2025-2026学年人教版数学八年级下册期末复习压轴题：四边形专项练习

**基本信息** 聚焦四边形综合应用，通过折叠、动点、新定义等题型整合平行四边形及特殊四边形性质与判定，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|2题|平行四边形判定方案证明|从对角线中点、中点连线等基础性质构建判定逻辑| |折叠变换|5题|矩形/正方形折叠后几何关系探究|利用轴对称性质关联全等、勾股定理，形成折叠问题通法| |动点综合|3题|双动点运动中平行四边形/菱形存在性|结合运动过程分类讨论，建立几何量与时间的函数关系| |新定义应用|2题|“忧乐四边形”等概念辨析与证明|从定义出发转化为特殊四边形性质，培养模型意识|

2025-2026学年人教版8年级下册期末复习： 四边形压轴题专项练习 1. （24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上 找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 2. （24-25八年级下·广东广州·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把 这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 3. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平 行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 4. （25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题 的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 5. （25-26八年级上·陕西西安·期末）问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点，，在上，连接．若，则点的坐标为___________． （2）如图2，在中，垂直平分，交于点，交于点．求的长． 问题解决 （3） 图3是某重型卡车，图4是一个长方体木箱从该重型卡车上卸下时某时刻的平面示意图．已知该重型卡车车身的高度为，卸货时会利用到辅助挡板，此时弯折落在处（即），为水平线，，经过测量，得．当木箱底部顶点与点重合时，求图中木箱上点到直线的距离． 6. （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图1，在中，，，点为边上一点，连 接，在上取一点，使得． (1)填空：如果，那么___________（用含的代数式表示）； (2)已知线段，连接，求的面积； (3)如图2，延长交于点，当点恰好是边的中点时，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，请求出常数；若不存在，请说明理由． 7. （25-26八年级下·全国·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点 从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 8. （25-26八年级下·全国·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训 练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】 在中，，，（），是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． (1)【观察发现】 如图1，若，则与的大小关系是_______________；线段与的数量关系是________，位置关系是_______； (2)【类比探究】 在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 9. （25-26八年级下·河北邢台·期末）某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕与、分别交于点D、E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将矩形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3) 如图3，在矩形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 10. （25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到， 点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 11. （24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边 上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 12. （25-26八年级上·山西临汾·期末）【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织 同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 13. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，，， ，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 14. （25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2) 如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 15. （22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别 从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 16. （25-26八年级下·上海·阶段检测）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 17. （25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动， 同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 18. （25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫 做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 19. （24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 20. （24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3) 设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 21. （25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于 直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 22. （25-26八年级下·北京·期末）在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交 直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 23. （25-26八年级下·河南濮阳·期末）数学社团的同学们对课本上一道数学题进行了深入的探究． 教材：“拓广探索”第16题 如图1，四边形是正方形，G是边上的任意一点，，垂足为E，，交于点F．求证：． (1)如图1，小明提出可以证明，从而，，因此，小明证明的理由可能是___________ A． B． C． D． (2)如图1，若，，则___________； 【问题探索】 (3)如图2，小强提出，如果点G在的延长线上，于点F，交的延长线于点E．线段，与之间的数量也有关系，三条线段的数量关系是：___________； (4)如图3，小颖提出，在教材：“拓广探索”第16题的条件下，连接，取的中点O，连接，，那么，之间也存在一定的关系．请写出它们的关系并证明． 24. （25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片 换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版8年级下册期末复习： 四边形压轴题专项练习 1. （24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上 找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）甲方案：如图，连接，根据平行四边形的性质得，，再根据中点的定义得，即可得出四边形为平行四边形； 乙方案：根据平行四边形的性质得，，即可得，再根据“角角边”证明，可得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，，可得，再说明 ，，然后根据 ，可得 ，进而根据得出答案． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 2. （24-25八年级下·广东广州·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把 这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 3. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平 行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 【点睛】这道题是一道典型的初中几何综合压轴题，融合了坐标系、平行四边形性质、勾股定理以及角平分线性质． 1．数形结合：第（1）、（2） 问充分利用了坐标系的特点，将几何长度转化为坐标运算，体现了“以数解形”的思想． 2．转化思想：第 （3） 问中，面对复杂的角关系式，通过平行线性质和等腰三角形性质，将其转化为“角平分线”这一几何模型，是解题的关键突破点． 3．面积法：利用“等高三角形面积比等于底边比”建立面积关系，进而求出线段比，是处理此类几何难题的常用高级技巧． 4. （25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题 的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 5. （25-26八年级上·陕西西安·期末）问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点，，在上，连接．若，则点的坐标为___________． （2）如图2，在中，垂直平分，交于点，交于点．求的长． 问题解决 （3）图3是某重型卡车，图4是一个长方体木箱从该重型卡车上卸下时某时刻的平面示意图．已知该重型卡车车身的高度为，卸货时会利用到辅助挡板，此时弯折落在处（即），为水平线，，经过测量，得．当木箱底部顶点与点重合时，求图中木箱上点到直线的距离． 【答案】（1）；（2）4；（3）图中木箱上点到直线的距离为 【分析】（1）设点的坐标为，根据，建立方程解答即可． （2）设，则，利用勾股定理解答即可． （3）设，则，根据勾股定理，证明点B为的中点，作，连接，利用三角形中位线定理，解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形中位线，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设点的坐标为，根据，点，， 得， 解得， 故， 故答案为：． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 故， 故， 解得， 故的长为4． （3）解： 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故，． 故， 故点B为的中点， 作，连接， 故为的中位线， 故，， 又， 故， 故图中木箱上点到直线的距离为． 6. （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图1，在中，，，点为边上一点，连 接，在上取一点，使得． (1)填空：如果，那么___________（用含的代数式表示）； (2)已知线段，连接，求的面积； (3)如图2，延长交于点，当点恰好是边的中点时，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，请求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据角的和差及等边对等角得，再根据三角形内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，根据等腰三角形三线合一得，证明得，再根据三角形面积公式可得答案； （3）如图，过点作交的延长线于点，连接，证明得，证明四边形是平行四边形，推出，，继而得到，，设，，可得，，，最后根据勾股定理得，继而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的面积为； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即存在常数，使得恒成立． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形及平行四边形是解题的关键． 7. （25-26八年级下·全国·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点 从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1)13 (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得结果； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，； （2）略 （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 8. （25-26八年级下·全国·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训 练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】 在中，，，（），是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． (1)【观察发现】 如图1，若，则与的大小关系是_______________；线段与的数量关系是________，位置关系是_______； (2)【类比探究】 在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 由折叠，可得，， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形为平行四边形， ． 【分析】（1）利用折叠性质和中点定义证明为等腰三角形，进而通过角度计算得出，利用平行线判定和性质证明四边形为平行四边形，从而得出线段关系； （2）类比第（1）题的思路，利用折叠性质，等腰三角形性质(等边对等角)和平行四边形判定定理进行一般性证明即可解答． 【详解】（1）解：若，则平行四边形是矩形， 由折叠，可得，， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，即， 四边形为平行四边形， ； （2）略 9. （25-26八年级下·河北邢台·期末）某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕与、分别交于点D、E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将矩形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在矩形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1)的长为24 (2)的长为6 (3)的长为5或20 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由矩形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在矩形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在矩形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）∵四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为6； （3）∵四边形是矩形， ，， 设线段的垂直平分线交于点M，交于点N，则， 分两种情况：①如图1，当点F在矩形内部时． ∵点F在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：． ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即的长为5； ②如图2，当点F在矩形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即的长为20； 综上所述，点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 10. （25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到， 点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 11. （24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边 上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 12. （25-26八年级上·山西临汾·期末）【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织 同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 【答案】（1）等腰；（2）见解析；（3）图见解析，折痕上的点到点A的距离为 【分析】（1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论； （3）把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处，连接，则为等边三角形，利用勾股定理求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵四边形是长方形， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）①把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处， ②连接． 则为等边三角形． ∵是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，，， ，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 【答案】(1)； (2)或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可表示出；过点作，证明四边形是矩形，求出，分时，点在上，时，点在上，即可表示出； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P点从A点以向B点运动，运动时间为秒， ， ， ； 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∵点在上运动的时间为，且， ∴时，两点停止运动， 当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时； 综上，； （2）解：∵直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：，，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 14. （25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先说明，再根据折叠的性质得，，，进而说明，可得，则此题可解； ②连接，设cm，则cm，，再根据勾股定理求出，以及，然后根据可得答案； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，设，则，可得，再根据勾股定理求出，即可得，，然后根据“角角边”证明，进而求出，接下来将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，可得，再说明四边形为矩形，即可得出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）①证明∵四边形是矩形， ∴∥， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：连接 设cm，则cm，， ∵四边形是矩形， ∴cm，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于点，过点作于点. 设，则， ∵点为的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴∥，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵∥， ∴，， 在和中 ∴， ∴，， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 15. （22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别 从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②根据点G，H所在边的不同分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 16. （25-26八年级下·上海·阶段检测）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【分析】（）由矩形性质可得，又，则，再证明，然后通过性质即可求解； （）连接，连接，与交于点，根据题意可得，所以当时，最小，从而最小，又四边形是菱形，则，，，通过勾股定理求得，则，然后通过求出的值即可； （）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，由四边形是正方形， 则，，米，再证明四边形是矩形，所以，米，通过勾股定理求出米，证明，则，故有，所以三点共线，且时，最小，即长，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 17. （25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动， 同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 18. （25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫 做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 19. （24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 20. （24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 【答案】(1)45，等腰直角三角形 (2)证明：连接， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折知， ， ， 四边形是菱形； (3) 【分析】（1）由正方形的性质和翻折可证得，又有，则，而，可知是等腰直角三角形； （2）由，，可知四边形CFPH是平行四边形，又，于是得到四边形CFPH是菱形； （3），，即可得到． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， 由翻折的性质可知， ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 而, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）略 （3）解：由（1）可知， ∵是正方形， ∴， ∴，即． 21. （25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于 直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 【答案】(1) (2)①如图所示，过点作于点， ∴， ∵折叠， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ② 【分析】（1）过点作，交于点，证明，由勾股定理可得，即可得出结果； （2）①过点作于点，证明，再证明，从而，再证明即可； ②设，则，，求得，则，得出，设，得出，整理得，解得，，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，， ∵折叠， ∴，垂足为点， ∴，垂足为点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为： （2）解：①略 ②根据上述证明得到， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 在中，， ∴，整理得，， 设， ∴，整理得，， 解得，， ∴． 22. （25-26八年级下·北京·期末）在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交 直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，过点M作于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)3． 【分析】（1）过点M作于点P，于点Q，证明四边形是正方形，进而证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点M作于点V，交于点T，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图2，过点M作于点V，交于点T， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. （25-26八年级下·河南濮阳·期末）数学社团的同学们对课本上一道数学题进行了深入的探究． 教材：“拓广探索”第16题 如图1，四边形是正方形，G是边上的任意一点，，垂足为E，，交于点F．求证：． (1)如图1，小明提出可以证明，从而，，因此，小明证明的理由可能是___________ A． B． C． D． (2)如图1，若，，则___________； 【问题探索】 (3)如图2，小强提出，如果点G在的延长线上，于点F，交的延长线于点E．线段，与之间的数量也有关系，三条线段的数量关系是：___________； (4)如图3，小颖提出，在教材：“拓广探索”第16题的条件下，连接，取的中点O，连接，，那么，之间也存在一定的关系．请写出它们的关系并证明． 【答案】(1)B (2) (3) (4)，理由如下： 如图3中，延长交于， ， ， ∵点O是的中点， ∴， ， ， ， 由（1）， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）由得，进而证得，从而，进一步得出结论； （2）由，可得，再由勾股定理得出，再由全等三角形性质得，最后再求解即可； （3）由得，，进而证得，从而，进一步得出结果； （4）延长交于，先证明，可得，由（1），得出，可得是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，从而得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 故证明的理由可能是； （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （4）略 24. （25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片 换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)是等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $