期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间距离三大核心模块，以递进逻辑构建从点到线到面的距离求解体系，通过典型几何体承载转化思想，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到平面距离|3例+3变式|结合菱形、长方体等几何体，涉及体积法与线面角综合|以点到平面距离为基础，通过等体积转换实现距离求解| |直线到平面距离|2例+2变式|需先证线面平行，转化为直线上点到平面距离|基于线面平行性质，将线面距离转化为点面距离| |平面到平面距离|2例+2变式|需先证面面平行，转化为平面上点到另一平面距离|以面面平行为前提，通过点面距离实现面面距离求解|

期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 考点目录 点到平面距离 直线到平面距离 平面到平面距离 考点一 点到平面距离 例1．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. （3）解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 例2．（25-26高一下·浙江·阶段检测）如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算； （2）由得，计算和面积；利用等体积法，以 体积为媒介，求出点到平面的距离. 【详解】（1）， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． （2）记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 例3．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. (1)求证:. (2)若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据线面平行的判定与性质推导平面平面，可得，结合为直角三角形推出平面，可知垂直平分，即可证得. （2）①由面面垂直的判定定理得平面平面，过作可得平面，结合，可知即为与平面所成角，结合已知边长计算即可得所求正弦值. ②利用线面角的几何意义，点到平面的距离等于线段的长度乘以与平面所成角的正弦值，代入数据计算即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接. ，分别为的中点，. 又平面，平面， 平面. 平面，，平面， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 在中，，，， ，， ，又，， 平面，又平面，. 又∵是中点，∴垂直平分, ∴. （2）由（1）可知，平面，平面，平面平面. 如图，过点作，为垂足，则平面， 为与平面所成的角. 在等边中，， 在中，由，可得， ， 又，与平面所成角的大小为，即正弦值为. ②设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 则由①可知， ∴. 变式1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，在长方体中，是棱的中点，， (1)求与AC所成角的余弦值； (2)求M到平面距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等角定理与余弦定理计算即可得； （2）借助余弦定理可求出，则可得，再利用等体积法可求出点到平面的距离，即可得M到平面距离. 【详解】（1）连接，由长方体性质可得， 所以等于异面直线与所成角， 在三角形中，， ， 则， 则与所成角的余弦值为； （2）设点到平面的距离为， ，， 则， 则， 则， 由，故，解出， 则点到平面的距离为，又为的中点， 则点到平面的距离为点到平面的距离的一半， 所以点到平面的距离为. 变式2．（25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方体的棱长为．截面将正方体分成两部分，其体积分别为，且． (1)求以及； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是三棱锥， 其中底面是腰长为的等腰直角三角形，其面积． 三棱锥的高为．所以其体积. 又正方体的体积，所以. 所以． （2）三棱锥与三棱锥是同一个几何体． 在中，，其面积． 因为，即，所以， 解得，即点到平面的距离为． 变式3．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案． 【详解】（1）连接，因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面； （2）因为，， ，可得是等边三角形， 所以， ， 设点A到平面的距离为， 由得，， 解得，所以点A到平面的距离为.    考点二 直线到平面距离 例1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点为棱的中点，，连接． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接底面菱形的对角线交点与点，利用菱形对角线互相平分得到为中点，结合为中点，在三角形中构造中位线，证明，再根据线面平行的判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线）即可得证； （2）由底面得；由菱形性质得对角线；利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （3）利用第（1）问已证的平面，将直线到平面的距离转化为直线上任一点（常取）到该平面的距离；通过几何关系或余弦定理求三角形各边长度，利用海伦公式或底高法求出其面积；再以三棱锥为桥梁，分别用两种方式（以为底、一半为高；以为底、到面距离为高）表达体积，建立等式解出距离. 【详解】（1）连接交于点，再连接，因为底面为菱形， 所以，又因为点为棱的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面； （2）因为平面平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 又因为平面， 所以平面； （3）因为平面 所以直线到平面的距离为到面距离 由题可求出，，， 设点到平面距离为， ， 又因为所以 例2．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，，求： (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）方法1，利用点到平面距离的向量求法求解；方法2，找出点C到平面的距离求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以点C到平面即直线CD到平面的距离. 方法1：以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量. 所以点C到平面的距离. 方法2：连接交于点，则， 因为平面 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以是点C到平面的距离， 因为，所以，即直线CD到平面的距离为. 变式1．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）取PA的中点，证明，再由线面平行的判定即可证得平面. （2）由（1）所得结论，利用线面平行的性质可得，由题意可知平面，从而，利用中点结合平面几何知识可求，进而求得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接，由题意为与平面所成角.由平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 由得，即得直线到平面的距离的最小值. 【详解】（1）设点为的中点，连接. 因为为中点，所以，且 根据题意可知，且. 从而可得，且. 即可得四边形为平行四边形. 即可得平面平面. 所以平面； （2）由第（1）问可知平面平面，平面平面. 所以，因为交面于，所以直线与直线重合，即可得. 在中，点是的中点，所以. 由第（1）问可知. 又点到平面的距离为，且，所以平面， 而平面，所以. 在中，，根据勾股定理可得. 从而可得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由题意可得.在中，，所以. 从而可得.点到平面的距离为. 所以，从而可得的最小值为1，即点到平面的距离的最小值为1. 由第（1）问可知平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 故直线到平面的距离的最小值为1. 变式2．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析，直线到平面的距离为 【分析】（1）根据线面角的知识求得直线与平面所成的角. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点到面的距离的定义求得直线到平面的距离. 【详解】（1）连接， 由于平面，所以是直线与平面所成的角， 由于平面，所以， 因为，所以， 又为的中点，所以， 所以， 所以直线与平面所成的角的正切值为. （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 由于平面， 所以平面，而是的中点，所以平面， 直线到平面的距离，等于到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 考点三 平面到平面距离 例1．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    例2．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 变式1．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF. (1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面与平面的距离. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据平面与平面平行的性质可得经过，可得截面； （2）转化为点线距，利用等体积法可求结果. 【详解】（1）连接，由正方体性质可得，； 又，所以平面平面； 因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面. （2）由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离； 设点到平面的距离为，由题意可得，所以的面积为；的面积为； 由可得，解得. 所以平面与平面的距离为. 变式2．（25-26高一下·天津河北·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理证得，证明平面，根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，连接，可得为的中点，证明，四边形是平行四边形，可得，再根据面面平行的判定定理即可得证； （3）设，由（1）（2）可得即为平面与平面的距离，求出的长度，即可得解. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中， 为的中点，，， 故， 因为， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因，， 所以平面， 又平面，所以， 又， 所以平面； （2）证明：取的中点，连接， 则为的中点， 因为，，分别为，，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因，平面，平面， 所以平面平面； （3）设， 因为平面，平面平面，所以平面， 所以即为平面与平面的距离， 因为平面，所以， ， 所以， 即平面与平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 考点目录 点到平面距离 直线到平面距离 平面到平面距离 考点一 点到平面距离 例1.(25-26高一下·吉林延边·期中)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上 的射影是AC与BD的交点O,△PDB是等边三角形. -- A B (I)求证：AC⊥平面PBD; (2)求直线PC与平面ABCD所成角的大小： (3)求点D到平面PBC的距离. 例2.(2526高一下·浙江阶段检测)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=2,AA=3,E为线段AA上 的动点， D A B E D C (1)求三棱锥E-BCC,的体积； (2)若AE=2EA,求点C到平面ECB的距离. 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 例3.(25-26高一下·安徽阜阳阶段检测)在如图所示的三棱锥P-ABC中，PM为高，N为PC的中点，MW∥平 PAB AB=3,BC=4,AC=5. (1)求证：PB=PC. (2)若PB=BC,PM=√5， ①求AB与平面PBC所成角的正弦值； ②求点A到平面PBC的距离. 变式1.(25-26高一下·湖南邵阳·期中)如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，M是棱CD的中点， AD=AA =1,AB=2, D M C A D B (1)求A,D与AC所成角的余弦值； (2)求M到平面CBD,距离， 2 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 变式2.(25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测)如图，正方体ABCD-A,B,CD的棱长为a.截面A,DB将正方体分成 两部分，其体积分别为'，'2，且'2>. D B D以 C B (I)求'，'，以及y:'2; (2)求点A到平面A,BD的距离d, 变式3.(25-26高一下·湖北武汉阶段检测)如图，在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD为正方形，E为棱 AA的中点，P为棱DD的中点，AB=2,AA=4. A D B C E D B-- C (1)证明：平面PAC∥平面EBD. (2)求点A到平面BDE的距离. 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 考点二 直线到平面距离 例1.(25-26高二上广东肇庆·期中)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，点E为 棱PD的中点，PA=AB=2,∠ABC=60°，连接EA、EC、AC. B (1)求证：PB1/平面EAC; (2)求证：BD1平面PAC; (3)求直线PB到平面EAC的距离. 例2.(24-25高二上·上海期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=3,求： D A B B (1)证明：CD11平面ABC,D: (2)求直线CD到平面ABC,D,的距离. 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 变式1.(24-25高一下·广东河源期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AD∥ BC,AB=BC=L,AD=2,点E是PD的中点.点P到平面ABCD的距离为V5 D B C (1)证明：CE∥平面PAB; (2)若PA=√3，平面PABA平面PCD=1,且I交面ABCD于F,求PF; (③)若PC与平面P4B所成角为后，求直线CE到平面PAB的距离的最小笔 变式2.(2526高二上·上海宝山阶段检测)己知PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=3,AC=4,M为BC中点， 过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC,PC于点E,F. A M B (I)求直线PM与平面ABC所成的角的正切值： (②)证明：平面MEF∥平面PAB,并求直线ME到平面PAB的距离. 5 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 考点三 平面到平面距离 例1.(25-26高一下·河南郑州·阶段检测)如图所示，正六棱柱ABCDEF-AB,CD,EF的底面边长为1，高为√. B B (I)证明：平面ADE/平面ABC; (2)求平面ADF与平面ABC间的距离. 例2.(25-26高一下广东揭阳阶段检测)如图在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC=90°，BC=2,CC,=4,E是 BB,上的一点，且EB,=1,D、F、G分别是CC、B,C、AC的中点，EF与B,D相交于H. A G C 、B ⊙ (1I)求证：B,D⊥平面ABD; (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 6 期末培优：点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离专项训练 变式1.(25-26高一下·福建厦门阶段检测)如图，棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别是棱AA1, CC,的中点，过E作平面a,使得oa∥平面BDF D1 C B E D I A B (I)作出a截正方体ABCD-AB,CD,所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面a与平面BDF的距离， 变式2.(25-26高一下·天津河北阶段检测)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC=90°，D,F,G分别为 CC,BC,AC的中点，点E在棱BB上，且BC=2,CC,=4,EB=1. A 、G B C (1I)求证：B,D⊥平面ABD; (2)求证：平面EFG令平面ABD; (3)求平面EFG与平面ABD的距离.