期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面与面面平行的判定及性质，以分层例题构建从基础证明到综合应用的递进训练，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行的判定|例3+变式3|以四棱锥、正棱柱为载体，证明线面平行，结合体积计算|从线线平行推导线面平行，体现判定定理的应用逻辑| |面面平行的判定|例3+变式3|通过梯形、平行四边形等背景证明面面平行，含存在性探究|由线面平行递进至面面平行，构建平行关系判定体系| |线面平行的性质|例3+变式3|利用性质证线线平行，涉及交线问题及体积计算|性质定理与判定定理的逆向应用，强化逻辑推理| |面面平行的性质|例3+变式3|证明四点共面、线面平行，结合异面直线成角|从面面平行推导线线平行，完善平行关系性质应用|

期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的判定 例1.(25-26高一下·江苏南京·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别是AB,PC的中点，且底面ABCD是菱 形 D E (I)求证：EF1/平面PAD: (2)若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,求直线EF与平面ABCD的夹角， 例2.(25-26高一下·福建福州月考)如图所示，ABCD-A,B,C,D,是正四棱柱（即底面为正方形的长方体），侧棱长 为1，底面边长为2，E是棱BC的中点. D B (1)求三棱锥D,-DBC的体积 (2)求证：BDI平面C,DE; 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 例3.(25-26高一下广东东莞期中)如图，正三棱柱ABC-A,B,C中，AA=√2AC,E是AC的中点， B B C (1)求证：AB,I平面BEC: (2)求直线BC和平面ACC,A,所成的角. 变式1.(25-26高一下·云南昆明期中)如图，已知在三棱柱ABC-A,B,C,中，AA⊥平面ABC,点D是BC的中点. A C D (1)求证：A,C/1平面ADB,; (2)若AB=AC=5,BC=8,AA=2,求三棱锥C1-ADB,的体积 2 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 变式2.(2526高一下·河北邢台·期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,PD的中点， H是棱PA上的动点 D G D A E C (I)若H为PA的中点，证明：HG/平面PBC. ②若PH=P1,证明：直线EF与G相交于一点 变式3.(25-26高一下·云南昆明期中)如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,PA⊥AD,BC/1AD,AB⊥AD, PA=AB=V5,AD=3,BC=2,AD=3AE,F为PC的中点. B (I)求证：EF//平面PAB; (2)若P,B,C,D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面ABCD上. 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 考点二 面面平行的判定 例1.(24-25高一下·河北雄安阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD, AD=3BC,E、F分别是棱PD、AD上的点，且DF=2BC,DE=2PE. D B (I)证明：平面PAB∥平面CEF; 的值 ②)记多面体PABCEF的体积为K,三棱锥E-CDF的体积为，求 例2.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中)如图所示，己知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分 别为AB,PC,PA的中点，平面PBC∩平面APD=I. D D M B (1)判断直线1与BC的位置关系并证明； (2)求证：MN∥平面PAD; (3)在棱CD上是否存在点H,使得平面KMH∥平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说 明理由 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 例3.(2526高一下·浙江衢州月考)如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形， 且平面ADEF⊥平面ABCD,AB/ICD,AB⊥AD,AD=CD=2AB=2. C (1)证明：平面ABF∥平面CDE; (2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE; (3)当DE=2时，求二面角B-CF-E的正弦值. 变式1.(25-26高一下·福建龙岩月考)如图1，设半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P,M,N分别是OA, OB,OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. M 图1 图2 (I)求证：平面PMN∥平面ABC (2)求四面体ACMN的体积 ③)若D是4N的中点，在线段OB上是否存在一点E,使得DE∥平面4BC?若存在，求OE的值，并证明你的结论， EB 若不存在，说明理由 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 变式2.(25-26高一下·河北邯郸月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC/1AD,AB⊥BC, 2AB=2BC=AD=2,设E,F,O分别为PD,PA,AD的中点， (1)证明：CEI/平面PAB: (2)证明：平面BOF/1平面CDE. 变式3.(25-26高一下-浙江宁波月考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，BC-2D,E在棱 PD上且PE=2ED P C (I)求证：BC∥平面PAD; 2线段D上是否存在点，便得平面CEN/平面PAB?若存在，写出心的值，若不存在，请说明理 6 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 考点三 线面平行的性质 例1.(25-26高一下·海南阶段检测)正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，E为棱DD的中点. D' E D B (I)求证：BD'/平面ACE (2)设平面ACE∩平面A'BCD'=I,求证：BD'/l; (3)求三棱锥D'-ACE的体积. 例2.(25-26高一下·河北保定阶段检测)如图，在空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G 分别是BC,CD上的点，且CF-CG-2 1cB=CD=3· B (1)记平面AFGO平面ABD=I,证明：1I/EH: (2)证明：三条直线EF,GH,AC交于一点. 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 例3.(25-26高一下·河北唐山阶段检测)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，E,F分别是CC1,AD上 的点，且CE=1,A,F=2,G是线段EF上的动点（含端点). D C B G ‘D A B (1)判断三棱锥G-A,BD的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥G-A,BD体积的最小值. ②当cG∥平面48D时，求瓷的值。 变式1.(25-26高一下·浙江杭州·月考)四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形，E是PD中点，平面EAB与 PC交于F. B (I)求证：CD∥平面EAB. (2)求证：F是PC中点. 8 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 变式2.(24-25高一下·江苏镇江·期末)如图所示，平面a∩平面B=1,平面a∩平面Y=a,平面B∩平面y=b, 点Pe平面？，且PA⊥平面Q,PB⊥平面B. P B B. 1 A a (1)证明：直线1⊥直线AB; (②)若直线l川直线a,证明：直线a∥直线b. 变式3.(25-26高一下·江苏徐州月考)如图，正方体ABCD-A,BC,D,中，N,E,F分别是A,D,B,C,CD,的中点. D N E 6 D B (1)求证：E,F,B,D四点共面： (2)设平面BNF与平面ABCD交于直线I,求证：NF/I. 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 考点四 面面平行的性质 例1.(25-26高一下·吉林长春·期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E、F、G分别是DD,、CD、BB,的 中点 D B A .P D B (I)证明：A,B,E、F四点共面 (2)若P是线段CG上的动点，证明：PD,II平面A,BFE. 例2.(25-26高一下·广西百色·期中)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,=2,D为棱BC的中点 A C D B (①)证明：AB∥平面ADC; (2)求异面直线A,B与AD所成角的余弦值； (3)求三棱锥C-AAB的体积. 9 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 例3.(24-25高一下·浙江杭州期中)如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D,E,F满足PD=DA, BE PF BP PC =元，线段BC上的点G满足AGII平面DEF,点Q在PC上，AQIIDF. (I)求证：平面AQG//平面DEF; (2)求证：QG/1EF; (3)若GC=2BG,求1的值 变式1.(24-25高一下山西晋城期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点G,E,F,P分别为棱 AB,D,C,B,C,AA的中点，点M是棱AD上的一点，且D,M=3A,M. D E M A 6 D (1)求证：D,B,F,E四点共面： (2)求证：DGM平面DBFE; (3)已知点N是棱AB,上的一点，且平面PMN∥平面DBFE,求 AN 的值 AB 11 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 变式2.(25-26高一下·河南南阳月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， BLA0,BCIIAD,M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，PA=AB=BC=)AD3 D D B (I)求证：AE/平面BMW; (2)求三棱锥D-BMN的体积. 变式3.(25-26高一下·天津北辰·月考)如图，在四棱锥0-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为 BC的中点. O M D A B (1)求证：直线MN∥平面OCD; (2)过点C,D,M的平面与棱OB交于点Q,求证：Q是OB的中点期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 期末复习：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的判定 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 例2．（25-26高一下·福建福州·月考）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解， （2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【详解】（1）∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； （2）连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面.    例3．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 变式1．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2），是的中点， ， 在三棱柱中，底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 变式2．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，是棱上的动点. (1)若为的中点，证明：平面. (2)若，证明：直线与相交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线可得，结合线面平行的判定定理即可得到证明； （2）连接，，使，，延长，交于点，利用两个平面相交线的性质证明即可. 【详解】（1）因为为的中点，为的中点，所以. 又四棱锥为正四棱锥，所以底面为正方形，则， 从而. 因为平面，平面，所以平面. （2）连接，，使，，则. 延长，交于点，则，得. 取的中点，连接，则. 延长并与的延长线交于点， 则. 因为，所以， 则， 则，则，重合， 故直线与相交于一点. 变式3．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理及球面的定义确定球心位置即可得证. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点， 得，由，得，则， 而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得，则， 由，得，而， 则，，，又，则， 而在同一个球面上，且，因此点为球心， 所以球心在平面上. 考点二 面面平行的判定 例1．（24-25高一下·河北雄安·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，. (1)证明：平面平面； (2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，平面，结合面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）设四棱锥的底面积为，高为，求出四棱锥的体积，以及三棱锥的体积，可得多面体的体积，即可得出的值. 【详解】（1）因为且，所以， 因为，所以，故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面; （2）设四棱锥的底面积为，高为，则四棱锥的体积为， 由（1）可知，则点到平面的距离为，， 从而三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为，故. 例2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)H为中点时，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用线线平行可证平面， 平面，进而由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面.    例3．（25-26高一下·浙江衢州·月考）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面平面ABCD，，，． (1)证明：平面平面； (2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE； (3)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形性质可得线线平行，根据线面平行的判定以及面面平行判定，可得答案； （2）由异面直线的夹角的定义，确定其平面角，根据正切函数的差角公式、余弦定理以及空间向量的夹角计算，结合图象，可得答案； （3）根据二面角的平面角定义，可得线面角，根据等体积法求得点面距，由锐角三角函数，可得答案. 【详解】（1）由为矩形可得：， 因为平面，平面，所以平面， 又，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面. （2） 如图，取中点，连接，由且，则四边形为平行四边形， 则， 所以即为异面直线与所成角的平面角；设， 法一：（正切和差公式） 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，因为平面，所以， ，当且仅当时取等． 法二：（余弦定理） ，当且仅当时取等． （3）过点作， 易知平面与平面所成角为直线与平面所成角，设为， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，由，则， 由，，， 则中边上的高为， 设点到面的距离为， 由，， 即，故． 变式1．（25-26高一下·福建龙岩·月考）如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. (1)求证：平面平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，，证明见解析 【分析】（1）易证平面ABC，平面ABC，再利用面面平行的判定定理证明； （2）由求解； （3）取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，得到，，取CB的四等分点G，使，得到，，从而四边形DFGE是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， 所以平面平面ABC. （2）如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. （3）如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 变式2．（25-26高一下·河北邯郸·月考）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由图形的几何关系证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）结合（1）再利用线面平行的判定定理证明平面，然后由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·月考）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 考点三 线面平行的性质 例1．（25-26高一下·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. (2) 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. (3) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证. （3）利用等体积法求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 例2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 【答案】(1)证明：在和中， 因为，分别是和的中点，所以，． 又因为，所以，．所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． (2)证明：由（1）得，，，所以四边形为梯形． 所以梯形的两腰和相交于一点，设交点为． 因为点，平面，所以点平面，同理点平面． 又因为平面平面，所以点， 所以三条直线，，交于一点． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 【答案】(1)不是，体积的最小值为 (2) 【分析】（1）借助反证法，假设三棱锥的体积是定值，则有平面，借助线面平行性质及面面平行判定定理及性质定理可得，又因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾，即可得三棱锥的体积不为定值；在线段的所有点中，到平面的距离最小，则可借助等面积法求出三棱锥体积即可得三棱锥体积的最小值； （2）借助线面平行判定定理及其性质定理，可得当线段平面时，满足平面，则可借助等体积法计算，到平面的距离，，即可得的值. 【详解】（1）三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 因为平面，所以平面， 如图，过点作交于点，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 取的中点，连接，则为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值； 由图知，线段在平面的同侧， 且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 则， 所以三棱锥体积的最小值为； （2）如图，连接，，． 由正方体的对角面是矩形，得． 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 当线段平面时，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则， 因为是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以． 变式1．（25-26高一下·浙江杭州·月考）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【详解】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 变式2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图所示，平面平面，平面平面，平面平面，点平面，且平面，平面． (1)证明：直线直线； (2)若直线直线，证明：直线直线． 【答案】(1)证明见解 (2)证明见解 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定即可证明； （2）由线面平行的判定及性质即可证明． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 同理可得，又平面， 所以平面，又平面，所以直线直线． （2）证明：因为直线直线，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以直线直线． 变式3．（25-26高一下·江苏徐州·月考）如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 故四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 考点四 面面平行的性质 例1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，得到，即可证明四点共面. （2）取中点，连接，，根据面面平行的判定定理得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 例2．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面； （2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 例3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 变式1．（24-25高一下·山西晋城·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【详解】（1）连接，因为点分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以四点共面； （2）连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 变式2．（25-26高一下·河南南阳·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，． (1)求证：平面BMN； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立. （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）在四棱锥中，连接、、， 由、分别为、的中点，得，， 而，则，四边形是平行四边形， 于是，又平面，平面，则平面， 由、分别为、的中点，得，而平面，平面， 因此平面，又，、平面， 则平面平面，又平面，所以平面. （2）令，由，得，则， 即，于是，由（1）知，平面， 则，由为的中点，得点到平面的距离为点到平面距离的， 则，， 由平面，平面，得， 由，，得，而，平面， 因此平面，即为三棱锥的高， 则，所以. 变式3．（25-26高一下·天津北辰·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，平面，即可得到平面平面，从而得证； （2）首先证明平面，根据线面平行的性质得到，即，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，， 因为底面是菱形，即，所以， 又平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面； （2）因为过点，，的平面与棱交于点， 又，平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以，所以， 所以为的中点，即与中点重合，所以是的中点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $