精品解析：江苏南京市东山外国语学校2025-2026学年第二学期第二次阶段测试八年级数学试题

东外初二第二次月考 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 下列结论中正确的是（ ）． A. 为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式 B. 嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式 C. “随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件 D. “打开电视，播放体育赛事”是必然事件 2. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 4. 若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A. 3 B. C. D. 5. 为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知分式（a，b为常数）满足下表中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 2 0 q 分式的值 分式无意义 0 p 1 A. B. C. D. 7. 已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（　　） A. a B. a C. a D. a 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 10. 分式和的最简公分母是______． 11. 一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为______（精确到0.01）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 12. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 13. 若，则_________． 14. 如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点，连接，，，若，，则的大小为 ________ ． 15. 如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为为的中点，则BM的长为_____． 16. 设，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”号连接） 17. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 18. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，，并规定：，如：，，则下列结论①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有个，其中正确的结论有__．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解答下列各题： （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 为了解学生对球类运动的爱好情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅不完整的统计图． （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“排球”所在扇形的圆心角度数为______°； （4）若该校共有学生2000名，请估计其中喜欢篮球的人数． 22. 2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 23. 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 24. 在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： （1）若，且，求的值． （2）若且，求的值． 25. 知识与方法的类比，是数学探索发展的核心途径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：当，时，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值．如：若，则，，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）①若，则的最小值为______； ②若，的最小值为______． （3）已知，，且，求的最小值． 26. 我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究 （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件． （3）命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形． ①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） ②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东外初二第二次月考 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 下列结论中正确的是（ ）． A. 为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式 B. 嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式 C. “随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件 D. “打开电视，播放体育赛事”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，正确理解它们的概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查、随机事件的概念判断即可． 【详解】解：A、为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取抽样调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意； B、嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取全面调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意； C、“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件，结论正确，符合题意； D、“打开电视，播放体育赛事”是随机事件，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 2. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 将每个多项式因式分解后，检查是否含有因式，不含有该因式的即为答案． 【详解】解：选项A：，含有因式； 选项B：，含有因式； 选项C：，含有因式； 选项D：，不含有因式； 故选：D． 3. 依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形一定不是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故C不符合题意； D、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 4. 若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：， 因为分式的值不变， 所以是同时含有和的一次多项式， 只有D选项符合题意， 故选：D 5. 为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设走甲路线的平均速度为x千米/时，根据题意“甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟”列方程解题即可． 【详解】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时，列方程为， 故选A． 6. 已知分式（a，b为常数）满足下表中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 2 0 q 分式的值 分式无意义 0 p 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，分式的性质，一元一次方程，分式方程，掌握知识点是解题的关键．根据表格，逐一计算分析，即可解答． 【详解】解：当时，分式无意义，得 ， 解得． 故A正确． 原分式为， 当时，分式的值为0，则 ， 解得． 故B正确． 原分式为． 当时，， 故C错误． 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解． 故D正确． 故选：C ． 7. 已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解得，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定是等腰三角形． 故选A． 8. 如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（　　） A. a B. a C. a D. a 【答案】D 【解析】 【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE＋PD＋PF＝AH＋DH＋CD＝AC即可． 【详解】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示： ∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC， ∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形， ∴PE＝AH，PG＝CD， 又∵△ABC为等边三角形， ∴△FGP和△HPD也是等边三角形， ∴PF＝PG＝CD，PD＝DH， ∴PE＋PD＋PF＝AH＋DH＋CD＝AC， ∴AC＝a， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 解：根据二次根式有意义，得：1-2x≥0， 解得：x≤． 故答案是：x≤． 10. 分式和的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”是解答此题的关键．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【详解】解：分式的分母，都是单项式， 分式与的最简公分母是， 故答案为：． 11. 一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为______（精确到0.01）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 【答案】0.60 【解析】 【分析】概率接近于表格中得到的频率，由此即可解决问题． 【详解】∵随着实验次数的增多，摸到白球的频率逐渐靠近常数0.60， 所以估计摸到白球的概率为0.60 故答案为：0.60 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率 12. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，由可得，利用夹逼法得到，即得，进而得到，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 13. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减．根据异分母分式相加减可得，从而得到，再代入计算，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点，连接，，，若，，则的大小为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据题意得，进而可得，则，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形的对角线上 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为为的中点，则BM的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理． 连接，利用勾股定理可以求得的长，然后根据正方形的性质可以得到的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M为线段的中点， ∴， ∵正方形，正方形的边长分别为6，2 ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 16. 设，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，用平方差公式分解因式得到，，再由即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， 故答案为：． 17. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x，然后根据分式方程的解为正数，结合分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得：， 解得． ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 18. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，，并规定：，如：，，则下列结论①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有个，其中正确的结论有__．（填写所有正确结论的序号） 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】根据题中规定，得出式子规律：每个式子，按照周期循环，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 由上述式子可得规律：每个式子，按照周期循环， 当时，，故①错误； 当时，，即，则， ，故②错误； 由规律可知，每个式子，按照周期循环， ， ， ， ，则， ， ，故③正确； ，， ， 的值为整数，且为整数， 的值为整数，则当取时，符合要求， 按照规律，无论多少个数，只有六种情况，则由分式分母不为可知，，且， 的取值为，共个，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再由完全平方公式因式分解即可； （2）先由平方差公式因式分解，再对每个因式由完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解答下列各题： （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）原分式方程无解 （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）由分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1解出，再通过验根即可得到答案； （2）先计算括号内异分母分式减法，再对分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法后约分即可得到化简结果，最后将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 21. 为了解学生对球类运动的爱好情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅不完整的统计图． （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“排球”所在扇形的圆心角度数为______°； （4）若该校共有学生2000名，请估计其中喜欢篮球的人数． 【答案】（1）50 （2）图见解析 （3）36 （4）喜欢篮球的大约有400人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，用样本估计总体等知识． （1）根据喜欢羽毛球的人数和占比即可求出本次调查共抽取的人数． （2）先求出喜爱乒乓球球的人数，然后补全条形统计图即可． （3）用“排球”所占比乘以360度即可． （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：名， 则本次调查共抽取了50名学生． 【小问2详解】 解：爱好乒乓球的人数的有：名， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：， 则“排球”所在扇形的圆心角度数为． 【小问4详解】 解：人 答：喜欢篮球的大约有400人 22. 2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【答案】“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元 【解析】 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【详解】解：设“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元． 23. 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形和平行四边形的判定得出即可； （2）根据当菱形内角是则是正方形，进而得出答案. 【小问1详解】 解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，D是中点， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， 若四边形是正方形，则， 又∵是的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，当时，四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形、菱形、正方形的判定，正确区分它们是解题的关键. 24. 在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： （1）若，且，求的值． （2）若且，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【小问1详解】 解：令，则，，， ； 【小问2详解】 解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 25. 知识与方法的类比，是数学探索发展的核心途径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：当，时，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值．如：若，则，，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）①若，则的最小值为______； ②若，的最小值为______． （3）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （2）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②先化简原式，令，则原式变为再根据材料2的方法求解即可； （3）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【小问1详解】 解：令， ∴原式 ； 【小问2详解】 解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ② ， 令， 则原式， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 26. 我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究 （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件． （3）命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形． ①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） ②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）是假命题，反例见解析 （3）①见解析；②当时，0个；当或时，1个；当时，2个 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）这个命题是假命题，利用等腰梯形ABCD说明即可； （3）（Ⅰ）根据要求作出图形即可． （Ⅱ）判断出两种特殊情形AB的值，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°， 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴2∠A+2∠B=360°， ∴∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC， 同理AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 【小问2详解】 解：命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形． 这个命题是假命题，如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，满足条件，但不是平行四边形． 【小问3详解】 解：（Ⅰ）如图，四边形ABCD即为所求． （Ⅱ）如图③中，当BA⊥AC时， ∵OB=OD=4，∠AOB=60°， ∴AB=OB•sin60°=， 观察图象可知当或4时，存在一个平行四边形ABCD， 当时，存在两个平行四边形ABCD， 当AB＞4时，存在两个平行四边形ABCD， 当时，不存在满足条件的平行四边形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，命题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $