精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年下学期期中诊断高二年级数学学科试题

北京市陈经纶中学期中诊断答案版 高二年级数学学科 班级________ 姓名__________ 学号________ （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，常数项等于 （ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 7. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A. 120个 B. 480个 C. 288个 D. 240个 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 可能有2个零点 B. 没有极小值 C. 时， D. 若存在极大值点，其中，则 10. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共30分. 11. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 12. 已知为常数，，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为，则展开式中的系数为__________（用数字作答）. 13. 函数的最小值为______. 14. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 15. 已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________． 16. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共5个小题，共70分. 17. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“＋”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户． 注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （1）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）； （2）从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率； （3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由． 19. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）： 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83 90 75 95 93 61 76 （1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； （2）设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下： （i）求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量，的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明） 20. 设函数. （1）在点处的切线与直线平行，求a的值； （2）当时，求的最大值； （3）存在两个零点，，求的取值范围. 21. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学期中诊断答案版 高二年级数学学科 班级________ 姓名__________ 学号________ （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 2. 的展开式中，常数项等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理得到展开式通项公式，即可求解. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故常数项等于. 故选：B. 3. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D. 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 4. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件为研学团中男生人数多于女生， 事件为男生甲被选中，分别求出，再根据条件概率的公式求解即可. 【详解】事件为研学团中男生人数多于女生， 设事件为男生甲被选中， 则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生. 所以，， 所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为 . 故选：B 5. 某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解. 【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列， 有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法. 故选：B 6. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解. 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 7. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A. 120个 B. 480个 C. 288个 D. 240个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4，结合排列、组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4， 当个位数字为0时，小于的偶数有个； 当个位数字为2或4时，小于的偶数有个， 所以小于的偶数共有个. 故选：D. 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得. 故选：B 9. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 可能有2个零点 B. 没有极小值 C. 时， D. 若存在极大值点，其中，则 【答案】D 【解析】 【分析】讨论的范围，根据不同的取值讨论函数的单调性及极值和零点，即可判断A、B两项；再根据得到，根据时的单调性即可判断C；根据分析已知，，解关于的方程即可，得，即可判断D. 【详解】函数的定义域为，. 当时，，根据二次函数性质可知最低点坐标为，此时函数与轴无交点，即函数无零点； 当时，令，或. 当时，在时，，在上，即在上单调递增，在和上单调递减. 故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点. 当时，在时，，在上，即在和上单调递增，在上单调递减. 故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点. 对于A，当时，函数无零点；和时有一个零点；故A错误； 对于B，当时，函数有极小值，故B错误； 对于C，时，，此时在上单调递减，又，所以，故C错误； 对于D，由上述分析可知，则，，即. 已知方程已有一根为，故可因式分解得，解得与相异的根，则，故D正确. 故选：D. 10. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共30分. 11. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为. 故答案为：；. 12. 已知为常数，，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为，则展开式中的系数为__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的二项式系数和为，可求得；采用赋值法，令可得各项系数和，求得；根据二项式定理可得展开式通项，代入即可求得的系数. 【详解】的展开式的二项式系数和为，； 令，则展开式的各项系数和为，解得：； 则展开式通项为：， 令，解得：，则，展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】求导得：， 所以时，，此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以. 即该函数的最小值为 14. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】对于，则， 因为在区间上单调递增， 所以在恒成立， 显然，所以在恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15. 已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由导函数得到分段函数的单调性，结合特殊点函数值，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 注意到，故当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 当时，，其在上单调递增，且， 要想无最小值，需满足，即，解得， 故答案为： 16. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】取特殊值判断①，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④. 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故②错误； 由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确； 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点， 所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数. 三、解答题：本大题共5个小题，共70分. 17. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“＋”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户． 注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （1）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）； （2）从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率； （3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列． 【答案】（1）；（2）； （3）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）直接得出答案;（2）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A组的客户”为事件M，利用古典概型及排列组合能求出从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率;（3）依题意ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列. 【详解】（1）; （2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A的客户”为事件， 则， 所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是; （3）由题图，知A组“驾驶达人”的人数为1，B组“驾驶达人”的人数为，的取值范围为， 则，，. 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）单调递增区间为；单调递减区间为和 （3） 当且时，，理由如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性即可； （3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论. 【小问1详解】 当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． 【小问3详解】 略 19. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）： 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83 90 75 95 93 61 76 （1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； （2）设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下： （i）求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量，的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）（i）随机变量的分布列为： 0 1 2 ；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型直接计算即可； （2）（i）列出变量X的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii）计算方差，利用方差的含义直接判断即可. 【小问1详解】 根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5， 则从数学学习小组7名学生中随机选取1名， 该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 【小问2详解】 （i）随机变量可能的取值为0，1，2. 这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，. 时，若，有，，共3种， 若，有，共2种， 若，有，，，共4种， 故； 时，若，有，，共3种， 若，有，，共3种， 故； 时，若，有，，，共4种， 若，有共1种， 若，有共1种， 故. 则随机变量的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望. （ii）由（i）知， 这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，. 随机变量可能的取值为0，1，2，3. 时，若，有，，共3种， 若，有，共2种， 故； 时，若，有，，，共4种， 故； 时，若，有，，共3种， 若，有，，共3种， 故； 时，若，有，，，共4种， 若，有共1种， 若，有共1种， 故. 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. 所以， 因为，所以. 20. 设函数. （1）在点处的切线与直线平行，求a的值； （2）当时，求的最大值； （3）存在两个零点，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意利用导数的几何意义可求解； （2）利用导数判断函数的单调性，结合单调性可求得的最大值； （3）由（2）知为分类讨论的分界点，在各种情况下利用零点存在性定理找到零点所在的区间即可得解. 【小问1详解】 函数，，则， 又在点处的切线与直线平行， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，，， ∴， 令，∴，， ∴，函数在上单调递减，由， ∴，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 ，， 当时，有，即函数在上单调递减， 所以函数至多一个零点，不合题意； 当时，令，即， 令，，在上单调递增， 所以存在唯一的，使得， 且当时，，即函数单调递增， 当时，，即单调递减， ∴， 由（2）知，当时，此时，而，函数只有一个零点，不合题意； 当时，则，又，单调递增，所以， 取，，有， 先来证明，， 设，则， 当时，，即单调递减，则，即， 所以可得，则， 故在上存在一个零点，1为函数的另一个零点， 即当时，函数存在两个零点； 当时，即，则，又，单调递减， 所以，取，，， 先来证明，当时，，（方法不同酌情给分） 由上面，，则，即单调递增， 则，即，等价于， 即，即，∴， 则， 故函数在上存在一个零点，又1为函数的另一个零点， 即当时，函数存在两个零点； 综上可知，当时，存在两个零点. 21. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 【答案】（1）5 （2） （3）证明;要证，只需证， 即证， 令数列，由于具有性质，即，对，， 则， 对，，所以具有性质， 令，设的最小值为， 对，令，， 由于具有性质，则有， 所以， 所以，所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论. 【小问1详解】 由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和； 【小问2详解】 由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得： 【小问3详解】 略 【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $