期末复习：平行线的判定与性质综合应用、平行线的性质在生活中的应用专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线判定与性质的综合应用及生活迁移，通过分层例题构建“原理-推理-建模”的完整训练体系，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线的判定与性质综合应用|3例+3变式|判定与性质互化（由角定线→由线定角）、补全证明逻辑链|判定（同位角等）→性质（内错角等）→综合应用（角平分线结合）| |平行线的性质在生活中的应用|3例+2变式|等角转化、构造辅助平行线、生活情境建模|数学原理（平行线性质）→生活应用（工程、机器人等）→模型迁移|

期末复习：平行线的判定与性质综合应用、平行线的性质在生活中的应用专项训练 期末复习：平行线的判定与性质综合应用、平行线的性质在生活中的应用专项训练 考点目录 平行线的判定与性质综合应用 平行线的性质在生活中的应用 考点一 平行线的判定与性质综合应用 例1．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，．求证：． 证明：，（________）， （___________________）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （________________________________）， （_____________）， （________________________）， （_______________________________________）， （_________________________________________）． 【答案】已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行 ）， （两直线平行，同位角相等）． 例2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知，，，则．请说明理由（补全解答过程）． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 所以________（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知），所以（等量代换）． 所以________（同位角相等，两直线平行）． 所以（________）． 又因为（已知）， 所以．所以（________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义 【分析】根据平行线的判定与性质、垂直的定义，进行分析求证即可． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知），所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（已知）， 所以．所以（垂直的定义）． 例2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）如图，已知平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ． (2) 【分析】（1）先证明，进一步利用平行公理推论可得结论． （2）由平行线的性质求解，，再进一步结合角平分线的含义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， ∵，， ， ， 平分， ， ． 变式1．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． (2)①；②的度数为 【分析】（1）由角平分线定义得，结合已知，通过等量代换得，由内错角相等判定； （2）①设，由得，进而；由平分得；过作，利用平行线性质得，与无关； (2)②由得，平分得；由得内错角，又，解得． 【详解】（1）略 （2）①如图，过点作． 设， 则． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵平分交于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ②由①可知， ∴． ∵平分交于点， ∴． 设， 由①可知，， ∴当时， ， 即， 解得， 即的度数为． 变式2．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是的角平分线，，求的度数； 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）先求出，在根据角平分线的定义得出，然后利用平行线的性质得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：， ， 是的角平分线， ， ， ． 变式3．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）设，结合平行线的性质可得，则，由角平分线的定义可得，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 考点二 平行线的性质在生活中的应用 例1．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 例2．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)将三角板角的一边与第一条直线重合，标记出角另一边的位置；再移动三角板到第二条直线处，让角的一边与第二条直线重合，若角的另一边与标记位置重合，则两条直线平行．依据：同位角相等，两直线平行（方案合理即可，也可利用内错角相等、同旁内角互补设计） (3)， 理由： 如图，过点作，过点作， ， ． ，，； 又， ，即； ， ． 【分析】（1）因为a、b、c所截形成同位角、内错角或同旁内角，所以根据平行线的判定定理，找到对应角满足的数量关系即可． （2）如果用直角三角板构造截线，测量待验证直线被截线所截的同位角、内错角或同旁内角，那么根据平行线判定定理即可判断平行． （3）因为，所以过F、G分别作的平行线，利用平行线的性质传递角度关系，结合已知角的度数推导的表达式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 例3．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①，② 【分析】（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交CD于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解； ②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：， 证明如下：如图，过点F作交CD于点G， ∵由（1）知， ， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ∴，， ∴； ②如图，过点E作， ∴， ∴， ，， ， ∴， 即与所成锐角的度数为． 变式1．（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，________ ，， （理由是：________） （理由是：________） ，________． ________° 【答案】60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105 【分析】根据题意，对每个步骤填写结论和依据． 【详解】解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，． ，， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ，． ． 变式2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平行线的判定与性质综合应用、平行线的性质在生活中的应用专项训练 期末复习：平行线的判定与性质综合应用、平行线的性质在生活中的应用专项训练 考点目录 平行线的判定与性质综合应用 平行线的性质在生活中的应用 考点一 平行线的判定与性质综合应用 例1．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，．求证：． 证明：，（________）， （___________________）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （________________________________）， （_____________）， （________________________）， （_______________________________________）， （_________________________________________）． 例2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知，，，则．请说明理由（补全解答过程）． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 所以________（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知），所以（等量代换）． 所以________（同位角相等，两直线平行）． 所以（________）． 又因为（已知）， 所以．所以（________）． 例2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）如图，已知平分． (1)求证：； (2)求的度数． 变式1．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是的角平分线，，求的度数； 变式3．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 考点二 平行线的性质在生活中的应用 例1．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 例2．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 例3．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 变式1．（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，________ ，， （理由是：________） （理由是：________） ，________． ________° 变式2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $