第八章 立体几何初步（单元测试）（培优卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 2025-2026学年高一数学下学期第八章立体几何初步单元卷，紧扣人教A版必修第二册内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面考查空间观念、推理能力与运算能力，适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|斜二测画法、线面关系、空间角|单选基础巩固（如斜二测直观图周长），多选综合应用（如直三棱柱四点共面判断）| |填空题|3题/15分|正方体体积分割、长方体线面角|结合折叠问题（如平面四边形折叠后外接球表面积），考查空间转化能力| |解答题|5题/77分|旋转体表面积体积、截面作图、翻折问题|注重综合性（如四棱锥体积与外接球半径求解），体现数学思维的逻辑性与创新性|

2025-2026学年高一数学下学期单元测试 第八章·立体几何初步 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册【立体几何初步】 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，原平面图形为直角梯形，， 周长为. 2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】C 【详解】对于A， ，则 ，相交或异面，故错误； 对于B， ，则与的关系可以是平行，相交或，故错误； 对于C，，则，故正确 对于D，如图，满足 ，不满足，故D错误. 3．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 4．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 得该三角形面积为，解得，圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解. 【详解】 连接，与交于点，连接，交于G，连接， 由于平面，平面，平面平面， 所以，由于O是的中点， 所以， 过F作，交于H，则， 因为，所以， 所以. 6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作 于点，则底面， 因为，所以， 故，， 侧棱与底面的所成角为， 则，故， 故该正四棱台的体积为. 7．已知球的半径为2，其表面上有三点，满足，，则四面体的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，证得平面，得到，利用余弦定理，求得，得到，求得，即可求解. 【详解】取的中点，因为，可得， 又因为，可得， 因为，平面，平面，所以平面， 所以， 又由， 由余弦定理得， 因为，可得， 所以， 所以四面体的体积．    8．已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，垂足为，先根据二面角的定义作出二面角的平面角，再由最小角定理分析出当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值，分别求出的值，即可求出. 【详解】 如图所示，过作，垂足为，作交于点，连接. ，， . ，， 平面. 平面， ， 就是二面角的平面角， . ，为垂足， 为在平面β内的射影， 就是与平面β所成的线面角. 由最小角定理可知是与平面β内的任意一条直线所成角中的最小角， B为β内异于O的任意一点， 当且仅当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值. 在中， ，. 由勾股定理可得. 又 ， ， . 在中，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（   ） A．P、Q、M、N四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．直线MN与AC所成角余弦值为 【答案】BCD 【分析】由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面， 而直线，点平面， 因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱， 矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为， 则，C正确； 对于D，取中点，连接，由是中点，得， 则是异面直线与所成角或其补角， 由已知，，，平面， 所以平面，故平面， 又平面，于是，而， 则，因此，D正确. 10．正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据棱台体积公式、勾股定理、余弦定理等知识逐项判断即可. 【详解】如图，，则棱台的高为，故A错误； 四棱台的体积，故B正确； 四棱台的外接球的球心在直线上，球心在的延长线上，记为， 设外接球的半径，设， 则有，解得，则，故C正确； 将侧面和展开平铺成一个平面．当A，P，C三点共线时，最小， 且的最小值为线段AC长，易知， 且，在展开图中由余弦定理可知，故D正确． 11．如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（    ） A． B．四面体体积的最大值为1 C．时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D．时，四面体外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，作辅助线通过证明线面垂直证明线线垂直；对于B选项，找出二面角的平面角，计算四面体体积与的关系来判断体积的最大值；对于C选项，通过取各边中点把截面作出来，结合A选项得到截面为矩形，再计算面积；对于D选项，时，四面体有两个平面互相垂直，属于垂面型外接球，找到球心，计算出半径即可. 【详解】对于A选项，取中点，连接 由于与是两个等腰三角形，， 沿着翻折到，所以，,点为中点， 所以， 故平面, ,所以A选项正确； 对于B选项，作于点，作 于点,连接,那么由可知 ,那么为二面角的平面角, 面, 所以，面,， ， 所以，四面体体积的最大值为1，故B选项正确； 对于C选项，分别取 的中点 ，连接 , 根据中位线的性质可知 ,且 所以， 且 ，四边形 为平行四边形， 所以，直线且与平行的平面截四面体的截面为.当时，由B选项可知为正三角形，, , 由可得，,为矩形， ，故C选项错误； 对于选项D，当时，平面平面,由B选项可知平面, 取的外心，取的外心，外接圆半径, 分别作平面的垂线，平面的垂线 交于一点,即四面体外接球球心，作于点 ，由于，所以为等腰直角三角形， 所以，, 所以，， ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 【答案】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连接，因为平面， 故平行于平面与平面的交线，又分别为的中点， 易知，即平面平面， 故平面分正方体为两部分，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8， ，故 【点睛】 13．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 14．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，若将图中阴影部分绕直线AB旋转得到一个几何体．求阴影部分形成的几何体的表面积和体积； （2）如图所示该几何体为上下底面皆为长方形的草垛，并且上下底面平行，上底中心投影恰为下底中心，且，高为3，求该几何体的体积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用球的表面积和体积公式结合圆锥的表面积和体积公式计算求解； （2）利用拟柱体体积公式计算求解． 【详解】（1）已知，则, ，设球半径为，则， 由题意可知，旋转后几何体的表面积包含半球面积，上半个圆锥侧面积， 下半个圆锥侧面积，圆的面积和四边形面积， 即， ， ， ， ， ， ， ； 旋转后几何体的体积包含半球体积和圆锥体积构成，即， ， ， ． （2）设上底面积为，下底面积为，已知， ,， 中截面， ． 16．(15分)如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 17．（15分）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，利用正方体的结构特征及平行公理推理得证. （2）连接分别交于点，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可. （3）根据题意可得,即有，由此结合面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，      由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论； （2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可. （ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案. 【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得 ， 所以四点共面， 所以直线平面    （2）解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是.    （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为    19．（17分）如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． (1)当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 (2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【答案】(1)①证明见解析 ；②； (2). 【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取的中点，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值； （2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值. 【详解】（1）①分别是边的中点，， 在等腰直角，则，即 因平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，平面平面； ②取的中点，连接， 由①可知平面，平面，则， 由是边的中点，，， ，为中点， ，平面， 平面，因平面，， 为二面角的平面角， 平面，平面， 在中， 所以二面角的正切值为. （2）过P点作，垂足为H，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，由正弦定理，，则， ， ， 令，     ，，则， ， 令，则函数在单调递增， 当时，的最大值为. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元测试 第八章·立体几何初步 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册【立体几何初步】 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若 ，则 3．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 4．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知球的半径为2，其表面上有三点，满足，，则四面体的体积为（    ）． A． B． C． D． 8．已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（   ） A．P、Q、M、N四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．直线MN与AC所成角余弦值为 10．正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台外接球的半径为 D．若点在棱上，则的最小值为 11．如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（    ） A． B．四面体体积的最大值为1 C．时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D．时，四面体外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 13．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 14．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，若将图中阴影部分绕直线AB旋转得到一个几何体．求阴影部分形成的几何体的表面积和体积； （2）如图所示该几何体为上下底面皆为长方形的草垛，并且上下底面平行，上底中心投影恰为下底中心，且，高为3，求该几何体的体积． 16．(15分)如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 17．（15分）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 19．（17分）如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． (1)当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 (2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $