期末培优：概率中的随机游走问题、概率中的新定义问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦概率难点，通过随机游走与新定义两大模块，以典例变式构建问题链，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率中的随机游走问题|3例+3变式|质点多方向移动、位置概率与期望计算、回归性证明|从简单移动到复杂路径，结合数列递推与期望公式，构建概率模型| |概率中的新定义问题|3例+3变式|自定义相关系数、信息熵等概念，结合分布列与期望|以新概念为载体，融合概率分布与数学期望，强化数学语言表达与应用|

期末培优：概率中的随机游走问题、概率中的新定义问题专项训练 期末培优：概率中的随机游走问题、概率中的新定义问题专项训练 考点目录 概率中的随机游走问题 概率中的新定义问题 考点一 概率中的随机游走问题 例1．（2026·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，一质点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处． (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； (2)记第n秒末点M回到原点的概率为． ①求，，并利用公式，求； ②令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的．利用公式：，证明：点M是常返的． 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，．现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，． (1)求的概率； (2)求随机变量的数学期望； (3)求随机变量的数学期望； 参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：． 例3．（2026·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，点从坐标原点出发，进行次移动，每次移动以下两种方式等可能随机选择一种执行：方式①：将当前点的横坐标加，纵坐标不变；方式②：将当前点的横坐标、纵坐标都加.记第次移动后，点的位置为 （）. (1)记点到直线的距离为，求随机变量的数学期望. (2)求点落在区域 内的概率； (3)若，记事件 ，求事件发生的概率 . 变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期末）在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 (1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； (2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 变式2．（2026·广东深圳·二模）一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． (1)求； (2)求； (3)求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 变式3．（24-25高二下·山东枣庄·期末）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. (1)求质点移动6次后位于的概率； (2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 考点二 概率中的新定义问题 例1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）云计算技术已成为全世界各国战略发展的核心技术与关键基础，2026年我国《政府工作报告》首次明确提出“支持公共云发展”，并将其纳入“打造智能经济新形态”的核心部署.在某个云计算数据中心，某时刻同时接到不同的三个数据任务甲、乙、丙，系统需将三个任务随机分配到四个计算节点A，B，C，D上执行.假设每个任务仅被分配到其中一个计算节点执行，且每个计算节点可以同时执行多个任务，假设不同任务的分配相互独立. (1)记节点A分配到的任务个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)对于两个不相互独立的事件M，N，，．若，称事件M与事件N正相关；若，称事件M与事件N负相关. 定义为事件M与事件N的相关系数． （ⅰ）若，求证：事件M与事件N正相关； （ⅱ）若事件M为“节点A恰好分配到一个任务”，事件N为“任务甲分配到节点A”．求，并判断事件M与事件N的相关情况． 例2．（2026·安徽合肥·二模）为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． (1)若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； (2)若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； (3)在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 例3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) (1)若，计算的值； (2)若，求； (3)证明：对任意奇数n(n≥3)，． 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，集合．对于中的任意两个不同的元素，，定义． (1)当时， （ⅰ）求的元素个数； （ⅱ）求随机变量的分布列及数学期望； (2)证明：． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）在信息论中，熵（）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵．若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量所有取值为，则定义信息熵，，． (1)若，求随机变量的信息熵关于的解析式； (2)若，，求此时的信息熵； (3)设和是两个独立的随机变量，求证：． 变式3．（25-26高三下·安徽·阶段检测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． (1)求甲获得分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：概率中的随机游走问题、概率中的新定义问题专项训练 期末培优：概率中的随机游走问题、概率中的新定义问题专项训练 考点目录 概率中的随机游走问题 概率中的新定义问题 考点一 概率中的随机游走问题 例1．（2026·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，一质点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处． (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； (2)记第n秒末点M回到原点的概率为． ①求，，并利用公式，求； ②令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的．利用公式：，证明：点M是常返的． 【答案】(1) (2)①；； ； ②证明：由可知： 则 所以， 令（），则， 即函数在上单调递减， 所以，即，则， 则对任意正整数都有， 所以 记为不超过x的最大整数， 则对任意的实数，当时，，即 ， 综上，当时，成立，所以点M是常返的． 【分析】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，计算即可； （2）①分四个方向各移动一次、左右方向各移动两次、上下方向各移动两次三种情况求；设左右各移动次，上下各移动次，即可求出，再利用组合公式化简； ②利用公式化简得出，得出，构造函数，研究其单调性求出，即可得出，最后化简得出，取即可求证. 【详解】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上， 由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种， 其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点，，，这四种情况．则， 故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为． （2）①点M在第2秒末回到原点，；⋯ 点M在第4秒末回到原点有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种， 左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种， 所以； 若点M在第秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等， 设左右各移动i（）次，则上下各移动次， 所以 . ②略 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，．现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，． (1)求的概率； (2)求随机变量的数学期望； (3)求随机变量的数学期望； 参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即可求解； （2）解法一：由题意得可取2，4，6，8，…，，…．且，进而计算求得，进而利用错位相减法和极限求解即可；解法二：由题意可得，求解即可； （3）解法一：蚂蚁通过步第次到达时，前面的步中，在奇数步中，必然到达，偶数步中，有次到达，最后2步移动以的概率回到，求得对应概率，进而可求得，进而利用错位相减法计算即可求解；解法二：设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，由题，初始位置为时第次到达时移动的总次数为，则当时，可得，进而计算可求解. 【详解】（1）当点满足时，记其为，，1，2． 蚂蚁奇数次移动后必然到达点，之后有的概率到达点，有的概率到达点， 蚂蚁在或时，下一步必然到达．故． （2）解法一：由题知，可取2，4，6，8，…，，…．且， 故而． 设， 于是， 则 于是，得． 解法二：蚂蚁在两次移动后，有的概率经过到达点，有的概率经过到达点， 于是 （3）解法一：则当时，蚂蚁第次到达所经历的步数可能为： ，，，…，，… 当蚂蚁通过步第次到达时，前面的步中，在奇数步中，必然到达， 偶数步中，有次到达，对应的概率为，最后2步移动以的概率回到． 于是，故 记，则， 于是 又由，有， 所以 又由也符合上式知，对于一切，有． 解法二：设初始位置为时第次到达时移动的总次数为， 设初始位置为时第次到达时移动的总次数为， 由题，初始位置为时第次到达时移动的总次数为，则当时， 有， 即 即得，又由有 即，又由得． 解法三：由题，有， 结合知，，于是． 解法四：将每两次移动视为一次操作，易知1次操作中，必然有1次到达，有1次到达或者， 即每次操作有的概率发生“到达”，有的概率不发生“到达”．于是为使事件“到达”发生次， 平均需要进行次操作，于是需要移动次，即． 例3．（2026·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，点从坐标原点出发，进行次移动，每次移动以下两种方式等可能随机选择一种执行：方式①：将当前点的横坐标加，纵坐标不变；方式②：将当前点的横坐标、纵坐标都加.记第次移动后，点的位置为 （）. (1)记点到直线的距离为，求随机变量的数学期望. (2)求点落在区域 内的概率； (3)若，记事件 ，求事件发生的概率 . 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】(1)先用数学期望公式求解，再通过求解； (2) 点落在区域 内，将，代入不等式，得，再对 分奇偶性讨论； (3) 先采用动态规划递推分析，最后求解事件发生的概率. 【详解】（1）点到直线的距离为 因此数学期望， 因为， ，所以其分布列为： 0 1 2 3 4 =， 所以； （2）设前 次移动中选择方式②的次数为 ，则横坐标恒为 （两种方式横坐标均加 1），纵坐标恒为 （仅方式②纵坐标加 1）， 服从二项分布 ，即 ， 点落在区域 内 将，代入不等式，得， 由于是整数，因此等价于（向下取整）， 二项分布关于对称，即， 当为奇数时，设（），则，此时， 当为偶数时，设（），则，此时 ， 所以点落在区域 内的概率； （3）将 、 代入事件 的条件： 对 ：（因 为整数，等价于 ）， 对 ：， 进一步分析第 10 步的两种可能： 若第 10 步选方式①：则 ，但 时要求 ，矛盾，此情况不可能发生， 若第 10 步选方式②：则 ，满足 ，此为唯一可能情况 因此，事件 等价于：前 9 次移动中恰好有 4 次方式②，且对所有 ，前 次移动中方式②的次数 ，第 10 次移动选方式② 定义 为：前 次移动中恰好有 次方式②，且满足所有 ， 的路径数, 递推规则 初始条件：（0 次移动，0 次方式②，1 种路径）, 递推公式： 表示第次选方式①，表示第次选方式②(时后者是0)， 逐行计算过程 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 4 1 3 2 0 0 0 5 1 4 5 0 0 0 6 1 5 9 5 0 0 7 1 6 14 14 0 0 8 1 7 20 28 14 0 9 1 8 27 48 42 0 结果计算 满足前 9 步条件的路径数：， 第 10 步选方式②的概率：, 总路径数：, 因此事件 的概率：. 变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期末）在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 (1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； (2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）答案见解析 【分析】（1）根据对称性写出点的坐标； （2）记分别表示秒后点移动到的概率， （i）由全概率公式，有：，即可得证； （ii）结合全概率公式，可得，进而，又，结合可求解. 【详解】（1）点所有可能经过的点有： ； （2）记分别表示秒后点移动到相应点的概率， 即对应对应对应对应， 对应对应对应对应 则 （i）由全概率公式，有： ， 故，即，证毕； （ii）由（2）同理可得：，故结合全概率公式，有： ， 一方面，（1）+（3），（2）+（4），有：， 即：， 又，故， 即当为奇数时，， 另一方面，（1）-（3），（2）-（4），有：， 故， 又， 故当为偶数时，， 此时，， 综上所述：. 变式2．（2026·广东深圳·二模）一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． (1)求； (2)求； (3)求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据事件的概率公式计算得到结果； （2）解法1，先根据题意分析得到，结合期望公式和错位相减法计算得到结果；解法2，根据期望的性质计算得到答案； （3）根据期望的性质公式计算得到结果； 【详解】（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域， 微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域． （2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则 不妨设， 于是 则 化简可得，， 由题意可知， ，所以； 解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域， 有的概率经过区域回到区域， 于是， 解得， ； （3）解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达）， 当时，于是：， 即， 化简有，又由，有 ， 即， 又由，于是． 解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，， 微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则， 由（2）知 于是 又由，于是． 解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为： ， 当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中， 在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为， 且最后2步移动以的概率回到． 于是，则 不妨记 于是 则， 又由，于是， 则． 又由时也符合上式，于是对于均有． 说明：视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达，有1次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次． 变式3．（24-25高二下·山东枣庄·期末）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. (1)求质点移动6次后位于的概率； (2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为0； (3)（i）；（ii） 【分析】（1）移动6次到，只能3次向右，3次向上，由此由独立重复试验概率公式计算； （2）根据第2秒末粒子的可能位置进行列举，确定随机变量的可能值，由古典概型概率公式计算概率得其分布列，再由期望公式计算出期望； （3）（i）根据第1秒末粒子的所有可能位置，易得第2秒末回到原点的概率，根据粒子在第4秒末回到原点，可分两种情况考虑，即按照四个不同方向的排列或按照两个相反方向的排列，利用互斥事件的概率加法公式计算即得；（ii）因第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步，由此求出，利用组合式公式和题设公式化简即得. 【详解】（1）质点移动6次后位于，6次移动中只能有3次向右，3次向上，因此概率为 （2）因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为， 对应的概率分别为：，，， 故的分布列为： 0 1 期望为； （3）（i）因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故； 对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.故； （ii）第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步， 故 ， 因，故. 考点二 概率中的新定义问题 例1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）云计算技术已成为全世界各国战略发展的核心技术与关键基础，2026年我国《政府工作报告》首次明确提出“支持公共云发展”，并将其纳入“打造智能经济新形态”的核心部署.在某个云计算数据中心，某时刻同时接到不同的三个数据任务甲、乙、丙，系统需将三个任务随机分配到四个计算节点A，B，C，D上执行.假设每个任务仅被分配到其中一个计算节点执行，且每个计算节点可以同时执行多个任务，假设不同任务的分配相互独立. (1)记节点A分配到的任务个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)对于两个不相互独立的事件M，N，，．若，称事件M与事件N正相关；若，称事件M与事件N负相关. 定义为事件M与事件N的相关系数． （ⅰ）若，求证：事件M与事件N正相关； （ⅱ）若事件M为“节点A恰好分配到一个任务”，事件N为“任务甲分配到节点A”．求，并判断事件M与事件N的相关情况． 【答案】(1) 0 1 2 3      期望为 (2)（i）证明：由， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 因为，可得，根据定义，可得事件和正相关. （ii）；事件与正相关 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能的取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）（i）由，得到，结合，得到，根据定义，即可证得事件和正相关； （ii）由（1）求得，且，， ，结合公式，求得，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意得，将甲乙丙三人随机分配到四个计算节点上执行， 共有种不同的分配方法， 随机变量的可能的取值为， 可得， ， 所以变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. （2）解：（i）略 （ii）由（1）知：，则， 因为事件为“节点恰好分配到一个任务”，事件为“任务甲分配到节点”， 则，，且， 所以， 因为，所以事件与正相关. 例2．（2026·安徽合肥·二模）为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． (1)若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； (2)若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； (3)在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析，. 【分析】（1）先求出至少发生2次信号误差的概率和恰好发生2次信号误差的概率，再根据条件概率公式计算； （2）分别计算出某时段内被激活的干扰源为3个的概率、连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个的概率，然后根据独立事件概率的计算方法求出测试3个时段后停止测试的概率； （3）由的分布列可求得，进而可确定随机变量的取值及概率，列出分布列，即可求得期望. 【详解】（1）记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件， “该时段至少发生了2次信号误差”为事件， 由题知，，， ，    ， ，    故所求概率为． （2）每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为， 3个全被激活的概率为．    连续测试3个时段后停止测试有2种情况： ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为，    ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个， 第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个， 概率为，    故所求概率为． （3）因为的分布列为， ，，，的所有可能取值为2，4，8. 所以，所以，    所以，，， 的所有可能取值为4，6，8，10，12，16．    ， ， ， ， ， ，    所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以． 例3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) (1)若，计算的值； (2)若，求； (3)证明：对任意奇数n(n≥3)，． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出的表达式，再把代入即可； （2）法1：写出， ， ，，，，再求出即可判断； 法2：写出，再根据公式求出即可判断； （3）设，原不等式等价于，一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况，另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况证明即可. 【详解】（1），   ． （2）法1：由题意知：可以取，可以取，可以取， ， ， ， ．   可以取，可以取，可以取， ， ， ， ， ．    ， 解得．   法2．由题意， ，  ， ， 解得． （3）设原不等式等价于 ． 一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ； ， ．   下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ． 另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ≥ ； ； ．    下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ，证毕． 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，集合．对于中的任意两个不同的元素，，定义． (1)当时， （ⅰ）求的元素个数； （ⅱ）求随机变量的分布列及数学期望； (2)证明：． 【答案】(1)（ⅰ）8；（ⅱ）分布列见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）（i）用分步乘法计数原理计算集合M的元素个数； （ii）列出分布列计算即可； （2）列出式子，再比较大小即可. 【详解】（1）（ⅰ）对于元素的构成，，，均有0，1两种可能的取值，所以的元素个数为．   （ⅱ）的所有可能取值为1，2，3，则， ， ，   所以的分布列为 1 2 3 故． （2）由题意得，   所以，   所以，   故. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）在信息论中，熵（）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵．若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量所有取值为，则定义信息熵，，． (1)若，求随机变量的信息熵关于的解析式； (2)若，，求此时的信息熵； (3)设和是两个独立的随机变量，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据信息熵定义式，结合两事件概率和为，将熵表示为单一变量的函数，直接代入化简即可； （2）先由递推关系求出各事件的概率通项，再代入信息熵公式，通过错位相减法对含的项求和，最终化简得到熵的表达式； （3）利用独立时联合概率等于边缘概率乘积的性质，将联合熵的定义式展开，拆分为两个独立熵的和，完成证明． 【详解】（1）若，则，， 所以，； （2）当时，， ， 而， 所以 ， 令①，则②， ①②得， 化简得， 所以； （3）由题意， ，且，，， 所以 ． 变式3．（25-26高三下·安徽·阶段检测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． (1)求甲获得分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】(1) (2)的分布列为： ​ 数学期望为. (3) 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. （2）甲的总得分的可能取值为， ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜： ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜： ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. （3）由定义， 代入得 由基本不等式，当且仅当即时取等号. 因此 ，即的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $