期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦垂直平分线与角平分线的判定性质综合应用，以区域期中真题为载体，构建"概念-性质-判定-综合应用"逻辑链条，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直平分线综合|3例+3变式|等腰三角形结合、中点应用、周长与角度计算|从定义出发，通过性质证线段相等，判定证垂直平分，综合三角形全等与等腰性质| |角平分线综合|3例+3变式|尺规作图、高与面积计算、外角平分线应用|以性质证距离相等，判定证角平分，结合直角三角形与全等进行多条件推理|

期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 考点目录 垂直平分线的判定与性质综合 角平分线的判定与性质综合 考点一 垂直平分线的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． (1)求证：； (2)若E为中点，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合证明，进而可得，即可证明结论； （2）设，首先证明垂直平分，易得，再根据垂直平分线的性质证明，进而可得，在中，由勾股定理解得的值，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即； （2）解：设， ∵E为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，再证明得出，即可得证； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，，则，，由等边对等角可得，最后再结合三角形内角和定理和三角形外角的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． (2)5 【分析】（1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 变式1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 变式2．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，即可得到； （2）设，由勾股定理得，求出的值即可． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， 由勾股定理得：， ， ， . 变式3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为23，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为37 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴的周长． 考点二 角平分线的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）由尺规作图-作角平分线的方法步骤求解即可； （2）先由角平分线性质得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质得出，求出，数形结合即可求得到的周长． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)54 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）首先利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ∴． 例3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接．且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵，是的角平分线，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）证明，可得，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 变式1．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)证明：是上的高， ． 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及角平分线的性质． （1）根据勾股定理可知，即可求出的值，当时，根据勾股定理逆定理即可求证是直角三角形； （2）利用角平分线的性质可知，根据三角形面积得出，即可求出的值． 【详解】（1）略； （2）如图，过点作于点． 平分，由（1）得， ， ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分的外角，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 考点目录 垂直平分线的判定与性质综合 角平分线的判定与性质综合 考点一 垂直平分线的判定与性质综合 例1.(25-26八年级下·广东深圳期中)如图，在△ABD中，AD=BD,点F在线段AD上，点C在BD的延长线 上，连接AC,BF,并延长BF交AC于点E,且AD⊥BC,BF=AC. F E B D C (I)求证：BE⊥AC; (2)若E为AC中点，DF=2,求BC的值. 例2.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，ABC中，DE是BC边的垂直平分线交AB边于点E,过点A作 AF⊥AB于点A,交DE延长线于点F,且BE=EF,连接CF. B (1)求证：BC=2AF; (2)若∠B=20°，求∠DFC的度数. 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 例3.(25-26八年级下·陕西成阳阶段检测)如图，在ABC中，BA=BC,∠B=60°，D是ABC外一点，且 DA=DC,过点D作DE∥BC,分别交AB,AC于点E,F. (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若AB=15,DE=10,求DF的长. 变式1.(25-26八年级下·广东梅州期中)如图，在ABC中，直线1垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, 连接BD (1)若AB=9,△ABD的周长为19，则AC的长为-： (2)若LADB=90°，求∠ACB的度数； (3)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平分线上， 并说明理由 2 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 变式2.(25-26八年级下·贵州毕节·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=8,AB的垂直平分线MN交AC于 点D,连接BD M D (1)若∠A=28°，求∠DBC的度数； (2)若BC=6,求BD的长 变式3.(25-26八年级下·广东深圳期中)如图，AB=AC,AC的垂直平分线交AB于D,交AC于E. E B (1)若∠A=50°，求∠BDC的度数： (2)若AE=7,△BCD的周长为23，求ABC的周长. 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 考点二 角平分线的判定与性质综合 例1.(25-26八年级下广东深圳期中)如图，ABC中，∠C=90°. B (I)基本尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交AC于D,过点D作DE⊥AB于E,(保留作图痕迹，不写作法和结 论) (2)若AC=6,BC=8,AB=10,求ADE的周长. 例2.(25-26八年级下·广东深圳期中)如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD,BC于点 E,F,FG⊥AB,垂足为G. B D (I)求证：CE=FG; (2)若AC=9,AB=15,求ABC的面积. 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 例3.(25-26八年级下·四川成都期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE LAB于E, 点F在边AC上，连接DF.且DF=DB. B (I)求证：△CFD≌△EBD; (2)若AC=8,AB=10,求BD的长度. 变式1.(25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测)如图，在ABC中，AD是BC上的高，BE平分∠ABC,已知 AB=6,BD=4,BC=9. D (I)求证：ABC是直角三角形. (2)求AE的长. 5 期末复习：垂直平分线的判定与性质综合、角平分线的判定与性质综合专项训练 变式2.(25-26八年级下·河南平顶山期中)如图，在ABC中，AP平分∠BAC的外角∠BAD,PG⊥AD,垂足 为点G,PH⊥AB,垂足为点H,PE垂直平分BC于点E. H E (1)求证：LPBH=∠PCG; (2)若LBAC=90°，求证：BC=2PE. 变式3.(25-26八年级上广东中山阶段检测)如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF. E D F C (1)求证：AD平分∠BAC: (2)己知AC=10,BE=2,求AB的长. 6