第八章 立体几何单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高一数学立体几何单元复习卷，以生活情境（乒乓球台）、文化素材（《九章算术》鳖臑）为载体，覆盖线面位置关系、异面直线所成角、面面垂直等核心知识，通过基础判断、推理证明、体积计算等梯度设计，培养直观想象与逻辑推理素养，适配单元巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|7题|线面平行判定、异面直线所成角、面面垂直条件|结合乒乓球台抽象线面关系，基础概念辨析| |多选题|2题|线面平行、折叠后面面垂直|正方体中点线面关系综合判断，考查空间观念| |填空题|2题|鳖臑中异面直线所成角、正四棱锥二面角|融入传统文化，需构造辅助线转化空间角| |解答题|3题|折叠问题证明、三棱锥体积、二面角余弦值|折叠与直棱柱、四棱锥综合，强调逻辑推理与运算能力|

高一数学学科限时训练（立体几何） 一、选择题 1．乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动,乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成.如图所示,如果将乒乓球台的台面抽象成平面,将乒乓球网的上边缘抽象成直线,则直线l与平面α的位置关系是(      ). A. B. C. D. l与相交 2．如下图所示,在正方体中,E,F分别是,的中点,则异面直线与所成的角的大小为(      ) A. B. C. D. 3．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是(      ) A.， B.，， C.， D.， 4．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点.则直线与平面ABC所成的角的正弦值为(      ) A. B. C. D. 5．如图,P为平行四边形所在平面外一点,E为的中点,F为上一点,O为AC与BE交点.当平面时,(      ) A. B. C. D. 6．在四棱柱中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱垂直于底面，与底面ABCD所成角的大小为，则与底面ABCD的距离为(      ) A. B.1 C.2 D. 7．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面，则(      ) A. B. C. D.1 二、多选题 8．如图所示,在正方体中,点分别为所在棱上的中点,下列判断不正确的是(      ) A.直线平面 B.直线平面 C.平面平面 D.平面平面 9．在四边形ABCD中，，，，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题错误的是(      ) A.平面平面ABC B.平面平面BCD C.平面平面BCD D.平面平面ABC 三、填空题 10．在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑中,平面,,且,M为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为________________. 11．正四棱锥的侧面是正三角形,则它的侧面与底面所成二面角的正弦值为________________. 四、解答题 12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，FA为折痕进行折叠，使点B，C，D重合于一点P. （1）求证：； （2）求证：平面平面APF. 13．如图,在直三棱柱中,是等边三角形,分别是棱,,的中点. (1)证明：平面； (2)若,求三棱锥的体积. 14．如图所示,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱平面,且. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的余弦值 高一数学限时训练（立体几何） 1．答案：C解析：由题意得,且l平行于乒乓球网的下边缘, 而乒乓球网的下边缘在平面内, 由线面平行的判定定理得成立,故C正确.故选：C 2．答案：C 3．答案：D解析：α与β位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； α与β不一定垂直，B项不合题意； α与β可以平行，不一定垂直，C项不合题意； ，则在平面α内存在直线，且，则，又，则，D项符合题意. 4．答案：B解析：是正三棱柱，平面，与平面所成的角为.又，，.又平面平面，与平面ABC所成的角即为与平面所成的角，与平面ABC所成的角的正弦值为. 5．答案：B解析：若平面,因平面,平面平面, 则,从而. 6．答案：D解析：由题意知，平面ABCD，所以是与底面ABCD所成的角，则，所以，即四棱柱的侧棱长为.易知平面，平面ABCD，所以与底面ABCD的距离为.故选D. 7．答案：B解析：取的中点O，连接，由，所以，过点M作，交于点N，则，如图所示，由平面，平面，所以， 且，平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 由，M为的中点，且，所以， 又由，所以，所以.故选：B. 8．答案：ABC 解析：过点的截面如图所示（H、、J均为中点）,所以直线与截面交于点H点,故A项错误；直线与直线在平面必定相交,故B项错误；直线与直线相交,故平面与平面不平行,C项错误；因为分别为、的中点,则,因为平面,平面,则平面, 同理可证平面,因为,、平面,故平面平面,D对.故选：ABC. 9．答案：ABC 解析：根据题意，作图如下： 由题意得， 因为平面平面BCD，且平面平面，所以平面ABD， 又平面ABD，所以，因为，，平面ADC，所以平面ADC，又平面ABC， 所以平面平面ADC，故D中命题正确；设，则，，，由D中分析知平面ADC，因为平面ADC，所以，则，易得为平面ABD与平面ABC所成角， 因为，所以，故平面ABD与平面ABC不垂直，故A中命题错误；由上述证明可知，平面ADC与平面BCD所成的角为，故B中命题错误；取BC的中点H，可得，若平面平面BCD，则平面ABC，因为平面ABC，所以， 在中，，，，显然不为直角三角形，故C中命题错误.故选ABC. 10．答案：解析：取中点N,连接,, 因为M是中点,N是中点,根据中位线性质,, 那么（或其补角）就是异面直线与所成的角, 已知平面,,, 在中,, 则,又因为,在中,, 而,所以,则,在中,根据余弦定,所以异面直线与所成角的余弦值为. 11．答案：解析：正四棱锥的四个侧面与底面所成角相等, 如图所示,正四棱锥中,O为对角线的交点,E为的中点, 则底面,,则,则即为侧面与底面所成角的平面角,因为正四棱锥的侧面是正三角形,所以该棱锥的侧棱与底面边长相等,设棱锥的棱长为2,则,, 在中,, 12．解析：（1）因为，，所以平面PEF. 因为平面PEF，所以. （2）因为，， 所以平面APF.又平面PAE，所以平面平面APF. 13． 解析：(1)连接,分别是中点,,平面,平面,平面.在矩形中,D是中点,且,是平行四边形,,平面,平面,平面.又,平面,平面平面,平面,平面. 14． (2)过D作交于点H.直棱柱中,平面平面,又平面平面,,平面,平面. ,,又D为中点,. . . 14．答案：(1)证明:因为底面是正方形,所以, 因为侧棱平面,平面,所以, 又因为,平面,平面, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面; (2)设,则平面,所以, 过作,垂足为,连接,则平面, 又因为平面所以, 所以为二面角的平面角. 在中, 为中点, , 又因为, 所以,所以. 故二面角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $