广东省广州市2025-2026学年下学期高二数学期末冲刺自编模拟卷

**基本信息** 以数学文化节节目排序、低空经济无人机作业等真实情境为载体，融合数列、概率统计、导数等核心知识，注重数学眼光（如统计图表观察）、数学思维（如逻辑推理）与数学语言（如概率模型表达）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|排列组合（第1题）、数列（第2题）、导数应用（第4题）、统计（第5、7题）|第5题通过列联表考查独立性检验，体现数据分析素养| |填空题|3题15分|二项式定理（12题）、切线方程（13题）、概率计算（14题）|14题骰子点数之积概率，结合生活实际考查数学思维| |解答题|5题77分|数列证明与求和（15题）、条件概率（16题）、函数零点（17题）、概率分布（18题）、函数最值（19题）|16题以低空经济为背景考查全概率公式，18题“抢分赛制”创新情境，19题分层探究函数最值，梯度设计合理|

广东省广州市2025-2026学年下学期高二数学期末冲刺自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 【答案】A 【分析】先排4个节目，再按照定序插空排列即可求解. 【详解】先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法， 舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻， 插空有种，总共有种. 2．已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，逐一对各选项判断即可. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，公差， 可得， ， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因，则，故C正确，D错误. 故选：C. 3．函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，故. 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ） A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 5．对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【分析】由卡方值，根据独立性检验规则即可做出判断. 【详解】由题可知， 根据独立性检验规则，表明没有充分证据推断跳绳与性别有关， 可以认为爱好跳绳与性别无关． 6．现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（    ） A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 【答案】B 【详解】设语文课本有本，则数学课本有. 从8本书中任取2本的总组合数为； 至多有1本语文课本的组合数有； 至多有1本语文课本的概率是， ，即，解得或； ，. 7．已知样本点，，……，的经验回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为，.现令，.设新样本点的经验回归直线为，则下列命题为假命题的是（   ） 附：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. A．与的相关系数为 B．过 C．的斜率为 D．的截距为 【答案】D 【分析】根据经验回归直线必过样本中心点，代入公式依次判断选项即可. 【详解】由已知样本均值性质可得新样本均值分别为与， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以新经验回归直线过点，故B正确； 因为且， 代入相关系数公式可得新样本的相关系数，故A正确； 代入斜率公式可得新经验回归直线的斜率 ，故C正确； 由回归截距公式可得新经验回归直线的截距，故D错误.故选D. 8．已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合函数的单调性，和必过的点，再通过函数的中心对称性进行证明，即可作出判断. 【详解】由连续型随机变量，根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 但函数，即表示正态分布密度函数与及轴围成的面积， 显然有，且函数是递增函数，故AC错误； 由于，可猜想的图象关于点对称， 再进行证明，即证， 所以的图象关于点对称，故B正确，D错误； 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．随机变量X的方差，期望，则 C．360的正因数有24个 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则c，k的值分别是和4 【答案】ACD 【详解】A.，故A正确. B.因为，由方差，期望， 可得，即B错误. C.又； 其正因数（，1，2，3；，1，2；，1）； 故正因数个数有，故C正确. D.模型取对数得，令， 则回归方程为，已知，故，，即， ，故D正确. 11．已知函数，数列满足：，且，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．是递增数列 D． 【答案】ABD 【分析】转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性，结合，可判定A正确；求得，结合，可判定B正确；化简得到，令，利用导数求得函数的单调性，求得，得到，可判定C错误；令，利用导数求得函数单调递增，得到，得到，进而判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，要证，只需证明， 即证，令， 可得，所以在上单调递增， 又由，所以，即，即， 所以当时，成立，所以A正确； 对于B，由数列满足， 可得 由选项A知：当时，，即，即， 若，则，依次类推，可得，所以B正确； 对于C，由，可得， 令，可得， 令，可得， 所以在上单调递减，则，所以， 所以在上单调递减，且当时，可得， 则，所以，即，即， 所以数列是递减数列，所以C错误； 对于D，由选项B知：，下面证明：，即， 令，可得， 令，可得，所以在上单调递增， 因为，所以，即，所以单调递增， 又因为，所以， 即对于任意，都有，所以，即， 即， 所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式合并同类项后，含的项的系数为________（结果用数值表示）． 【答案】480 【详解】， 要得到含的项，则6个因式中有1个因式取，2个因式取，3个因式取， 所以含的项为，系数为. 13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 14．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【答案】 【分析】应用互斥事件概率和公式及独立重复事件概率公式计算求解. 【详解】记事件表示三次抛掷出的点数之积能被4整除， 则事件有两种情况：第一种是至少有一次掷出点数为4；第二种是没有掷出点数4，但点数2或6两者一共至少被掷出两次； 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 16．（15分） 随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机． (1)求该无人机作业成功的概率； (2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率． 【答案】(1)0.95 (2)0.2． 【分析】（1）先设事件，再由全概率公式求出无人机作业成功的概率. （2）由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“选到甲品牌无人机”，事件表示“选到乙品牌无人机”， 事件表示“选到丙品牌无人机”，事件表示“无人机作业成功”． 根据全概率公式得 ． 故该无人机作业成功的概率为0.95． （2）由题意得． 故该无人机是丙品牌的概率为0.2． 17．（15分） 已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【详解】（1）由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； （2）函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 18．（17分） 某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 【答案】(1)①的分布列 2 3 4 5 期望；② ，时达到最大； (2) 【分析】（1）①按比赛结束条件，分类讨论每一局数的概率，进而求出分布列及期望； ②用p表示各局数概率，构造函数分析单调性，求达到最大值； （2）用比值法分析概率数列的单调性，求出最大值点，进而求出概率最大值． 【详解】（1）（1）①比赛结束的条件为：（I）某选手连续2局获胜；（II）积分率先达到分， 由赛制规则分析可得，， ：前2局连胜（甲甲或乙乙），总积分8分未达分，满足条件（I）， ， ：前2局交替，第3局与第2局连胜（甲乙乙或乙甲甲），满足条件（I）， ， ：前3局交替，第4局与第3局连胜（甲乙甲甲或乙甲乙乙），此时胜者积分分， 满足条件（I），， ：前4局交替（甲乙甲乙或乙甲乙甲），两人各得8分，第5局无论谁胜， 胜者积分必达分，满足条件（II），， 的分布列如下： 2 3 4 5 ， ②设乙在单局比赛中获胜的概率为， （甲甲）（乙乙）， （乙甲甲）（甲乙乙）， （甲乙甲甲）（乙甲乙乙）， （甲乙甲乙）（乙甲乙甲）， 令，由且，可得： ， 由基本不等式，，故， 则， ， 设 ，其在区间上单调递增， 当（即）时，取得最大值， ， 故 ， 当时，比赛的平均总局数达到最大． （2）由已知，， 设， ， 令， 当时，，即随增大而增大； 当时，，即随增大而减小； ， 故是最大值，即的估计值为． 19．（17分） 记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数在区间上的单调性计算即可得； （2）由三角函数性质可得，则在区间上必须能取到与，结合三角函数性质计算即可得； （3）利用导数求出该三次函数单调性及其极值点后，令，分、、及讨论即可得. 【详解】（1）由在上单调递减， 故，； （2）由，故， 由，故，， 故存在，使得，， 由，即在区间上必须能取到与， 令，， 即，， 则可为、，可为、， 故有且，即； （3）由，得 令，得 解得 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 且 设 当或时，方程只有一个实根，设为.此时与分别在两侧出现. 要使上的最小值为且上的最大值为，只能使，，故. 当或时，可看作下面三交点情形的端点情况，所得也包含在下面的范围内. 当时，方程有三个不同实根，记为 由函数的单调性可知 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 于是可能出现以下情况： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 综上，对于固定的，一定有 下面估计.由的三个根为，，， 根据根与系数的关系，得 令，则，且 由，代入上式得 于是 所以，从而， 最后说明端点和中间值都可以取到.当时，， 即， 所以三个根为，，. 此时对应，对应. 由前面的四种位置关系可得能取到、以及端点.当从连续变化到时， 从连续变化到，从连续变化到， 因此负值部分也能连续取遍.所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期高二数学期末冲刺自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 2．已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（    ） A． B． C． D． 3．函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ） A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 5．对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6．现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（    ） A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 7．已知样本点，，……，的经验回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为，.现令，.设新样本点的经验回归直线为，则下列命题为假命题的是（   ） 附：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. A．与的相关系数为 B．过 C．的斜率为 D．的截距为 8．已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．随机变量X的方差，期望，则 C．360的正因数有24个 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则c，k的值分别是和4 11．已知函数，数列满足：，且，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．是递增数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式合并同类项后，含的项的系数为________（结果用数值表示）． 13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 14．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分） 随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机． (1)求该无人机作业成功的概率； (2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率． 17．（15分） 已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 18．（17分） 某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 19．（17分） 记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $