期末复习：事件的关系与运算、有放回与无放回的概率问题、概率的加法公式与古典概型综合专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦概率核心模块，以事件关系为基础，抽样方式为关键，综合应用为提升，形成分层递进的知识逻辑链，覆盖选择、填空、解答等多元题型，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件的关系与运算|6例+6变式|单选/多选/填空，考查事件表示、互斥与对立判断|从事件概念生成到关系判断，构建概率基础逻辑| |有放回与无放回的概率问题|3例+3变式|解答题为主，含参数求解与抽样方式对比|通过两种抽样方式差异，深化古典概型样本空间理解| |概率的加法公式与古典概型综合|4例+4变式|选择/填空/解答，结合频率估计与综合事件概率|前两模块知识融合，培养数学语言表达与模型应用能力|

期末复习：事件的关系与运算、有放回与无放回的概率问题、概率的加法公式与古典概型综合专项训练 期末复习：事件的关系与运算、有放回与无放回的概率问题、概率的加法公式与古典概型综合 专项训练 考点目录 事件的关系与运算 有放回与无放回的概率问题 概率的加法公式与古典概型综合 考点一 事件的关系与运算 例1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江西赣州·月考）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东中山·期末·月考·多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 例4．（25-26高二上·四川德阳·期中·月考·多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（    ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 例5．（25-26高一下·福建厦门·月考）向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 例6．（25-26高一下·广东惠州·月考）从某班任选一名学生，设事件{选出的学生是男生}，{选出的学生来自第三小组}，{选出的学生不戴眼镜}，则事件的含义是__． 变式1．（25-26高一下·湖南株洲·月考）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 变式2．（25-26高一下·安徽淮北·月考）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 变式3．（25-26高一下·青海海东·月考·月考·多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 变式4．（25-26高一下·江西南昌·月考·月考·多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式5．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 变式6．（25-26高一下·北京石景山·月考）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是______． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 考点二 有放回与无放回的概率问题 例1．（25-26高一下·上海·月考）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 例2．（25-26高二上·广东茂名·期中）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 例3．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 变式1．（25-26高一下·广东东莞·月考）口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 变式2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 变式3．（24-25高二上·北京顺义·期中）从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 考点三 概率的加法公式与古典概型综合 例1．（25-26高一下·河南焦作·月考）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·山东聊城·月考）一个盒子中装有大小和质地相同的2个红球和2个白球，从盒中不放回地依次随机取出2个球，则取出的2个球同色的概率是______． 例4．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）有三个同样的箱子，箱中有4个黑球1个白球，箱中有3个黑球3个白球，箱中有3个黑球5个白球.现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为___________. 变式1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·河南许昌·月考）袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 变式4．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：事件的关系与运算、有放回与无放回的概率问题、概率的加法公式与古典概型综合专项训练 期末复习：事件的关系与运算、有放回与无放回的概率问题、概率的加法公式与古典概型综合 专项训练 考点目录 事件的关系与运算 有放回与无放回的概率问题 概率的加法公式与古典概型综合 考点一 事件的关系与运算 例1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 例2．（25-26高一下·江西赣州·月考）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. 例3．（25-26高二上·广东中山·期末·月考·多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 例4．（25-26高二上·四川德阳·期中·月考·多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（    ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设事件“第一次射击中靶”，“第二次射击中靶”，“至少一次中靶” 则事件至少一次中靶包含：， 对于A，至多一次中靶包含，所以与事件不对立； 对于B，两次都中靶包含，所以与事件不对立； 对于C，只有一次中靶包含，所以与事件不对立；     对于D，两次都没有中靶包含，所以与事件对立. 故选：ABC. 例5．（25-26高一下·福建厦门·月考）向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 【答案】 【分析】根据和事件的关系定义判断即可. 【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”， 则. 故答案为：. 例6．（25-26高一下·广东惠州·月考）从某班任选一名学生，设事件{选出的学生是男生}，{选出的学生来自第三小组}，{选出的学生不戴眼镜}，则事件的含义是__． 【答案】选出的学生是来自第三小组戴眼镜的男生 【详解】选出的学生是来自第三小组戴眼镜的男生  因为{选出的学生戴眼镜}，所以事件{选出的学生是男生}{选出的学生来自第三小组}{选出的学生戴眼镜}，故其含义是选出的学生是来自第三小组戴眼镜的男生． 变式1．（25-26高一下·湖南株洲·月考）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 变式2．（25-26高一下·安徽淮北·月考）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 变式3．（25-26高一下·青海海东·月考·月考·多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 变式4．（25-26高一下·江西南昌·月考·月考·多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 变式5．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 变式6．（25-26高一下·北京石景山·月考）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是______． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 【答案】② 【分析】由互斥事件和对立事件的性质逐一判断即可； 【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在①中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故①错误， 在②中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故②正确， 在③中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故③错误， 在④中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，且概率和为1，是对立事件，故④错误． 故答案为：②． 考点二 有放回与无放回的概率问题 例1．（25-26高一下·上海·月考）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率； （2）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； （2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 例2．（25-26高二上·广东茂名·期中）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法，以及古典概率公式，即可求解； （2）首先求样本空间，再列举基本事件个数，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，共6个，     记取出的两球编号之和大于5的事件为，     则事件包含，，共2个等可能基本事件     所以；     所以取出的两球编号之和大于5的概率为. （2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共16个，     记的事件为，     则事件包含，，，，，，，，，共10个等可能基本事件，     所以，     所以事件“”发生的概率为. 例3．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 变式1．（25-26高一下·广东东莞·月考）口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出样本空间的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）列出样本空间的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）无放回地取球，任意摸出两个小球的样本空间为 ｛（红,白）,（红,黄）,（白,黄）｝，共3个， 所以摸出的是红球和白球的概率为． （2）有放回地取球，样本空间为 ｛（红,红）,（红,白）,（红,黄）,（白,白）,（白,红）,（白,黄）,（黄,红）,（黄,白）,（黄,黄）｝，共9个， 而事件“摸出一红一白”包括（红,白），（白,红）2个样本点， 所以两次摸出的球是一红一白的概率为． 变式2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 变式3．（24-25高二上·北京顺义·期中）从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过列举法，写出不放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； （2）通过列举法，写出有放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； 【详解】（1）从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为： ， 共20种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. （2）有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可能结果为： ，共25种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 考点三 概率的加法公式与古典概型综合 例1．（25-26高一下·河南焦作·月考）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解. 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 例2．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 例3．（25-26高一下·山东聊城·月考）一个盒子中装有大小和质地相同的2个红球和2个白球，从盒中不放回地依次随机取出2个球，则取出的2个球同色的概率是______． 【答案】 【分析】根据互斥事件概率的加法公式和古典概型概率公式可得结果. 【详解】取出的2个球都是红色的概率为， 取出的2个球都是白色的概率为， 所以取出的2个球同色的概率为. 故答案为：. 例4．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）有三个同样的箱子，箱中有4个黑球1个白球，箱中有3个黑球3个白球，箱中有3个黑球5个白球.现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为___________. 【答案】 【分析】由概率的加法公式计算 【详解】任取一箱取到箱的概率各为，在箱中取到白球的概率依次为 故 故答案为： 变式1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先确定基本事件总数，再分别求出事件、事件、事件包含的基本事件数，最后根据概率的加法公式计算即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数. 骰子的点数为，其中质数有， 事件“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数（第一次有种质数情况，第二次有种情况 ），则. 两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数. 第一次为奇数，第二次为偶数时，有种情况； 第一次为偶数，第二次为奇数时，有种情况. 所以事件包含的基本事件数，则. 事件表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”. 当第一次为，第二次需为奇数，有种情况； 当第一次为或，第二次需为偶数，各有种情况，共种情况. 所以。 根据概率加法公式. 故选：C 变式2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 变式3．（25-26高一下·河南许昌·月考）袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 【答案】 【详解】摸出的3个小球有三种情况：依次为红红红、蓝红蓝、红蓝蓝， 则概率为. 变式4．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则__________. 【答案】 【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $