专题05 期末复习重难点题型高分必刷训练-2025-2026学年高一下学期数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版必修第二册）

**基本信息** 以题型为载体系统整合平面向量、解三角形等六大模块，通过“技巧总结+真题演练”构建“概念-方法-应用”逻辑链，培养数学思维与解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|4题型/16题|共线定理、基底法、模长公式|从线性运算到数量积综合，层层递进| |解三角形|5题型/15题|大角对大边、边角互化、不等式求最值|定性判断到定量计算再到范围问题| |复数|6题型/14题|复数分类、模长性质、几何意义|概念辨析→四则运算→几何应用| |空间几何体|10题型/25题|平行垂直判定、辅助线技巧、体积公式|结构识别→位置关系→空间角计算| |统计与概率|6题型/18题|抽样方法、频率分布直方图、古典概型|数据收集→特征分析→概率计算|

专题05 专题05 期末复习重难点题型高分必刷 【题型1：向量概念与线性运算】 技巧： 1.共线向量定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ 2. 三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． ※易错提醒 （1）向量平行与向量共线是同一概念，但向量平行 ≠ 线段平行。两向量共线，对应线段可能共线或平行，做题不能直接等同。 （2）零向量方向任意，零向量与任意向量共线，含参数的共线题目，一定要单独检验零向量情况。 （3）运用共线定理时，前提是 a=0，若忽略该条件，会造成解题漏洞。 （4）向量加减运算时，注意向量箭头与字母顺序，顺序颠倒则向量变为相反向量。 （5）三点共线结论只适用于同一起点的三个向量表达式向量起点不一致时不能直接套用 λ+μ=1 【真题演练】 1．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 2．如图，在中，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3．如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：在中，为的中点，所以， 又，所以， 所以； 故选：C 4．（多选）以下选项中，能使成立的条件有（    ） A． B．或 C． D．与都是单位向量 【答案】BC 【分析】对于A、D：取特殊向量分别为x、y轴上的单位向量，否定结论； 对于B：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C：由向量平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误； 对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确； 对于C：因为，所以.故C正确. 故选：BC 【题型2：平面向量基本定理与坐标运算】 技巧： 1.基底：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2.平面向量基本定理的应用:对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1e1＋λ2e2 3.平面向量垂直：充要条件：⊥⇔ ·=0 坐标形式：x1x2＋y1y2＝0 4.平面向量平行：充要条件：∥⇔ ·=0 坐标形式：x1y2－y1y2＝0 【真题演练】 1．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由坐标表示向量的加法可得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 6．已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】， 故选：C 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 3．已知向量，，若，则_____. 【答案】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则，解得. 故答案为：. 4．已知向量，，，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 由，得，解得. 故选：C 5．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________． 【答案】12 【分析】先求，由A，B，D三点共线，利用共线向量定理得存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有，， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以， 所以． 故答案为：. 【题型3：平面向量的数量积运算】 技巧： 1.定义：·＝||||cos θ. 2.公式：设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2 【真题演练】 1．已知向量满足，则__________. 【答案】 【分析】根据已知模长应用数量积的运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 2．若向量，，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，进而根投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为，，且， 所以，解得. 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C 【题型4：数量积的综合应用（模长 / 最值 / 范围）】 技巧： 1.向量的模：·＝2＝||2 2.一些常见的等式，如(±)2＝2±2·＋2，(＋)·(－)＝2－2等 3.夹角：cos θ.= 注意：夹角范围θ∈[0,π]，必须是同起点的夹角且两向量不能共线 【真题演练】 1．（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 【答案】BD 【分析】应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误. 【详解】对于A：，错误； 对于B：，正确； 对于C：，错误； 对于D：在方向上的投影向量坐标是，正确. 故选：BD. 2．已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出，再由化简计算即可 【详解】因为向量，它们的夹角为， 所以， 所以. 故选：C. 3．若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果. 【详解】，， 即，又， . 故选：D. 4．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以，解得； （2）因为， 所以，解得，，所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 【题型5：判断三角形的个数问题】 技巧： 模式：已知a,b,A，判断△ABC解的个数 口诀：大角对大边，一锐两钝看高 计算法：求h=bsinA 比较a与h,b：a<h→无解；a=h→一解（直角）；h<a<b→两解；a≥b→一解 【真题演练】 1．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 2．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 3．在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，解不等式组，即可得答案. 【详解】若这个三角形有两组解， 则， 因为，，所以. 故选：D． 【题型6：正余弦定理判断三角形形状】 技巧： 统一成边 或 统一成角 统一成边：用sinA=​代换，化简边的齐次式 统一成角：用余弦定理化边为角，化简三角恒等式 常见结论： a2+b2<c2⟹ 钝角 a2+b2=c2⟹ 直角 a2+b2>c2⟹ 锐角（需验证最大角） sin2A=sin2B⟹ A=B或A+B=​ 【真题演练】 1．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 2．在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B 【题型7：向量在物理中的应用】 技巧： 1.力、速度合成：直接使用平行四边形法则 / 三角形法则； 2. 功的计算公式：（为力与位移的夹角）。 【真题演练】 1．一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解. 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 2．若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 3．（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 【题型8：正余弦定理解三角形】 技巧： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 正弦定理：1在△ABC中，.＝＝＝2R.（R为△ABC外接圆的半径） 【真题演练】 1．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 2．在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理化简给定条件，再结合三角形内角性质求解即可. （2）（i）利用余弦定理建立方程，求解的值即可，（ii）利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 而，则，故， 即，解得. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得，解得或（舍去）. （ii）由三角形面积公式得. 3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若， 设AD为的角平分线， 求AD的长; (3)若 且面积为 ， 求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，求得，利用三角形内角范围即可求得角； （2）利用面积相等建立方程，解之即得； （3）由三角形面积求得，利用余弦定理求得，即得的周长. 【详解】（1）由和正弦定理，， 因，则，故得， 又因，则. （2）设，则由面积相等，， 解得，即. （3）因，解得， 由余弦定理可得， 即，故，的周长为. 4．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，进而可求； （2）由向量数量积及（1）可求得的值，进而计算可求三角形面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以，所以，所以； （2）由，可得，即， 由（1），，所以， 所以. 5．已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合展开化简，求得，再结合可得； （2）由面积公式求，用余弦定理求，再次在中用余弦定理，得AD的长. 【详解】（1）由题意和正弦定理得 ， 且 ， 即 ， 得，且，则， 可得且，所以. （2）如图：    因为 由 所以 解得， 在中，由余弦定理得 则又D为BC边上的中点，所以 在中，由余弦定理得，则 在中，由余弦定理得 所以 【题型9：解三角形的最值范围问题】 技巧： 余弦定理 +基本不等式：b2+c2≥2bc 正弦定理 +三角值域：化为Asin(ωx+φ)+k 边的范围：两边之和 > 第三边，两边之差 < 第三边 角的范围：A∈(0,π),A+B+C=π 【真题演练】 1．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)求周长的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）结合条件和两角和差的正弦公式化简得，由知，根据角A的范围求解即可. （2）根据余弦定理得，然后利用完全平方和及基本不等式求得，即可求解周长的最大值. 【详解】（1）由题意可得 ，即， 因为，故，故，所以． （2）由余弦定理可得，即， 所以，所以， 所以的周长，当且仅当时取等号， 故周长的最大值为6． 2．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 3．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 【题型10：复数的基本概念辨析】 技巧： 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0. 易错：虚部为b，不是bi 【真题演练】 1．在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数四则运算化简，即可求出在复平面内点的坐标，即可求解. 【详解】由题意可设. 故在复平面内对应的点为. 其位于第一象限． 故选：． 2．已知复数（）为纯虚数，则______． 【答案】1 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】依题意，，解得. 故答案为：1. 【题型11：复数的四则运算】 技巧： 1.复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2.复数的加法运算律: 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 【真题演练】 1．在复平面内，复数对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数乘法、复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以其对应的点位于第一象限. 故选：A. 2．复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简即可. 【详解】. 故选：D. 3．复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解. 【详解】由， 所以的虚部为， 故先：B. 【题型12：利用复数相等求参数】 技巧： 两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知求的值 【真题演练】 1．已知，则______. 【答案】3 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 2．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用复数相等的定义即可求得. 【详解】因，则由复数相等的定义可得：. 故选：B 【题型13：复数的模长计算与性质应用】 技巧： （1） 定义：向量的模叫做复数的模， （2） 记法：复数的模记为或， （3） 公式：， 若，，则表示到的距离，即 【真题演练】 1．已知复数，则______． 【答案】/ 【分析】利用复数模的公式计算. 【详解】由题可知：. 故答案为： 2．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的模长公式，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 3．复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数几何意义依次代入计算判断即可. 【详解】对于A，复数，代入得，故A不符合题意； 对于B，复数，代入得，故B符合题意； 对于C，复数，代入得，故C不符合题意； 对于D，复数，代入得，故D不符合题意. 故选：B 4．已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 【题型14：共轭复数综合应用】 技巧： 与共轭 的共轭复数记作，且 【真题演练】 1．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 且，故选项C正确. 2．已知复数，则z的共轭复数_________. 【答案】 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 【题型15：复数的几何意义（易错重难题）】 技巧： （1） 复数一一对应复平面内的点 （2） 复数一一对应平面向量 【真题演练】 1．已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解. 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 2．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”） 【答案】外心 【分析】设对应点为，根据复数的向量表示及向量减法的几何意义得，即可得结论. 【详解】设对应点为，且， 根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等， 所以在复平面内对应的点为的外心. 故答案为：外心 3．（多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则 【答案】CD 【分析】设，则，求出复数的模，根据已知化简，即可得出圆心、半径，判断A项；设，求出模代入已知，根据复数相等的条件得出方程组，求解方程组，即可判断B项；根据复数的模的概念，即可得出C项；根据复数的加减运算以及模的几何意义，即可得出D项. 【详解】对于A项，设 ，则， 由可得，， 所以满足的复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误； 对于B项，设 ，则， 由可得，， 根据复数相等的条件可得，解得， 所以，故B项错误； 对于C项，由复数的模的定义知C正确； 对于D项，由的几何意义知，以为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D正确. 故选：CD. 【题型16：空间几何体结构识别】 技巧： 1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形 2.棱锥：一个面是多边形，其余各面是共顶点的三角形 3.棱台：由棱锥用平行于底面的平面截取而来，上下底面相似且对应边平行 【真题演练】 1．下列命题中正确的是（    ） A．正四棱锥的侧面都是正三角形 B．直四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】D 【分析】由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案. 【详解】对于A，正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B错误； 对于C，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故C错误； 对于D，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D正确. 故选：D 2．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ）    A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【分析】根据多面体性质即可得出结论. 【详解】易知三棱台截去三棱锥， 剩余部分为以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B 3．下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【答案】C 【分析】根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断BCD. 【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然 对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平 行的截面不可能，故A错误； 对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C：根据棱柱的定义可知：C正确； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误； 故选：C. 【题型17：三视图与直观图】 技巧： （1）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （2）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 【真题演练】 1．如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用斜二测画法的规则，得到，且，结合勾股定理，即可求解. 【详解】由斜二测画法，可得直观图是对应的平面图形，如图所示， 因为，，可得，且， 所以. 故选：B. 2．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 3．如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得的底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 【题型18：表面积与体积计算】 技巧： 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【真题演练】 1．已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可. 【详解】由图可得，圆台的高为， 故圆台的体积为.    故选：D. 2．素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 3．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以， 故选：B． 4．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 【题型19：空间点、线、面位置关系判断（选择填空高频）】 技巧： 1.异面直线:不同在任何一个平面内，既不平行也不相交 2.平行传递性:线线平行→线面平行→面面平行, 3.垂直关系:线线垂直→线面垂直→面面垂直。 【真题演练】 1．在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    2．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 3．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 【题型20：直线与平面平行的证明（证明题重点）】 技巧： 1.线面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行→ 直线∥平面 符号：a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒a∥α 2.面面平行性质 两个平面平行，一个平面内直线平行于另一平面。 常用辅助线技巧 1.中位线法:遇中点，构造三角形中位线证线线平行 2.平行四边形法:构造平行四边形得到平行线。 【真题演练】 1．如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需说明是异面直线与所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 2．已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． (1)求证：平面MBC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设为中点，连接，根据已知得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）应用等体积法及已知、棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】（1）设为中点，连接，又O为线段的中点，则且， 由M为棱的中点，则且， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面MBC，平面MBC，则平面MBC； （2）由，则且为直角三角形， 所以三棱锥的高为，故. 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，且连接，即证，利用线面平行的判断定理即可求解； （2）先求点到平面的距离，再求底面面积，根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接交于，且连接，则为的中点． 因为是的中点，所以为的中位线，所以， 又因为面，面，所以面 （2）因为，为的中点，所以， 又因为，所以， 因为，面，，所以面， 菱形中，，，所以，所以， 因为为的中点，所以点到面的距离为 又 所以 所以三棱锥的体积为． 【题型21：平面与平面平行的证明（中档证明题）】 技巧： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 符号：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 【真题演练】 1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面； （2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面. 【详解】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 2．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，平面，来证明面面平行； （2）先证明异面直线与所成角为（或其补角），再在中计算即可. 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 【题型22：直线与平面垂直的证明（重难点、必考大题）】 技巧： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号：符号:l⊥m，l⊥n，m∩n=P，m,n⊂α⇒l⊥α 【真题演练】 1．如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平面得，结合利用线面垂直的判定定理可证； （2）取为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可证； （3）利用等体积法计算出三棱锥的体积，再求出的面积，即可求得点B到平面ACE的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；    （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 2．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，结合利用线面垂直的判定定理可得证； （2）（ⅰ）根据线面角的定义可得是直线与平面所成的角，可得，由此求得，即可得菱形的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；（ⅱ）利用线面垂直的性质定理可得，，则，，根据定义可得即为异面直线与所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）四边形是菱形，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面. （2）（ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，于是， ，，又， 所以， 菱形的面积为， 故四棱锥的体积. （ⅱ）平面，平面，，， 所以，， 因为，所以即为异面直线与所成角（或补角）， 又，所以在中，由余弦定理， 即，解得， 所以为锐角，即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 【题型23：平面与平面垂直的证明（压轴证明高频）】 技巧： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 符号：符号:l⊥α,l⊥β⇒α⊥β 【真题演练】 1．如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设为中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据勾股定理可证线线垂直，进而证明线面垂直与面面垂直； （2）连接，设，连接，根据中位线可证线线平行，即可构造平行四边形，根据线线平行可证线面平行. 【详解】（1） 连接， 四边形为矩形，且，， ， 有，， ，即， 又，且，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）连接，设，连接， 易知点为中点， 点为中点， ，且， 又，， ，且， 则四边形为平行四边形， 即， 平面，且平面， 平面. 2．如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； （2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 【题型24：空间角计算（拔高题型）】 技巧： 1.异面直线所成角 范围:(0°，90°】 方法:平移直线，转化为相交直线夹角，取锐角或直角 2.直线与平面所成角 范围:【0°,90°】 定义:直线与它在平面内射影的夹角。 解题技巧 作垂线、找射影、构造直角三角形，用三角函数求解 【真题演练】 1．在直三棱柱中，，，则直线与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】作辅助线，证明直线与的夹角为直线与的夹角（或其补角），然后根据线角关系求出其大小. 【详解】连接交于点，取的中点为，连接. 则根据中位线定理可得， 所以直线与的夹角为直线与的夹角（或其补角）， 设，根据勾股定理得，所以. 设，则根据勾股定理，所以. 所以，. 所以，所以. 故选：D. 2．在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点，连接，只需证明 ，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证； （3）说明为直线与平面所成的角，解三角形即可得解. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 由于分别为的中点，故 ，且， 又 ，可得 ，且， 故四边形为平行四边形， 所以 ，又因为平面平面， 所以 平面. （2）因为底面底面，， 又，，平面， 平面.又平面，， 为的中点，， 又 平面， 平面，又∴BE平面ABE， ∴PD⊥BE. （3）由(2)知PD⊥平面ABE， 直线在平面内的射影为直线， 故为直线与平面所成的角， 由底面，底面可得，，， ∴为等腰直角三角形，且平分， ， 所以直线与平面所成的角为. 4．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，平面即可得证； （3）由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点，中， 、分别为、的中点，所以，平面， 平面，所以平面； （2）连接，中， 、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，， 所以平面，所以平面； （3）设，并连接， 由（2）可知平面， 所以直线与平面所成的角为， 设正方体边长为，中，，，所以， 所以直线与平面所成的角的大小为. 5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 【题型25：折叠 / 动态几何体综合题（期末压轴）】 技巧： 核心规律 折叠前后:线段长度、角度、垂直/平行关系保持不变;平面位置发生改变。 解题思路 先分析不变量，再结合平行、垂直判定定理、体积公式求解 【真题演练】 1．如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥． (1)证明：平面； (2)当二面角为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明如下： 在梯形中，， 则四边形为平行四边形，而， 则是矩形，即， 在四棱锥中，， 而平面， 所以平面. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）由（1）结合二面角大小可得正，取的中点，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定性质求出点到平面的距离即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是二面角的平面角， 即，又， 则是正三角形，取的中点，连接，， 则有，又平面， 于是平面， 而，则平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，而平面平面， 因此平面， 又，平面，平面， 所以平面， 于是点到平面的距离等于，而，由（1）知，平面， 则平面，又平面，则， 而，则， ， 所以点到平面的距离为. 2．如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； （3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，即为平面与平面所成锐二面角的平面角，求出各边长，得到，求出答案. 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【题型26：三种抽样方法辨析与应用（选择填空必考）】 技巧： 抽样方法 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方式 总体中个体数较少 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规律在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中个体数较多 分层抽样 将总体分成几层 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 【真题演练】 1．（多选）下列调查中，适合用抽样调查的是（    ） A．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B．调查某班学生的身高 C．调查全国居民使用某款手机的情况 D．调查飞机零部件的质量情况 【答案】AC 【分析】根据抽样调查的定义直接判断即可. 【详解】选项A：调查某款新能源汽车电池的使用寿命， 测试电池使用寿命会对电池造成破坏， 且全面测试成本高、耗时久，适合抽样调查； 选项B：调查某班学生的身高，班级学生数量相对较少， 能够方便、准确地对每个学生进行身高测量， 适合全面调查（普查），不适合抽样调查； 选项C：调查全国居民使用某款手机的情况， 全国居民数量极其庞大，全面调查难度极大、成本过高，适合抽样调查； 选项D：调查飞机零部件的质量情况，飞机零部件质量关乎飞行安全， 必须进行全面、精确的检查，确保每个零部件都合格， 适合全面调查（普查），不适合抽样调查. 故选：AC. 2．（多选）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2500人、中部地区的学生有1500人、西部地区的学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列说法正确的有（   ） A．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 B．用分层随机抽样的方法从新生中选出100人最适合，且用分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生50人、中部地区学生30人、西部地区学生20人 C．用分层随机抽样的方法抽取的100名学生中，西部地区学生小刘被选中的可能性比中部地区学生小张被选中的可能性大 D．总体是该高校全体大一新生 【答案】BD 【分析】由分层抽样的性质结合题意逐一判断可得. 【详解】因为各部地区的饮食习惯各不相同，差异较大，所以用分层抽样更合适， 又各地区人数比为，若抽取人数为100人， 则取东部地区学生50人、中部地区学生30人、西部地区学生20人，故A错误，B正确； 采取分层抽样，每个学生被抽取的可能性均为，各地区学生被选中的可能性大小是相等的，故C错误； 事件的总体为该高校全体大一新生，故D正确. 故选：BD. 【题型27：频率分布直方图相关计算（高频大题）】 技巧： 1.1 纵轴表示，即小长方形的高=组距； 2.小方形的面积==频率 3.各个小方形的面积总和等于1 4. 百分位数的求解 【高分技巧】 若一组数据有n个，求k百分位教的方法: 将所有教值按从小到大的顺序排列: 计算 如果结果为整数，那么k百分位数位于第位和下一位中间，通常取这两个位置上数值的平均值作为k百分位数: 如果不是整教，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该住置上的数值即为k百分位数. 5.频率直方分布图中的百分位数求法 找出百分位数所在的矩形区间la,b); 设组距为d、计算可得k百分位数等于 【真题演练】 1．在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 【答案】(1)众数为27.5，第95百分位数为 (2)①4人，2人；②11 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知   众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； （2）①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 2．汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 【答案】(1)60人，中位数为75，平均数为 (2)平均值为，方差为 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点及中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为， 所以样本中打分在内的客户人数为人. 由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30， 设样本的中位数为，则，则，解得， 故样本的中位数为75. . （2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60， 所以打分在内的样本数据的平均值为. 打分在内的样本数据的方差为. 【题型28：平均数、方差、标准差计算与性质】 技巧： 1.平均数 一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 2．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 4.方差 【真题演练】 1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（    ） A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值 【答案】D 【分析】根据四分位数，中位数，以及众数，均值的定义即可求解. 【详解】四分位数在统计学中把有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值； 中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数； 众数是一组数据中出现次数最多的数值； 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数．所以选择均值较理想． 故选：D． 2．高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（   ） A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg 【答案】B 【分析】设女生的平均体重为，根据平均数的计算公式列式求解即可. 【详解】由题意可知：高二（1）班有24名女生，有16名男生， 设女生的平均体重为，则，解得． 故选：B． 3．2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格．该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由． 【答案】(1)，平均值为； (2)合格 【分析】（1）根据图中所有矩形面积为1计算可得，利用频率分布直方图求平均数的方法计算可得其平均数； （2）估计出该校学生中得分在75分及以上的概率即可判断得出结论. 【详解】（1）由图可知组距为10， 易知，结合可得； 平均值为. （2）由图可知估计该校学生中得分在75分及以上的概率为， 因此可得该校学生知识掌握度整体合格了. 【题型29：随机事件、互斥事件与对立事件辨析】 技巧： 1.互斥事件:两事件不能同时发生，A∩B=⊘ 2.对立事件:两事件有且仅有一个发生，对立一定互斥，互斥不一定对立 概率公式 1.互斥事件加法公式:P(AU B)= P(A)+ P(B) 2.对立事件:P()+ P() = 1，常用来正难则反解题。 【真题演练】 1．已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（    ） A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72 【答案】B 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B. 2．已知，，且，互斥，则___________. 【答案】0 【分析】根据互斥事件的概念即可得结果. 【详解】由于，互斥，即不可能同时发生， 所以， 故答案为：0. 3．（多选）已知事件A，B，且，则（    ） A．如果，那么 B．如果A与B互斥，那么 C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么 【答案】ABD 【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可. 【详解】如果，那么，，故 A正确； 如果A与互斥，那么，，故 B正确； 如果A与相互独立，那么，，故C错误； 如果A与相互独立，那么 ，故 D正确； 故选：ABD 4．（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（    ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】ABD 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确. 故选：ABD 【题型30：古典概型计算（核心大题/小题）】 技巧： 1.古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 1. 古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 【真题演练】 1．甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【分析】根据两人恰有一人获奖，可分类讨论，即可求得概率. 【详解】设甲获奖为事件，乙获奖为事件， 所以，，， 因为，所以事件与事件相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为， 故选：B. 2．依次抛掷两枚硬币，两枚均正面朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】记正面朝上为1，反面朝上为0，先后两次抛硬币的结果为， 则依次抛掷两枚硬币，可能为：，共有四种可能， 其中两枚均正面朝上只有这一种可能，故所求为. 故选：C. 3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式即得． 【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种结果， 其中数字之和为3的倍数的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5种结果， 故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为. 故选：B. 【题型31：概率综合应用（统计+概率结合，期末压轴）】 技巧： 解题步骤 1.从图表提取数据，统计人数/个数; 2.确定总基本事件数、符合条件事件数,3.代入古典概型公式计算。 【真题演练】 1．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为. （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 故， 又因为，则， 所以事件的概率为. 2．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】(1)20 (2)平均数32.25; 第80百分位数37.5 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）(2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期末复习重难点题型高分必刷 【题型1：向量概念与线性运算】 技巧： 1.共线向量定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ 2. 三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． ※易错提醒 （1）向量平行与向量共线是同一概念，但向量平行 ≠ 线段平行。两向量共线，对应线段可能共线或平行，做题不能直接等同。 （2）零向量方向任意，零向量与任意向量共线，含参数的共线题目，一定要单独检验零向量情况。 （3）运用共线定理时，前提是 a=0，若忽略该条件，会造成解题漏洞。 （4）向量加减运算时，注意向量箭头与字母顺序，顺序颠倒则向量变为相反向量。 （5）三点共线结论只适用于同一起点的三个向量表达式向量起点不一致时不能直接套用 λ+μ=1 【真题演练】 1．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 2．如图，在中，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（多选）以下选项中，能使成立的条件有（    ） A． B．或 C． D．与都是单位向量 【题型2：平面向量基本定理与坐标运算】 技巧： 1.基底：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2.平面向量基本定理的应用:对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1e1＋λ2e2 3.平面向量垂直：充要条件：⊥⇔ ·=0 坐标形式：x1x2＋y1y2＝0 4.平面向量平行：充要条件：∥⇔ ·=0 坐标形式：x1y2－y1y2＝0 【真题演练】 1．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 6．已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 3．已知向量，，若，则_____. 4．已知向量，，，则（   ） A．6 B．3 C． D． 5．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________． 【题型3：平面向量的数量积运算】 技巧： 1.定义：·＝||||cos θ. 2.公式：设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2 【真题演练】 1．已知向量满足，则__________. 2．若向量，，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型4：数量积的综合应用（模长 / 最值 / 范围）】 技巧： 1.向量的模：·＝2＝||2 2.一些常见的等式，如(±)2＝2±2·＋2，(＋)·(－)＝2－2等 3.夹角：cos θ.= 注意：夹角范围θ∈[0,π]，必须是同起点的夹角且两向量不能共线 【真题演练】 1．（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 2．已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 3．若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值. 【题型5：判断三角形的个数问题】 技巧： 模式：已知a,b,A，判断△ABC解的个数 口诀：大角对大边，一锐两钝看高 计算法：求h=bsinA 比较a与h,b：a<h→无解；a=h→一解（直角）；h<a<b→两解；a≥b→一解 【真题演练】 1．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6：正余弦定理判断三角形形状】 技巧： 统一成边 或 统一成角 统一成边：用sinA=​代换，化简边的齐次式 统一成角：用余弦定理化边为角，化简三角恒等式 常见结论： a2+b2<c2⟹ 钝角 a2+b2=c2⟹ 直角 a2+b2>c2⟹ 锐角（需验证最大角） sin2A=sin2B⟹ A=B或A+B=​ 【真题演练】 1．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【题型7：向量在物理中的应用】 技巧： 1.力、速度合成：直接使用平行四边形法则 / 三角形法则； 2. 功的计算公式：（为力与位移的夹角）。 【真题演练】 1．一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 2．若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 3．（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【题型8：正余弦定理解三角形】 技巧： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 正弦定理：1在△ABC中，.＝＝＝2R.（R为△ABC外接圆的半径） 【真题演练】 1．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 2．在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若， 设AD为的角平分线， 求AD的长; (3)若 且面积为 ， 求的周长. 4．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 5．已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 【题型9：解三角形的最值范围问题】 技巧： 余弦定理 +基本不等式：b2+c2≥2bc 正弦定理 +三角值域：化为Asin(ωx+φ)+k 边的范围：两边之和 > 第三边，两边之差 < 第三边 角的范围：A∈(0,π),A+B+C=π 【真题演练】 1．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)求周长的最大值． 2．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 3．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【题型10：复数的基本概念辨析】 技巧： 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0. 易错：虚部为b，不是bi 【真题演练】 1．在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数（）为纯虚数，则______． 【题型11：复数的四则运算】 技巧： 1.复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2.复数的加法运算律: 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 【真题演练】 1．在复平面内，复数对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数（   ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【题型12：利用复数相等求参数】 技巧： 两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知求的值 【真题演练】 1．已知，则______. 2．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型13：复数的模长计算与性质应用】 技巧： （1） 定义：向量的模叫做复数的模， （2） 记法：复数的模记为或， （3） 公式：， 若，，则表示到的距离，即 【真题演练】 1．已知复数，则______． 2．若，且，则（   ） A． B． C． D． 3．复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【题型14：共轭复数综合应用】 技巧： 与共轭 的共轭复数记作，且 【真题演练】 1．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则z的共轭复数_________. 【题型15：复数的几何意义（易错重难题）】 技巧： （1） 复数一一对应复平面内的点 （2） 复数一一对应平面向量 【真题演练】 1．已知，，则的取值范围为______. 2．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”） 3．（多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则 【题型16：空间几何体结构识别】 技巧： 1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形 2.棱锥：一个面是多边形，其余各面是共顶点的三角形 3.棱台：由棱锥用平行于底面的平面截取而来，上下底面相似且对应边平行 【真题演练】 1．下列命题中正确的是（    ） A．正四棱锥的侧面都是正三角形 B．直四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 2．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ）    A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【题型17：三视图与直观图】 技巧： （1）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （2）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 【真题演练】 1．如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为（   ） A． B． C．12 D． 3．如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．2 【题型18：表面积与体积计算】 技巧： 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【真题演练】 1．已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 2．素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【题型19：空间点、线、面位置关系判断（选择填空高频）】 技巧： 1.异面直线:不同在任何一个平面内，既不平行也不相交 2.平行传递性:线线平行→线面平行→面面平行, 3.垂直关系:线线垂直→线面垂直→面面垂直。 【真题演练】 1．在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    2．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 3．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【题型20：直线与平面平行的证明（证明题重点）】 技巧： 1.线面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行→ 直线∥平面 符号：a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒a∥α 2.面面平行性质 两个平面平行，一个平面内直线平行于另一平面。 常用辅助线技巧 1.中位线法:遇中点，构造三角形中位线证线线平行 2.平行四边形法:构造平行四边形得到平行线。 【真题演练】 1．如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2．已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． (1)求证：平面MBC； (2)求三棱锥的体积． 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积． 【题型21：平面与平面平行的证明（中档证明题）】 技巧： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 符号：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 【真题演练】 1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 2．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【题型22：直线与平面垂直的证明（重难点、必考大题）】 技巧： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号：符号:l⊥m，l⊥n，m∩n=P，m,n⊂α⇒l⊥α 【真题演练】 1．如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 2．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【题型23：平面与平面垂直的证明（压轴证明高频）】 技巧： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 符号：符号:l⊥α,l⊥β⇒α⊥β 【真题演练】 1．如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设为中点，求证：平面． 2．如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【题型24：空间角计算（拔高题型）】 技巧： 1.异面直线所成角 范围:(0°，90°】 方法:平移直线，转化为相交直线夹角，取锐角或直角 2.直线与平面所成角 范围:【0°,90°】 定义:直线与它在平面内射影的夹角。 解题技巧 作垂线、找射影、构造直角三角形，用三角函数求解 【真题演练】 1．在直三棱柱中，，，则直线与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求直线与平面所成角的大小. 4．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【题型25：折叠 / 动态几何体综合题（期末压轴）】 技巧： 核心规律 折叠前后:线段长度、角度、垂直/平行关系保持不变;平面位置发生改变。 解题思路 先分析不变量，再结合平行、垂直判定定理、体积公式求解 【真题演练】 1．如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥． (1)证明：平面； (2)当二面角为时，求点到平面的距离． 2．如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【题型26：三种抽样方法辨析与应用（选择填空必考）】 技巧： 抽样方法 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方式 总体中个体数较少 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规律在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中个体数较多 分层抽样 将总体分成几层 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 【真题演练】 1．（多选）下列调查中，适合用抽样调查的是（    ） A．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B．调查某班学生的身高 C．调查全国居民使用某款手机的情况 D．调查飞机零部件的质量情况 2．（多选）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2500人、中部地区的学生有1500人、西部地区的学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列说法正确的有（   ） A．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 B．用分层随机抽样的方法从新生中选出100人最适合，且用分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生50人、中部地区学生30人、西部地区学生20人 C．用分层随机抽样的方法抽取的100名学生中，西部地区学生小刘被选中的可能性比中部地区学生小张被选中的可能性大 D．总体是该高校全体大一新生 【题型27：频率分布直方图相关计算（高频大题）】 技巧： 1.1 纵轴表示，即小长方形的高=组距； 2.小方形的面积==频率 3.各个小方形的面积总和等于1 4. 百分位数的求解 【高分技巧】 若一组数据有n个，求k百分位教的方法: 将所有教值按从小到大的顺序排列: 计算 如果结果为整数，那么k百分位数位于第位和下一位中间，通常取这两个位置上数值的平均值作为k百分位数: 如果不是整教，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该住置上的数值即为k百分位数. 5.频率直方分布图中的百分位数求法 找出百分位数所在的矩形区间la,b); 设组距为d、计算可得k百分位数等于 【真题演练】 1．在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 2．汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 【题型28：平均数、方差、标准差计算与性质】 技巧： 1.平均数 一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． 2．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 4.方差 【真题演练】 1．王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的（    ） A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值 2．高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（   ） A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg 3．2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格．该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由． 【题型29：随机事件、互斥事件与对立事件辨析】 技巧： 1.互斥事件:两事件不能同时发生，A∩B=⊘ 2.对立事件:两事件有且仅有一个发生，对立一定互斥，互斥不一定对立 概率公式 1.互斥事件加法公式:P(AU B)= P(A)+ P(B) 2.对立事件:P()+ P() = 1，常用来正难则反解题。 【真题演练】 1．已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（    ） A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72 2．已知，，且，互斥，则___________. 3．（多选）已知事件A，B，且，则（    ） A．如果，那么 B．如果A与B互斥，那么 C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么 4．（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（    ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 【题型30：古典概型计算（核心大题/小题）】 技巧： 1.古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 1. 古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 【真题演练】 1．甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 2．依次抛掷两枚硬币，两枚均正面朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型31：概率综合应用（统计+概率结合，期末压轴）】 技巧： 解题步骤 1.从图表提取数据，统计人数/个数; 2.确定总基本事件数、符合条件事件数,3.代入古典概型公式计算。 【真题演练】 1．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 2．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $