x-2)=x;③-1=0中，不等式组 3x-1>2x+2 2x≤x+5 的“和谐方 程”有 ；（只填序号) 4x-3≤3x+m (2)若关于x的方程2x+3=7是不等式组 3x-m、x,1的“和谐方程”，求m的取值范围. 4 24 【答案】1)③ (2)-1≤m<1 【分析】(1)求出各个方程解和不等式组的解集，根据定义进行判断即可； (2)求出方程解和不等式组的解集，根据“和谐方程”的定义得到关于m的不等式组，解不 等式组即可得到答案， 试卷第1页，共3页 [3x-1>2x+2① 【详解】(1)解： 2x≤x+5② 解不等式①得，x>3 解不等式②得，x≤5 :不等式组的解集为3<x≤5， ①2x+5=11,解得x=3; ②-3x-2)=x,解得x=2 3 ③-1=0，解得x=4, 4 只有x=4在3<x≤5内， 3x-1>2x+2 :不等式组 的和谐方程”有③： 2x≤x+5 故答案为：③ (2)解：解2x+3=7得到x=2, 4x-3≤3x+m① 4 4 -> 解不等式①得，x≤m+3 解不等式②得，x>m+1 :不等式组的解集为m+1<x≤m+3, 4x-3≤3x+1m :关于x的方程2x+3=7是不等式组3x-m、x,1的“和谐方程”， 4 24 m+1<2 m+3≥2' 解得-1≤m<1 压轴17.限定条件下求代数式最值问题 典题特征：给出不等式（组）限定未知数的范围，求一次/简单代数式的最值。 解题思路：①先解不等式（组），得到未知数的取值范围：②将代数式变形为含未知数的一次函 数形式；③根据一次函数的增减性，结合未知数的范围求最值。 65.甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物 试卷第1页，共3页 金额超过Q元后，超出Q元的部分按85%收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元 的部分按90%收费，已知α>b,顾客累计购物金额为x元（顾客只能选择一家商场）.若 x=180时，到甲或乙商场实际花费一样，a<180,b<180,且160≤a+b≤235，则a-b的 最大值为 【答案】 40 【分析】先根据两家商场花费相等建立a与b的关系式，然后表示用a表示出a+b和a-b, 再结合a+b的取值范围，确定a的取值范围，从而确定a-b的取值范围，进而求得最大值， 【详解】解：由题意得，当x=180时，甲商场实际花费为a+(180-a×85%,乙商场实际花 费为b+(180-b)×90%, “两家商场实际花费一样， a+(180-a)×85%=b+(180-b)x90%, 整理得0.15a+153=0.1b+162, 即b=1.5a-90, 则a+b=a+1.5a-90=2.5a-90,a-b=a-1.5a-90=90-0.5a, :160≤a+b≤235，且a>b,a<180,b<180, 160≤2.5a-90≤235， 解得100≤a≤130， 50≤0.5a≤65， .-65≤-0.5a≤-50， .90-65≤90-0.5a≤90-50，即25≤a-b≤40， a-b的最大值为40. 2x-ay=6 66.关于x,y的方程组 (其中Q为整数)的解为整数，且关于z的不等式 4x+y=7 2<2z+b≤6的整数解的和为3，则a+b的最大值是 【答案】4 【分析】先解二元一次方程组，根据方程组的解为整数且a为整数，得到所有符合条件的a, 再解一元一次不等式，根据不等式整数解的和为3得到b的取值范围，最后计算a+b的最大 试卷第1页，共3页 值即可 【详解】解：解方程组 2x-ay=6① 4x+y=7② 由②得y=7-4x③， 代入①得2x-a7-4x)=6, 整理得x(2+4a=6+7a, 解得x= 6+7a 2+4a 代入⑧得y=7-4x6+7a 5 2+4a 2a+1' :方程组的解为整数，Q为整数， 2a+1是5的因数，即2a+1=±1或±5， 分别计算得：当2a+1=1时，a=0,y=-5,x=3,符合条件； 当20+1-1时，a=-1=5,X分不符合，舍去： 当2a+1=5时，a=2,y=-1,x=2,符合条件： 2a+15时，03，y1,t符合，舍 综上，a的可能取值为0和2，最大值为2， 解不等式2<2z+b≤6： 各项减b得2-b<2z≤6-b, 2-b 6-b 各项除以2得： <z≤ 2 2 该取值内最多有2个连续整数，由整数解的和为3，得整数解为1,2，因此： 0≤2-b <1 2 6-b 2≤ <3 2 解得0<b≤2，故b的最大值为2， .a+b的最大值为2+2=4. 67.非负数x,y,z满足--2-y=2-3 m=3x+4y+5z,W的最大值为m,最小 2 3 4 值n,则m+n=() 163 A.14 B.19 C.106 D. 3 3 试卷第1页，共3页 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，求一元一次不等式组的解集.设_2-一3=k, 23 4 用k表示出x,y,z,根据x,y,z为非负数，求出k的取值范围，再将 W=3x+4y+5z转化为关于k的一次函数，求其最值之和即可. 【详解】解：设2学-学- 则x=2k+1,y=2-3k,2=4k+3, :x,y,z是非负数， :2k+1≥0,2-3k≥0,4k+320, 3 W=3x+4y+5z=32k+1)+4(2-3k)+54k+3)=14k+26, :14>0, :W随k的增大而增大， 1 当k=2时，取最小值，n=14×2+26=19, 当k=2时，m取最大值，m=14×名+26=106 10 .m+n= +19=163 , 故选D 68.已知三个实数a、b、c,满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,且a≥0、b20、c20, 则3a+b-7c的最小值是() 1 A.一11 B. C. 3 D. 7 11 【答案】B 【分析】由两个己知等式3a+2b+c=5和2a+b-3c=1.可用其中一个未知数表示另两个未知 数，然后由条件：a,b,c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围， 再把m=3a+b-7c中a,b转化为c,即可得解. 3a+2b+c=5 【详解】解：联立方程组 2a+b-3c=1' 试卷第1页，共3页 a=7c-3 解得， b=7-11c 由题意知：a,b,c均是非负数， c≥0 则7c-3≥0， 7-11c≥0 紧子c行 7 11 ∴.3atb-7c =3(-3+7c)+(7-11c)-7g =-2+3c, 做，3a+b-7心有最小值，即3a+b-7飞=2士3X 故选：B. 【点晴】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值 最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力 60 压轴18.不等式组与一次函数综合问题 典题特征：给出一次函数与不等式（组）结合的问题，如根据函数图像解不等式、根据不等式解 集求函数参数。 解题思路：①分析一次函数的斜率、截距与图像的关系；②将不等式问题转化为函数图像的上下 位置问题：③结合函数性质与不等式解集，求解参数或范围。 2 69.若关于x的一元一次不等式组 3x>x- 恰有1个奇数解.且一次函数 4x+1≥a y=(a-2)x+a+4不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是 【答案】-2 【分析】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题 意，求出α的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答. 2x>x- 3 根据关于x的一元一次不等式组 恰有1个奇数解，可以求得α的取值范围，再 4x+1≥a 试卷第1页，共3页 根据一次函数y=(a-2)x+a+4不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和 次函数可以得到最后a的取值范围，从而可以写出满足条件的α的整数值，然后相加即可. 2 x>x-1 3 【详解】解：由不等式组 得0~1 x<3, 4 4x+12a 2 >x-1 :关于x的一元一次不等式组 恰有1个奇数解， 4x+1≥a -1<a- ≤1， 解得-3<a≤5， :一次函数y=(a-2)x+a+4不经过第三象限， a-2<0且a+4≥0， .-4≤a<2, 又：-3<a≤5， .-3<a<2, 整数a的值是-2，-1,0,1， :所有满足条件的整数a的值之和是：-2-1+0+1=-2， 故答案为：-2. x+a≤5x-2 70.若实数a使得关于x的不等式组 x-3<2有且只有2个整数解，且使得关于x的一 2 次函数y=(a+1)x-a+5不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为 【答案】12 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于α的不等式，求出此 时α的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于α的不等式组，再次求出 a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解， x+a≤5x-2① 【详解】解： x-3<x-2② 2 解不等式①得：x之a+2 ， 解不等式②得：x<4, 试卷第1页，共3页 不等式有解，则解为：a+2 ≤x<4, 4 :不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3,2， 1<+2s2, 4 解得2<a≤6； :一次函数y=(a+1x-a+5不过第四象限， a+1>0 则有 -a+5≥0" 解得-1<a≤5； 综上：2<a≤5 .a的整数值有：3,4,5， 则其和为：3+4+5=12. 71.已知关于x的一次函数y=a+1)x-（2a+3),其中a≠-1， (1)当y=-1时，则x= (2)当t<y<t+3时，自变量x始终能取到整数值，且整数值的个数不超过2个，则Q的取 值范围为 【答案】 2 -4<as-3 或sa<2 2 【分析】(1)将y=-1代入解析式即可求解； 3 (2)令y=1+3,根据题意得出片-口由题意得出1< +可≤2解不等式组，即可 求解. 【详解】解：(1)当y=-1时，-1=(a+1)x-(2a+3, .a+1x=2a+1, a≠-1， .x=2, (2):令y=t+3 x=1+3+20+3 a+1 试卷第1页，共3页 当y=1时，x2= 2a+3+t a+1 3 :k-x=a+1 :自变量x始终能取到整数值，整数值的个数不超过2个 3 B*752 1< 解得：-4<a≤-或)sa<2 2 2 72.定义：对于一次函数片=ax+b、y2=cx+d,我们称函数 y=max+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y、的启明函数 (1)若m=4,n=2,则函数y=x-1、2=2x+1的启明函数是： (2)设函数y=-x+4b与y2=x-2b-4的图象相交于点P.当m+n<0时，点P在函数片、 的启明函数图象的上方，则b的取值范围为 【答案】 y=8x-2b>2 【分析】本题主要考查了新定义下的一次函数运算与不等式求解，熟练掌握一次函数的交点 计算、新定义的代入应用以及不等式的性质是解题的关键. (1)直接代入启明函数的定义式，将给定的m=4、”=2和两个一次函数表达式代入计算. (2)先联立两个一次函数求出交点P的坐标，再根据启明函数的定义写出表达式，代入P点 横坐标得到函数值，结合点P在启明函数图象上方的条件建立不等式，最后结合m+”<0的 条件求解b的取值范围. 【详解】解：(1)y=4x-1+22x+1) =4x-4+4x+2 =8x-2; (2)y1=-x+4b,y2=x-2b-4, .联立得-x+4b=x-2b-4, .x=3b+2, 代入y得y=b-2, P(3b+2,b-2), 试卷第1页，共3页 启明函数y=m(-x+4b)+n(x-2b-4)=(-m+nx+(4bm-2bn-4n将x=3b+2代入启明 函数： y=(-m+n)3b+2+(4bm-2bn-4n】 =b(m+n)-2(m+n =m+n)(b-2), :点P在启明函数图象上方 .b-2>(m+n)b-2), 移项得b-2-(m+n)b-2)>0, 提取公因式得(b-2)[1-(m+)]>0, ”m+n<0, .1-(m+nm)>1>0, 必须有b-2>0, .b>2, 故答案为：(1)y=8x-2;(2)b>2. 压轴19.不等式组的实际应用 典题特征：以生活场景（如购物、方案选择、分配问题）为背景，列不等式组解决实际问题 解题思路：①设未知数，根据题意找出不等关系；②列不等式组并求解：③结合实际意义（如人 数、件数为正整数)确定最终方案。 73.光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳 达峰碳中和的目标奠定了基础.2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭 片区)100MW分布式屋顶光伏项目(15MWP)EPC总承包工程项目正式开工建设.项月 部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200 元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍. (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不 低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种 方案的费用最低？最低费用是多少元？ 试卷第1页，共3页 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是 495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题 意，列出正确的方程是解体的关键。 (1)设甲种光伏板的单价为x元，则乙种光伏板的单价为x+200)元，根据题意得 7000_4500 xx+200 ×2,解方程解答即可： (2)设甲种光伏板的数量为m块，则乙种光伏板的数量为(2m+50)块，根据题意得 2m+50≥410 700m+900(2m+50)≤545000，解不等式组，根据题意可得总费用W=2500m+45000,分 析即可得到答案。 【详解】(1)解：设甲种光伏板的单价为x元，则乙种光伏板的单价为x+200)元， 由题意得7000=4500 ×2, x+200 解得x=700, 经检验，x=700为原方程的根， :甲种光伏板的单价为700元. (2)解：设甲种光伏板的数量为m块，则乙种光伏板的数量为2m+50)块， 2m+50≥410 由题意得 700m+900(2m+50)≤545000' 解得180≤m≤200， :m为正整数， :满足条件的m有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为W元， 则W=700m+900(2m+50)=2500m+45000, :2500>0,W随m的增大而增大. .m越小，总费用越低， 当m=180时，总费用越低， 试卷第1页，共3页 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为2×180+50=410块总费用最低， 最低费用为2500×180+45000=495000元. 74.某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售.根据以下提供的信息，该网店 购进了甲、乙两种产品. 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元： ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元： ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同. (1)从以上①②③中任选2个作为己知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格： (②)在(1)的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产 品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购 进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元： (2)当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元. 【分析】(1)从三个条件中任选两个，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到甲、 乙两种产品每箱的价格，任意选两个条件所得结果一致： (2)根据甲种产品数量的限制条件列出一元一次不等式，得到甲种产品数量的取值范围， 再根据利润关系得到总利润关于甲种产品数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最 大利润 【详解】(1)解：设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元， 3x+4y=460 若选择条件①②，根据题意得 x-y=60 解得 x=100 y=40 3x+4y=460 若选择条件①③，根据题意得 2x=5y x=100 解得 y=40 若选择条件②③，根据题意得 x-y=60 2x=5y 试卷第1页，共3页 x=100 解得y=40 答：甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元 (2)设购进m箱甲种产品，则购进(600-m)箱乙种产品，总利润为w元. 根据题意得：m≥2(600-m) 解得：m≥400 结合实际可知m≤600， 因此400≤m≤600· 每箱甲种产品的利润为130-100=30（元）， 每箱乙种产品的利润为80-40=40（元） 因此总利润w=30m+40(600-m)=-10m+24000 :-10<0 ∴.w随m的增大而减小 ：当m=400时，w取得最大值，最大值为-10×400+24000=20000（元） 答：当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元. 75.某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替 人工分拣.购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3 台乙型机器人共需19万元 (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元. (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10 台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的 总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)购买甲型机器人3台.乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【分析】(1)设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2 台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组 求解即可； (2)设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人(10-)台，根据购买甲、乙两种型号的 试卷第1页，共3页 机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组 求出α的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲 型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列 出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可， 【详解】(1)解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 x+2y=11 2x+3y=19' x=5 解得： y=3 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人(10-α台，根据题意得 1000a+80010-a≥8600 0≤a≤10 解得：3≤a≤10， 设购买两种型号机器人所花的总费用为W万元，则 w=5a+310-a=2a+30, .2>0 .w随着a的增大而增大， :当a=3时，w最小，最小值=2×3+30=36， 10-a=10-3=7, ,购买甲型机器人3台.乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元. 【点晴】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数 关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 76.新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2 箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需 要资金1380元. (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不 少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货 试卷第1页，共3页 方案： 【答案】()甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元. (2)共有5种进货方案，具体为：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进 9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购 进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩 【分析】(1)设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，然后根据题意列 二元一次方程组求解即可； (2)设购进a箱甲型口罩，则购进(20-α)箱乙型口罩，再根据资金的限制范围列出一元一 次不等式组，求出a的取值范围，结合a为正整数的条件，列举出所有符合要求的进货方案 即可解答 【详解】(1)解：设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元， 2x+y=840 x=300 依题意，得： 3x+2y=1380'解得： y=240 答：甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元. (2)解：设购进a箱甲型口罩，则购进20-a)箱乙型口罩， 300a+240(20-a≤5520 依题意，得： 300a+240(20-a≥5280，解得：8≤a≤12. :a为正整数， .a可取8、9、10、11、12， :,共有5种进货方案，具体为：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进 9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购 进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩 77.为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购 买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车3辆，B型公交 车2辆，共需600万元. (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该 公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的 年均载客总和不少于680万人次，则该公司如何购买使总费用最少？最少总费用是多少万元？ 试卷第1页，共3页 【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 (2)购买A型公交车8辆，B型公交车2辆时总费用最少，最少总费用为1100万元 【分析】(1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公 交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万 元”可列出二元一次方程组解决问题； (2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10-a辆，由“购买A型和B型公交车的总费 用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”可列出不等 式组，求出α=6,7,8，分别求出各种购车方案总费用，再根据总费用作出判断. 【详解】(1)解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元， x+2y=400 由题意得： 3x+2y=600' x=100 解得y=150 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元. (2)解：设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10-a)辆， 100a+150(10-a）≤1200 由题意得， 60a+10010-a)≥680 解得：6≤a≤8， 所以a=6,7,8; 则10-a=4,3,2: :,①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆：100×6+150×4=1200（万元）： ②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150（万元）： ③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100（万元）. :.购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆总费用最少，最少总费用为1100万元 78.当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶 速度在10m/s到22.5m1s之间. 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有A,B,C,D4个路口.己 知这4个路口的绿灯和红灯均分别持续30s.其余因素忽略不计.路口A的绿灯亮起20s后， 路口B、C的绿灯亮起；路口A的绿灯亮起30s后，路口D的绿灯亮起，路口B、C、D到 试卷第1页，共3页 路口A的距离分别为600m,1500m,2400m.兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的 交通信号示意图，其中横轴表示时间t(s),纵轴表示各个路口到路口A的距离S(m). ◆sm) 一绿灯亮 路口D2400 一红灯亮 路口C1500 路口B600 路口A O 306090120150180s (1)请在图中画出路口D在0~180s的红绿灯： (2)若甲车在t=0s时，从路口A以20m/s的速度向路口D行驶，求该车刚到达路口D时所用 的时间； (3)若乙车在t=I0s时到达路口A,向路口D匀速行驶.求该车可以连续绿灯通过路口B、 C的速度范围. 【答案】()图见解析 (2)甲车刚到路口D的时间为125s ③想赛连续绿灯通过两个修口，乙车的速攻需在5加修到90ms之创 【分析】(1)根据路口D绿灯亮起的时刻，以及红绿灯的持续时间，进行作图即可： (2)分别计算甲车到路口B和C的时间，结合红绿灯的示意图判断是否需要等待，最后计 算路口C到路口D的时间，再求和即可； (3)设乙车的速度为vm/s,先分析路口B的情况，根据题意10≤v≤22.5，估算乙车到路 口B的时间为10 3 ≤t≤70，结合路灯图可知，绿灯时段为20-50s,因此 15≤，≤2.5，再分析路口C的情况，同理估算乙车到路口C的时间为230≤6，≤110， 3 确定绿灯时段为80-110s,最后求出15≤y≤150。 【详解】(1)解：：路口D在30s开始亮起绿灯， 又：红灯与绿灯均持续30s, :路口D在30-60s,90-120s和150-180s期间亮起绿灯，其余时间为红灯， 红绿灯情况如图所示： 试卷第1页，共3页 ◆s(m) 一绿灯亮 路口D2400 红灯亮 路口C1500 路口B 600 路口A 3060901201501809 (2)解：根据题意，路口B和C,在20-50s亮绿灯，在50-80s亮红灯， 甲车到路口B的时间为600÷20=30s, :20<30<50, .此时路口B为绿灯，甲车可正常通行， 甲车到路口C的时间为1500÷20=75s, 50<75<80, :此时路口C为红灯，甲车需等待到t=80s时，才可通行， :甲车到路口D的时间为80+2400-1500=125s: 20 (3)解：设乙车的速度为vm/s, 由题意可得，10≤v≤22.5， 先分析绿灯通过路口B: 乙车到路口B的时间t,=10+600 10≤v≤22.5， :10 3 ≤t≤70， 根据题意，路口B在20-50s亮绿灯，在50-80s亮红灯， :.想要绿灯通过路口B需满足20≤t1≤50，对应的速度范围为15≤v≤60， .15≤y≤22.5： 再分析绿灯通过路口C: 乙车到路口C的时间6，=10+1500 15≤v≤22.5， 230 3 ≤t2≤110， 根据题意，路口C在50-80s亮红灯，在80-110s亮绿灯， 试卷第1页，共3页 :想要绿灯通过路口C需满足80≤≤110，对应的速度范围为15≤v≤150， 7 综上所述，15≤v≤150 7 答：想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在15m/s到150m/s之间。 7 试卷第1页，共3页 专题04不等式与不等式组期末易错与压轴专项训练 本专练聚焦不等式与不等式组全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.求一元一次不等式的整数解 易错02.求一元一次不等式解的最值 易错03.解|x|a型的不等式 易错04.直线与坐标轴交点求不等式解集 易错05.两直线交点求不等式的解集 易错06.数轴上表示不等式的解集 易错07.求不等式组的整数解 易解08.解特殊不等式组 压轴09.由不等式组的解集求参数 压轴10.由不等式组解集的情况求参数 压轴11.不等式组和方程组结合的问题 压轴12.含参数不等式组取值范围问题 压轴13.不等式组有解无解问题 压轴14.不等式组整数解求参数问题 压轴15.不等式组解集相同求参数问题 压轴16.新定义运算题型 压轴17.限定条件下求代数式最值问题 压轴18.不等式组与一次函数综合问题 压轴19.不等式组的实际应用 易错01.求一元一次不等式的整数解 典题特征：给出含/不含参数的一元一次不等式，要求找出整数解（如正整数解、负整数解、所有整数解）。 易错点：①解不等式时系数化为1，除以负数未变号；②找整数解时漏看边界值（如x<3的正整数解不含3）；③混淆“整数解”和“正整数解”的范围。 1．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．不等式的最大整数解是：______． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知关于k不等式 ，其中m是关于k的不等式的最大整数解，求关于x的不等式的解集． 易错02.求一元一次不等式解的最值 典题特征：给出一元一次不等式，要求求解集的最大/最小值，或限定条件下代数式的最值。 易错点：①误将无界解集（如x>2）认为有最值；②边界值判断错误（如x5的最大值是5，x-1的最小值是-1）；③混淆“解的最值”和“代数式的最值”。 5．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 8．已知，且，求的最大值． 易错03.解|x|a型的不等式 典题特征：含绝对值的一元一次不等式，形式为|mx+n|≥a或|mx+n|≤a（a>0）。 易错点：①记错绝对值不等式的等价形式（如把|x|≥a误写成-a≤x≤a）；②去绝对值时未考虑mx+n的正负；③忽略a≤0的特殊情况（如|x|≥-1的解集是全体实数）。 9．已知不等式的解是，则a＝_______． 10．不等式的解为_____． 11．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．解不等式： 易错04.直线与坐标轴交点求不等式解集 典题特征：给出一次函数解析式，结合直线与x轴/y轴的交点，求kx+b>0或kx+b<0的解集。 易错点：①求交点时坐标算错；②混淆“y>0”对应x轴上方、“y<0”对应x轴下方的图像；③直线斜率为负时，解集方向判断错误。 13．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 14．一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为______． 15．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点． (1)求该一次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值．求的取值范围． 易错05.两直线交点求不等式的解集 典题特征：给出两条一次函数y1=k1x+b1、y2=k2x+b2，结合交点坐标，求y1>y2或y1<y2的解集。 易错点：①求交点坐标时计算错误；②判断“上方/下方”时混淆两条直线；③未根据直线斜率判断解集的增减方向。 16．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 17．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 18．在直角坐标系中，直线与直线的图像如图，两直线的交点坐标为，那么不等式的解集为（  ） A． B． C．或 D． 19．如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 易错06.数轴上表示不等式的解集 典题特征：要求将一元一次不等式（组）的解集在数轴上表示，或根据数轴表示写出解集。 易错点：①空心/实心圆点用错（如x>2用实心圆点，x≥2用空心圆点）；②方向画反（大于向左、小于向右）；③不等式组的公共部分找错。 20．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 21．已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 22．关于x的一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 23．解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集． (1) (2) 易错07.求不等式组的整数解. 典题特征：给出一元一次不等式组，要求找出整数解（或指定范围的整数解）。 易错点：①解不等式组时步骤出错；②找公共解集时遗漏边界；③整数解个数数错（如包含/不包含端点值）。 24．不等式组的整数解的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 26．已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的整数值之和是（    ） A． B．9 C． D．12 27．已知关于，的二元一次方程组：的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，关于的不等式的解集是？ 易解08.解特殊不等式组 典题特征：连写型不等式（如1<2x-1≤5）或含括号/分母的复杂不等式组。 易错点：①拆分成不等式组时符号错误；②直接对连写不等式变形时漏乘常数项；③去分母时漏乘不含分母的项。 28．已知的解集为，则的解集为________． 29．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 30．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 压轴09.由不等式组的解集求参数 典题特征：给出含参数的一元一次不等式组，已知解集，求参数的值/范围。 解题思路：①分别解含参数的不等式，用参数表示解集；②结合已知解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”列等式/不等式；③验证边界值是否符合题意。 31．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 32．若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 33．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2025 34．当a为何值时，不等式组的解集是？ 压轴10.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：给出含参数的不等式组，已知“有解/无解/有唯一解”，求参数范围。 解题思路：①分别解两个不等式，用参数表示解集；②根据“有解”需满足“大小小大中间找”，“无解”需满足“大大小小找不到”列不等式；③注意边界值的取舍（如是否取等号）。 35．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 37．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是；乙：如果此不等式组无解，那么．其中下列判断正确的是（     ）． A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 38．已知不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，求a的取值范围． 压轴11.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：给出二元一次方程组和含参数的不等式组，已知方程组的解满足不等式组，求参数范围。 解题思路：①解方程组，用参数表示未知数的解；②将解代入不等式组，得到关于参数的不等式；③解不等式组，得到参数的取值范围。 39．若，且，，设，则m的取值范围为________． 40．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 41．已知关于x，y的方程组的解满足，求的取值范围． 压轴12.含参数不等式组取值范围问题 典题特征：给出含多个参数的不等式组，或含参数的分式/绝对值不等式组，求参数范围。 解题思路：①先化简不等式组，分离参数与未知数；②对参数的正负/大小进行分类讨论；③结合解集的定义，列不等式求解参数范围。 42．如果关于的不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是_____． 43．关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则a的取值范围是______ ． 44．解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．已知关于的二元一次方程组 (1)当时，求原方程组的解． (2)求证：无论取什么实数，与的值不可能相等． (3)当时，求的取值范围． 压轴13.不等式组有解无解问题 典题特征：含参数的一元一次不等式组，直接考查“有解”或“无解”的条件。 解题思路：①分别解两个不等式，得到解集形式；②根据“无解”即两个解集无公共部分，列参数的不等式；③验证边界值（如参数取等号时是否有解）。 46．已知关于的不等式组有解，则的取值范围为______． 47．若关于的不等式组有解，则的值可以是________． 48．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 49．不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴14.不等式组整数解求参数问题 典题特征：给出含参数的不等式组，已知整数解的个数（如“恰有2个整数解”），求参数范围。 解题思路：①解不等式组，用参数表示解集；②根据整数解的个数，确定解集的边界范围；③列不等式组求解参数，注意边界值是否可取。 50．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 51．关于x的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是________． 52．已知关于的不等式组， （1）若不等式组无解，则的取值范围是______． （2）若不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是______． 53．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 54．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 压轴15.不等式组解集相同求参数问题 典题特征：给出两个含参数的不等式组，已知它们的解集相同，求参数的值。 解题思路：①分别解两个不等式组，用参数表示各自的解集；②令两个解集的边界值对应相等，列方程求解参数；③验证参数值是否使两个不等式组的解集完全一致。 55．若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（   ） A． B． C． D． 56．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 57．若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 58．已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 压轴16.新定义运算题型 典题特征：给出新定义的运算规则（如a*b=2a-b），要求根据规则列不等式并求解。 解题思路：①理解新定义的运算逻辑，将题目中的式子转化为常规不等式；②按一元一次不等式的解法求解；③注意新定义运算的限制条件（如a,b的取值范围）。 59．对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即：当为非负整数时，若，则如： （1）_______； （2）如果，则实数的取值范围为_____． 60．对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 61．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_____； （2）若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，则n的取值范围是_____． 62．新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 63．设、是任意两个实数，用表示这两个数中较大的那个数，当时，；当时，；例如：，，若，则的最小值是______． 64．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 压轴17.限定条件下求代数式最值问题 典题特征：给出不等式（组）限定未知数的范围，求一次/简单代数式的最值。 解题思路：①先解不等式（组），得到未知数的取值范围；②将代数式变形为含未知数的一次函数形式；③根据一次函数的增减性，结合未知数的范围求最值。 65．甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元（顾客只能选择一家商场）．若时，到甲或乙商场实际花费一样，，，且，则的最大值为______ ． 66．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 67．非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（    ） A．14 B．19 C． D． 68．已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 压轴18.不等式组与一次函数综合问题 典题特征：给出一次函数与不等式（组）结合的问题，如根据函数图像解不等式、根据不等式解集求函数参数。 解题思路：①分析一次函数的斜率、截距与图像的关系；②将不等式问题转化为函数图像的上下位置问题；③结合函数性质与不等式解集，求解参数或范围。 69．若关于的一元一次不等式组恰有1个奇数解．且一次函数不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是______． 70．若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为______． 71．已知关于的一次函数，其中， （1）当时，则________； （2）当时，自变量始终能取到整数值，且整数值的个数不超过2个，则的取值范围为________． 72．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的启明函数． （1）若，则函数、的启明函数是______； （2）设函数与的图象相交于点P．当时，点P在函数、的启明函数图象的上方，则的取值范围为______． 压轴19.不等式组的实际应用 典题特征：以生活场景（如购物、方案选择、分配问题）为背景，列不等式组解决实际问题。 解题思路：①设未知数，根据题意找出不等关系；②列不等式组并求解；③结合实际意义（如人数、件数为正整数）确定最终方案。 73．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 74．某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． (1)从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； (2)在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 75．某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 76．新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元；若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种型号口罩共箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； 77．为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司如何购买使总费用最少？最少总费用是多少万元？ 78．当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $