期末复习：全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦全概率公式、贝叶斯公式及与数列综合问题，通过分层递进的例题与变式，系统构建概率计算与跨模块应用的推理体系，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全概率公式|3例+3变式|多步骤抽样、条件概率综合计算|从基础概念到复杂情境，构建“划分样本空间-计算分步概率-整合全概率”推理链| |贝叶斯公式|3例+3变式|已知结果反推原因的概率计算|基于全概率公式逆向思维，强化“先验概率-后验概率”逻辑转换| |全概率公式与数列综合|2例+2变式|概率递推关系与数列结合|融合概率稳定性分析与数列通项求解，体现知识横向联系与模型构建|

期末复习：全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题专项训练 期末复习：全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题专项训练 考点目录 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合问题 考点一 全概率公式 例1．（25-26高二下·山东济南·期中）甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是． (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率； (3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率． 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率． 例3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），某人先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球． (1)求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率； (2)求从乙箱中取出的两球都是红球的概率． 变式1．（25-26高二下·天津静海·期中）已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 变式2．（25-26高二下·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 变式3．（25-26高二下·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 考点二 贝叶斯公式 例1．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为. (1)现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (2)现从该校近视的学生中任意调查一名学生，求他玩手机超过1h的概率. 例3．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6． (1)求小张第二天去乙食堂的概率； (2)若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率． 变式1．（25-26高二下·广东云浮·期中）某足球队为评估队员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示 场上位置 边锋    前卫   中场   出场率     0.2     0.5     0.3   球队胜率     0.5 0.6     0.8 (1)当甲出场比赛时， 求球队赢球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由. 变式2．（25-26高二下·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 变式3．（25-26高二下·湖北·期中）某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 考点三 全概率公式与数列综合问题 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 例2．（25-26高二下·山东淄博·期中）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设n次传球后球在甲手中的概率为． (1)求； (2)用表示，并证明为等比数列； (3)求n次传球后球在甲手中的概率． 变式1．（25-26高二下·广东揭阳·期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． (1)求的值： (2)求（用表示）． 变式2．（24-25高三上·四川内江·阶段检测）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题专项训练 期末复习：全概率公式、贝叶斯公式、全概率公式与数列综合问题专项训练 考点目录 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合问题 考点一 全概率公式 例1．（25-26高二下·山东济南·期中）甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是． (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率； (3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据从甲袋子中任取两球，取到的标号都是的概率列出方程，求解的值； （2）利用条件概率公式，分别计算和，进而求出； （3）根据第一次取球的标号情况进行分类讨论，分别计算不同情况下实验成功的概率，再根据全概率公式计算实验成功的总概率. 【详解】（1）由题意，甲袋子中球的总数为，从甲袋子中任取个球的总组合数为， 甲袋子中标号为的球有个，取到个球的组合数为， 又从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是，得， 整理得，解得或（舍去）． （2）设事件表示“从甲袋中任取两个球，至少有一个标号是1”，事件表示“从甲袋中任取两个球，两个标号都是1”. 因为，， 所以. （3）设事件表示“甲袋子中取出小球的标号小于”，事件表示“第二次取出的小球标号为”， 则，， 若第一次取出的小球标号小于，则在乙袋子中取球，乙袋子中球的总数为个， 其中标号为的球有个，所以， 若第一次取出的小球标号不小于，则在丙袋子中取球，丙袋子中球的总数为个， 其中标号为的球有个，所以， 所以. 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率． 【答案】（1）①;②. （2） 【分析】（1）①先使用古典概型计算公式计算出第一次取出红球概率，再使用条件概率计算公式计算在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率； ②第二次才取到红球，说明第一次取到白球，第二次才取到红球，再使用古典概型计算公式直接计算. （2）利用全概率公式计算产品为正品的概率. 【详解】（1）①设事件：第一次取出红球，事件：第二次取出红球,那么 ; ②设事件: 第二次才取到红球,那么 . （2）设事件:此产品为正品,事件,,分别代表产品由甲、乙、丙三个厂供应，那么 . 例3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），某人先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球． (1)求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率； (2)求从乙箱中取出的两球都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型的概率求法、组合数计算求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率； （2）应用全概率公式求概率即可. 【详解】（1）分别用事件表示从甲箱中取出的球是红球，事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 则从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率为； （2）由题意知，，且， 所以. 变式1．（25-26高二下·天津静海·期中）已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用组合计数问题及古典概型列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）从甲、乙两个盒内各任取2个球的试验有个基本事件，它们等可能， 取出的4个球中恰有1个红球的事件有个基本事件， 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率. （2）从甲盒内任取2个球的试验含有的基本事件个数， 至少取出一个红球的事件为，两球颜色均为黑色相同的事件为， 则，因此， 所以在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率. （3）令从甲盒内任取2个球中红球为的事件分别为，从乙盒中任取一球为红球的事件为， 则， ， 因此， 所以取出的球为红球的概率为. 变式2．（25-26高二下·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件，“从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）记“从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品”为事件， 则. 故从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品的概率为. （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件， “从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件， 则两两互斥，且， 则，，， 所以. 故取出的这件产品是正品的概率为. 变式3．（25-26高二下·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】(1)3； (2)； (3). 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 考点二 贝叶斯公式 例1．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 【答案】(1) (2)编号为2的工厂 【详解】（1）事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（）， 显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，， ，，． 由全概率公式得 ． （2）由贝叶斯公式得 ， ， ． 所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大． 例2．（25-26高二下·广东深圳·期中）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为. (1)现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (2)现从该校近视的学生中任意调查一名学生，求他玩手机超过1h的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设表示学校学生近视的学生，表示每天玩手机超过1h的学生，应用全概率公式列方程求即可； （2）应用条件概率乘法公式求对应条件概率即可. 【详解】（1）设表示学校学生近视的学生，表示每天玩手机超过1h的学生， 所以，，， 由题意，，即， 所以. （2）由题意及（1）知； 例3．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6． (1)求小张第二天去乙食堂的概率； (2)若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件和条件概率性质求，再用全概率公式计算. （2）利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件“第i天去甲食堂”， “第i天去乙食堂”，， 由题意得， ， 所以． 由全概率公式得小张第二天去乙食堂的概率为： ． （2）由（1）可知，若小张第二天去了乙食堂， 则他第一天去甲食堂概率为. 变式1．（25-26高二下·广东云浮·期中）某足球队为评估队员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示 场上位置 边锋    前卫   中场   出场率     0.2     0.5     0.3   球队胜率     0.5 0.6     0.8 (1)当甲出场比赛时， 求球队赢球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由. 【答案】(1)0.64 (2) (3)应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率，理由见解析； 【分析】（1）由全概率公式直接求解即可； （2）由条件概率计算公式可得； （3）比较三个位置上的赢球概率，作出判断即可； 【详解】（1）解：设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 球队某场比赛赢球的概率为0.64. （2）解：由（1）知， ， 球员甲担当前卫的概率. （3）解：要安排甲在球场上的位置，需要考虑甲出场且能带来获胜的情况下，在边锋，前卫，中场三个位置的获胜概率， 所以，同（2）， ， 由于， 应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率. 变式2．（25-26高二下·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 变式3．（25-26高二下·湖北·期中）某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. （2） ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 考点三 全概率公式与数列综合问题 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析② 【分析】(1)由全概率公式：求解； (2) ①由全概率公式得的递推式，从而转化为等比数列问题；②通过求出的最小值，求得m的取值范围. 【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ， 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 例2．（25-26高二下·山东淄博·期中）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设n次传球后球在甲手中的概率为． (1)求； (2)用表示，并证明为等比数列； (3)求n次传球后球在甲手中的概率． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据全概率公式计算即可. （2）根据全概率公式用表示，再根据等比数列的定义进行证明. （3）根据（2）中的结果，根据等比数列通项求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，则第一次传球后球一定不在甲手中，所以， 第二次传球后，球在甲手中，可能为甲乙甲，甲丙甲，甲丁甲，所以； （2）记＝“经过n次传球后，球在甲手中”，n＝1，2，3，…， 由 ，即， ∴，∴是首项为，公比为的等比数列， （3），∴． 变式1．（25-26高二下·广东揭阳·期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． (1)求的值： (2)求（用表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，结合全概率公式可得，进而构造等比数列求解即可. 【详解】（1）因为，， ， 所以由全概率公式得： ． （2）设，依题意可知：，则 ， 即， 构造等比数列，设，解得， 则， 又，，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，． 所以 变式2．（24-25高三上·四川内江·阶段检测）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即得； （3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得. 【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为； （2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． （3）设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以.. 2 学科网（北京）股份有限公司 $