广东省2025-2026学年高二下学期数学期末自编测试卷（三）

**基本信息** 高二下学期数学期末测试卷，以传统文化（演讲比赛）、游戏情境（抽奖、象棋）为载体，融合统计、几何、概率等知识，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|统计（中位数、极差）、立体几何（线面关系）、函数（导数几何意义）|第1题结合传统文化情境，第8题设计抽奖概率模型，体现应用意识| |填空题|3题15分|双曲线离心率、函数单调性、数列递推|第14题数列存在性问题，考查逻辑推理与数学表达| |解答题|5题77分|立体几何（二面角）、概率（积分与抽奖综合）、椭圆方程与直线|17题以象棋比赛为背景整合概率与积分，19题函数不等式恒成立问题，突出数学思维与创新应用|

高二下学期 数学期末测试卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 7．记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 8．某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的个球.其中有个新球和个旧球.每次从中随机抽取个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱；若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结束.设为游戏结束时抽取的次数，则的期望为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，，则（   ） A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D． 10．如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．当在上，为的中点，且平面时，三棱锥的体积为 C．当平面时，直线与底面所成角的正弦值为 D．一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离为 11．已知圆，直线恒过定点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线与圆相切，则或 B．若直线，为圆的两条切线，且，为切点，则直线的方程为 C．若直线与圆相交于，两点，则的最小值为 D．若直线与圆相交于，两点，则当取最大值时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________. 13．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 14．在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 16．在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． (1)求的值； (2)若是线段的中点，求的值． 17．某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 18．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 19．已知定义在上的函数满足，且，． (1)求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期 数学期末测试卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用中位数、极差的意义列式计算即得. 【详解】依题意，该组数据的中位数为，极差为， 由该组数据的中位数是极差的，得，所以. 故选：B 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线定理得到，两边平方求出，得到答案. 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 4．已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为， 所以，， 所以所求切线的斜率为. 5．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线化为标准方程，再求解准线方程即可. 【详解】将化为标准方程，可得准线方程，故D正确. 故选：D． 6．已知函数的值域为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用导数求得时，函数的值域为，再分和，求出在上的最小值.根据函数的值域为，即可求得的值. 【详解】当时，是单调减函数. ∴的值域为； 当时， 若，则，是单调增函数， 的值域为，不符合题意， 当时，令，得，令，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， , 由题意知，即，解得， 所以. 故选：A. 7．记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等差数列的性质求，再根据求和公式求. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以. 又因为，所以. 所以. 故选：D 8．某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的个球.其中有个新球和个旧球.每次从中随机抽取个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱；若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结束.设为游戏结束时抽取的次数，则的期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于离散型随机变量的数学期望求解问题，首先提炼题干核心信息：抽奖箱初始有个新球、个形状大小均相同的旧球，每次随机抽取个球，规则为抽到新球则该球变为旧球后放回抽奖箱，抽到旧球则丢弃该球，设为抽奖总次数，需先明确的所有可能取值，结合概率乘法公式计算每个取值对应的概率，再通过离散型随机变量期望公式求解. 【详解】设为游戏结束时抽取的次数，中奖情况：若只抽到初始的个旧球即中奖，此时，； 若抽到过个新球，则共需丢弃个旧球，此时； 若抽到过个新球，则需丢弃个旧球，此时，路径有（新，新，旧，旧，旧）和（新，旧，新，旧，旧），则. 不中奖情况：若不中奖，则箱子为空，意味着个新球都被抽过且个旧球最终都被丢弃.每个新球需抽两次（一次变旧一次丢弃），初始旧球抽一次，故总次数必为. 其概率. 综上，的数学期望.故选. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，，则（   ） A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：因为，所以，A错误； 选项B：因为，所以对应的点的坐标为在第四象限，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，D正确. 10．如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．当在上，为的中点，且平面时，三棱锥的体积为 C．当平面时，直线与底面所成角的正弦值为 D．一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离为 【答案】ABC 【分析】过点作直线平行于，结合线面角的定义推理判断AC；确定点的位置，进而求出体积判断C；将矩形与矩形置于同一平面求解判断D. 【详解】对于AC，过点作直线平行于，交圆柱曲面于点， 依题意，，四边形为正方形， 连接相交于点，则为的中点， 当重合时，，因此存在点，使得，A正确； 连接，则，又为的中点，⊥， 又，， 过点作，交于点，由⊥平面，平面，得⊥， 又⊥，，平面，则⊥平面， 又平面，因此⊥，又，平面， 则平面，与底面所成角为， 又，，则， 因此，C正确； 对于B，取的中点，则为圆柱的上底面圆的圆心， 而的中点，连接并延长交半圆周于点， ，，则， 其中，，， 因此三棱锥的体积为，B正确； 对于D，将平面与平面沿着公共棱展开到同一平面内， 连接，其中，则， 而，则一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离不为，D错误. 11．已知圆，直线恒过定点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线与圆相切，则或 B．若直线，为圆的两条切线，且，为切点，则直线的方程为 C．若直线与圆相交于，两点，则的最小值为 D．若直线与圆相交于，两点，则当取最大值时， 【答案】BCD 【分析】对于A：根据直线与圆的位置关系列式求解即可；对于B：设切点，，求切线，的方程，同构可得直线的方程；对于C：根据数量积可得，即可得最值；对于D：根据面积结合基本不等式可得，进而列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线即为， 令，解得，所以直线恒过定点. 对于选项A：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 整理可得，解得，故A错误； 对于选项B：设切点，， 在切线上任取一点，则，， 因为，则， 整理可得， 且点在圆上，则，所以切线， 同理可得：切线， 因为切线和交于点，代入切线方程可得和， 即点和同时满足，所以直线的方程为，故B正确； 对于选项C：设与的夹角为，则. 当直线过圆心，此时，可得的最小值为， 则的最小值为，故C正确； 对于选项D：设点到直线的距离为，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则点到直线的距离为， 即，解得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________. 【答案】/ 【分析】记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 13．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据导数和函数单调性的关系，转化为不等式，恒成立，再根据正弦函数的性质求最值. 【详解】，因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立．即在区间上恒成立，所以，， 因为，所以，当时，取得最大值， 所以，则的最小值为. 14．在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先利用累加法结合等比数列求和求出数列的通项公式，再将一元二次不等式因式分解，结合数列的奇偶项单调性，确定不等式对任意恒成立时的取值范围. 【详解】根据题意，， 即，当时，，符合上式， 所以， 因为，整理可得， 所以 当为奇数时，单调递减且，最大值为；当为偶数时，单调递增且，最小值为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量可求得结论； （2）求出两平面的法向量，再由向量法可求出平面与平面夹角的余弦值； （3）不妨设，根据直线与平面所成角的正弦值为，可得，利用点到平面距离的向量求法可得其距离为. 【详解】（1）记的中点为，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 而， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 而， 所以，令，则 ， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 16．在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． (1)求的值； (2)若是线段的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)已知两边及其夹角，利用余弦定理计算边即可； (2)求中线的值利用向量的平行四边形法则，将中线表示为相邻两边的向量和，利用向量模长的计算方法计算即可 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 又因，由余弦定理，． （2）因为是线段的中点，所以， 则， 即，即的值为． 17．某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功”的二项分布模型求解； (2)利用全概率公式求解，再考虑其单调性； (3)全概率公式和条件概率公式的综合应用. 【详解】（1）甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为． （2）证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2， 由全概率公式， 因为二次函数在上单调递增， 所以当p越大时，越大． （3）象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， A与同时发生时，有， 由全概率公式， 所以． 18．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标得到，再将点代入椭圆方程，结合即可得到的方程； （2）（ⅰ）先联立椭圆和直线方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理及已知条件得到点坐标，进而得到的值；（ⅱ）先根据中点的坐标及中点也在直线上求出，再根据弦长公式求出，再根据，得到点在以为直径的圆上，从而得到当、、三点共线时，有最大值，进而得到，再利用三角换元法或导数法求最值即可． 【详解】（1）由椭圆的左、右焦点分别为，，则， 又椭圆过点，所以， 又，故，所以的方程为． （2）（ⅰ）因为直线：与椭圆交于、两点，设、两点坐标分别为，， 联立，消去，整理得， 则，解得， 则，， 又，， 则，即， 又因为点在椭圆上，即， 联立方程组，解得，，，， 由于点在直线方程上， 解得，，，， 又因为，所以． （ⅱ）设线段的中点坐标为，则， 所以，所以， 所以， 又，则点在以为直径的圆上， 而，当且仅当、、三点共线时等号成立， ，其中. 法1：（三角换元法） 设，，则， 所以，， 当时，，所以的最大值为． 法2：（导数法求最值） 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，由，得 当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减， 所以，所以的最大值为． 19．已知定义在上的函数满足，且，． (1)求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，所以， 即， 所以，； （2）由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数的取值范围是； （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $