2026年广东省广州市中考数学冲刺模拟卷

**基本信息** 2026年广州中考数学冲刺模拟卷，以地域文化（瘦西湖、五亭桥）和时代热点（电动汽车充电桩、非遗演讲）为情境，通过25道题（120分）梯度考查实数、函数、几何等核心知识，注重空间观念与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数分类、旋转体、二次函数性质|量角器碎片测量（9题）结合圆的性质，考查几何直观| |填空题|6/18|中位线、分式意义、圆的切线综合|平行四边形角平分线（14题）与二次函数最值（15题），体现运算能力| |解答题|9/72|统计应用、方程建模、几何旋转综合|电动汽车充电桩问题（21题）构建方程模型，25题旋转与中点综合考查推理能力|

2026年广东省广州市中考数学冲刺模拟卷 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 5．下列说法不正确的是（    ） A．为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式 B．统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示 C．游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件 D．扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定 6．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 7．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．已知点，都在二次函数（m为常数，且）的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，点在直线上，．若，则的度数为________． 12．如图，在中，D，E分别是的中点，则______． 13．x取何值时代数式有意义：______． 14．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 15．二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 16．定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 解不等式组，并写出它的整数解． 18．（本题满分4分） 如图，在菱形中，点，分别是上的一点，且，与相交于点O，求证：． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分6分） 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 21．（本题满分8分） 2026年国内成品油价格迎来新一轮上调，高速服务区“油电协同补给”成为标配． (1)在某服务区，新增电动汽车的快速充电桩A型与普通充电桩B型，快速充电桩A型数量是普通充电桩B型数量的2倍，统计发现：在1个小时内，平均每个A型充电桩可以为3辆电动汽车充电，每个B型充电桩可以为2辆电动汽车充电，这样在这1小时内可以为56辆汽车提供充电服务．那么这个服务区的A型、B型充电桩分别有多少个？ (2)一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.8元．若两位车主在服务区分别花80元给电动汽车充电、花400元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？ 22．（本题满分10分） 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（C在D左侧）． (1)一次函数的图象过定点________． (2)当点B为的中点时， ①求点D的坐标； ②求直线的解析式． (3)原点O关于直线的对称点为，直接写出点与（2）中点D的最短距离． 23．（本题满分10分） 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 24．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)直接写出抛物线的对称轴________； (2)如图1，已知点，点，若抛物线与线段有公共点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当，请判断是否为一个定值，并说明理由． 25．（本题满分12分） 在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点顺时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省广州市中考数学冲刺模拟卷 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：开立方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是无理数，因此仍是无限不循环小数，是无理数； 开平方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； ∴无理数共有个． 2．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项、单项式除法、同底数幂乘法、积的乘方的运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：∵ ，∴ A错误； 选项B：∵ ， ∴ B错误； 选项C：∵ ∴ C错误； 选项D：∵ ，  ∴ D正确． 4．若方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况讨论，根据方程有实数根的条件求解的取值范围． 【详解】解：∵方程未指明次数， 需分两种情况讨论， ①当时，原方程化为，解得，有实数根，符合要求； ②当时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式， 即， 解不等式得， 综上，的取值范围为． 5．下列说法不正确的是（    ） A．为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式 B．统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示 C．游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件 D．扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定 【答案】B 【分析】结合抽样调查适用条件、不同统计图的特点、随机事件定义、方差的意义，逐一判断选项正误． 【详解】解：调查蟹黄汤包的受欢迎程度，调查范围较大，不适合全面调查，适宜采用抽样调查，因此A说法正确； 要直观展示各类小吃的销量占比，最适宜选用扇形统计图，条形统计图适合展示具体数量，因此B说法不正确； 途经五亭桥遇到画舫驶过，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件， C说法正确； 方差越大表示数据波动越大，稳定性越差，甲选手配速方差大于乙选手，因此乙选手配速更稳定，D说法正确． 6．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数平移规律和正比例函数定义，利用“左加右减”得到平移后的解析式，再根据正比例函数特征求出，最后代入横坐标计算纵坐标即可． 【详解】∵一次函数向右平移3个单位长度，根据一次函数“左加右减”的平移规则， ∴平移后的函数解析式为 ∵平移后得到正比例函数，正比例函数的常数项为0， ∴ 解得 ∴平移后的正比例函数为 将代入解析式得 即横坐标为6时，纵坐标为4． 7．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的符号判断函数图象所在象限，再结合各象限内随的变化规律比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点，都在第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， 综上可得． 8．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，连接交于点，设，则，在中，由勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点，连接交于点，设，则， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 10．已知点，都在二次函数（m为常数，且）的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数因式分解，再结合，，的条件化简不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：对二次函数因式分解得：， ∵点，在函数图象上， ∴，， ∴， ∵，，， ∴当，时，， ∴ 不等式化简，得， 令，解得， 由二次函数的图象可知当时，c的取值范围为． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，点在直线上，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据邻补角求出，再根据垂直的定义可得，最后根据角度间的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，D，E分别是的中点，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．x取何值时代数式有意义：______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为， 解不等式得：． 14．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 【答案】4 【分析】利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 16．定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 【答案】 【分析】分别过点作，连接，易证，即三点共线，勾股定理求出，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，由切线长定理求出，得到，再根据是的切线，得到，解直角三角形求出，再求出，再根据，求出，即可求解． 【详解】解：分别过点作，连接， ∵、、分别与切于、、， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，四边形是矩形， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为和． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得 ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为和． 18．（本题满分4分） 如图，在菱形中，点，分别是上的一点，且，与相交于点O，求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ． ， ． 即， ，， ， ． 【分析】根据菱形的性质证明即可． 【详解】略 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先进行单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，括号内分式的减法计算，再进行合并同类项与分式的除法计算，最后计算分式的减法，继而求出x的值，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式． 20．（本题满分6分） 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； (2)甲排名第一，乙排名第二； (3)设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； （3）解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 21．（本题满分8分） 2026年国内成品油价格迎来新一轮上调，高速服务区“油电协同补给”成为标配． (1)在某服务区，新增电动汽车的快速充电桩A型与普通充电桩B型，快速充电桩A型数量是普通充电桩B型数量的2倍，统计发现：在1个小时内，平均每个A型充电桩可以为3辆电动汽车充电，每个B型充电桩可以为2辆电动汽车充电，这样在这1小时内可以为56辆汽车提供充电服务．那么这个服务区的A型、B型充电桩分别有多少个？ (2)一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.8元．若两位车主在服务区分别花80元给电动汽车充电、花400元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？ 【答案】(1)A型充电桩有14个，B型充电桩有7个； (2)电动汽车在高速公路上行驶时平均每公里所耗电费为0.2元． 【分析】（1）设A型充电桩有x个，B型充电桩有y个，根据快速充电桩A型数量是普通充电桩B型数量的2倍，在1个小时内，平均每个A型充电桩可以为3辆电动汽车充电，每个B型充电桩可以为2辆电动汽车充电，且1小时内可以为56辆汽车提供充电服务，建立方程组求解即可； （2）设电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为a元，则燃油汽车平均每公里所耗油费为元，根据花80元给电动汽车充电、花400元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设A型充电桩有x个，B型充电桩有y个， 依题意得， 解得， 答：A型充电桩有14个，B型充电桩有7个； （2）解：设电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为a元，则燃油汽车平均每公里所耗油费为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， 答：电动汽车在高速公路上行驶时平均每公里所耗电费为0.2元． 22．（本题满分10分） 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（C在D左侧）． (1)一次函数的图象过定点________． (2)当点B为的中点时， ①求点D的坐标； ②求直线的解析式． (3)原点O关于直线的对称点为，直接写出点与（2）中点D的最短距离． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）由，即可求解； （2）求出点，设，根据中点坐标列式得到，再代入反比例函数即可求出，从而得到点D坐标及直线的解析式； （3）利用对称性可知，再运用距离公式求解． 【详解】（1）解：，， 一次函数的图象过定点； （2），解得，则， 由（1）知，又点B为的中点，设， ，解得，即， ，解得， 时，，则， 直线的解析式为； （3）解：原点O关于直线的对称点为，又点在直线上， ， 由（2）知， ． 23．（本题满分10分） 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，可知，由翻折的性质可得，，根据等角对等边得到，可知； （2）证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （3）连接交于，根据菱形的性质得到，，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折的性质可得，， ， ， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （3）解：如图，连接交于． 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， ， 根据勾股定理得． 24．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)直接写出抛物线的对称轴________； (2)如图1，已知点，点，若抛物线与线段有公共点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当，请判断是否为一个定值，并说明理由． 【答案】(1)1； (2)或． (3)解：，理由如下： 设，，， 解方程组， 整理可得：， ，， ，， 直线， 设直线的解析式为， 解方程组：， 整理可得：， ，， 解得：，， 直线， 设直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， ，， 解得：，， 直线，令，，， ，， ， ， 即， 又， ， ， 为定值． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求出抛物线的对称轴即可； （2）因为抛物线与线段有公共点，当时，可得不等式；当时，可得不等式；解不等式即可求出的取值范围； （3）设，，，根据点、是抛物线与直线的交点，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，即可求出，，从而得到直线和的解析式，分别求出两直线与轴交点的纵坐标，根据列出方程即可得到结果． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：当时，抛物线开口向上， 则时，可得：， ， 当时，抛物线开口向下， 则时，可得：， ， 综上所述：或； （3）略 25．（本题满分12分） 在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点顺时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)．证明如下： 如图，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，． (3) 【分析】（1）容易判断是等边三角形，，结合旋转的性质容易计算出，根据三角形的内角和定理求出即可； （2）连接，，容易判断是等腰直角三角形，则，结合旋转的性质容易证明，则，，从而得到．由和可判断是等腰直角三角形，则， 进而证明，则，．由直角三角形的性质可得，，因此，结合等量代换容易判断，最后使用勾股定理求出线段与的数量关系； （3）先分析最小的情况，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，连接并延长交于点，由旋转容易判断、和都是等边三角形，进而可得也是等边三角形，进一步可证明，则，因此点在过点，且垂直的定直线上，结合垂线段最短可知，当点在边上时，最小．再分析最大的情况，由等边三角形的性质和勾股定理容易计算出，，，由折叠可得，根据线段公理可得，，因此当点在线段上时，取得最大值．最后计算的面积，作于点，连接，作交的延长线于点，利用三角函数容易计算出，，，由等边三角形的性质容易证明，则，，由平行容易证明，计算得，，由等积变形可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，连接并延长交于点， 由旋转的性质可得，，，，， ∴、和都是等边三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在过点，且垂直的定直线上， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 当点在边上时，如图， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值， 当点在线段上时，如图，作于点，连接，作交的延长线于点， ∵， 又∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $