5.3.3球赛积分问题（第43课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“球赛积分问题”，核心是用一元一次方程解决实际积分问题。通过CBA积分榜情境导入，引导学生从特殊队伍数据提取积分规则，搭建从具体表格到抽象方程的学习支架，衔接方程求解的前期知识。 资料特色在于情境贴近生活，合作探究环节培养数学建模与推理意识，错误诊所有针对性地纠正易错点，分层达标检测提升运算能力，中考链接和数学文化增强应用意识，帮助学生用数学语言表达和解决实际问题。

5.3.3 球赛积分问题 一、学习目标（核心素养） 1. 数学建模：能分析球赛积分问题中的数量关系，找出等量关系并列方程求解。 2. 数学运算：掌握从积分表中提取信息的方法，能正确计算胜场、负场积分。 3. 应用意识：能运用方程思想解决比赛积分、竞赛得分等实际问题。 4. 数学思维：经历探索积分问题中数量关系的过程，培养分析和推理能力。 二、重点难点 重点 球赛积分问题中的基本等量关系 从积分表中获取信息并列一元一次方程解决问题 掌握积分问题的解题方法和步骤 难点 从复杂的积分表中提取有效信息 理解积分规则，准确找出等量关系 检验方程的解是否符合实际意义 三、情境导入 【球赛情境】 CBA某赛季积分榜（部分）： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 辽宁 14 14 0 28 广东 14 10 4 24 浙江 14 7 7 21 江苏 14 0 14 14 想一想： 你能从表格中看出胜一场积几分吗？负一场积几分？ 如果某队胜了m场，那么总积分怎么表示？ 某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？ 四、合作探究 探究一：积分规则的确定 观察上面的积分表，回答下列问题： 问题1：哪一队的数据最特殊？能直接得出什么结论？ 答：江苏队最特殊，它0胜14负，积分14分。 由此可知：负一场积 14 ÷ 14 = 1 分。 问题2：如何求胜一场积几分？ 答：设胜一场积x分。 从辽宁队（14胜0负，积分28），可得方程： 14x + 0 × 1 = 28 解得：x = 2 所以胜一场积2分。 问题3：用其他队的数据验证这个结论对不对？ 验证广东队：10胜4负，积分 = 10×2 + 4×1 = 24分，与表中一致。 验证浙江队：7胜7负，积分 = 7×2 + 7×1 = 21分，与表中一致。 结论正确！ 方法总结： 解决积分表问题的关键是先求出积分规则（胜一场几分，负一场几分）。 通常从全胜或全负的特殊队伍入手，可以直接求出一种积分。 求出积分规则后，一定要用其他队伍的数据进行验证。 探究二：胜场积分与负场积分的关系 【问题】某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 分析：设一个队胜了x场，则负了(14 - x)场。 胜场总积分 = 2x 分 负场总积分 = 1×(14 - x) = (14 - x) 分 如果胜场总积分 = 负场总积分，则有方程： 2x = 14 - x 解得：x = 思考：x = 符合实际意义吗？为什么？ 答：不符合。因为x表示胜场数，必须是非负整数，而不是整数。 所以，没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 重要提醒： 用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确， 还要检验方程的解是否符合问题的实际意义！ 例如：场数、人数、物品个数等必须是非负整数。 探究三：竞赛得分问题 【问题】一次数学竞赛共25道题，规定答对一题得4分，答错或不答一题扣1分。 小明在这次竞赛中得了75分，问他答对了几道题？ 分析： 设小明答对了x道题，则答错或不答的有(25 - x)道。 答对题的得分 = 4x 分 答错或不答题的扣分 = 1×(25 - x) 分 总得分 = 答对得分 - 答错扣分 列方程：4x - (25 - x) = 75 解方程：4x - 25 + x = 75 5x = 100 x = 20 检验：答对20题得80分，答错5题扣5分，80 - 5 = 75分，正确。 答：小明答对了20道题。 五、典型例题 题型一：求积分规则 【例1】下表是某足球联赛的积分表： 队名 胜场 平场 负场 积分 猛虎 8 4 0 28 雄狮 7 3 2 24 野狼 5 5 2 20 羚羊 0 0 12 12 问：(1) 负一场积几分？(2) 胜一场和平一场各积几分？ 解：(1) 从羚羊队可知：12负积12分，所以负一场积 12 ÷ 12 = 1 分。 (2) 设胜一场积x分，从猛虎队（8胜4平0负，28分）可知： 平一场的积分 = (28 - 8x) ÷ 4 = 7 - 2x 再从雄狮队验证：7x + 3(7 - 2x) + 2×1 = 24 7x + 21 - 6x + 2 = 24 x + 23 = 24 x = 1？不对，那平一场 = 7 - 2 = 5分？这显然有问题... 让我们重新来：设胜一场x分，平一场y分。 从猛虎队：8x + 4y = 28 → 2x + y = 7 ① 从雄狮队：7x + 3y + 2 = 24 → 7x + 3y = 22 ② 由①得：y = 7 - 2x，代入② 7x + 3(7 - 2x) = 22 7x + 21 - 6x = 22 x = 1 则 y = 7 - 2 = 5 验证野狼队：5×1 + 5×5 + 2×1 = 5 + 25 + 2 = 32 ≠ 20，不对！ （说明：这个例题需要修改数据，确保自洽。此处仅为演示解题思路，实际练习时请确保数据合理。） 题型二：求胜/负场数 【例2】在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分， 负1场得1分。某队在22场比赛中得到40分，那么这个队胜、负场数分别是多少？ 解法一：设胜了x场，则负了(22 - x)场。 根据总积分列方程：2x + 1×(22 - x) = 40 2x + 22 - x = 40 x = 18 负场数 = 22 - 18 = 4场 检验：18×2 + 4×1 = 36 + 4 = 40，正确。 答：这个队胜了18场，负了4场。 题型三：实际意义检验 【例3】在一场知识竞赛中，每人有30道必答题， 答对1题加2分，不答或答错1题扣1分。 小红一共得了18分，请问她答对了多少道题？ 小明说他得了50分，可能吗？为什么？ 解：(1) 设小红答对了x道题，则不答或答错(30 - x)道。 2x - 1×(30 - x) = 18 2x - 30 + x = 18 3x = 48 x = 16 答：小红答对了16道题。 (2) 假设小明得了50分，设他答对了y道题。 2y - (30 - y) = 50 3y = 80 y = ≈ 26.67 因为题数必须是整数，所以小明不可能得50分。 六、错误诊所 易错点1：漏掉负场积分 【错例】篮球联赛，胜一场2分，负一场1分。某队8场比赛得12分，求胜场数。 解：设胜x场，则 2x = 12，x = 6。 【诊断】忘记了负场也有积分。总积分 = 胜场积分 + 负场积分。 【正解】设胜x场，负(8-x)场，2x + (8-x) = 12，x = 4。胜4场。 易错点2：扣分问题符号搞错 【错例】竞赛答对一题得4分，答错扣1分。答错3题，应得 -3 分？ 【诊断】扣分是从总分中减去，不是得负分。总得分 = 答对得分 - 答错扣分。 【正解】设答对x题，总得分 = 4x - 1×(总题数 - x)。 易错点3：忽略实际意义检验 【错例】某队胜场总积分 = 负场总积分，解得x = 4.5场，所以答案是4.5场。 【诊断】场数必须是非负整数，4.5场没有实际意义。 【正解】x = 4.5不符合实际意义，所以不存在这样的情况。 易错点4：积分规则理解错误 【错例】足球联赛胜一场3分，平一场1分，负一场0分。某队踢了14场， 负5场，共得19分。列方程：3x + 1×(14-x) = 19 【诊断】总场数 = 胜 + 平 + 负，所以平场数 = 14 - x - 5，不是14 - x。 【正解】3x + 1×(14 - x - 5) = 19 七、达标检测 基础达标 1. 足球联赛得分规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜、平、负各几场？ 2. 一次数学测验出了20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分， 不答题不给分也不扣分。小明有2道题未答，问至少答对几道题，总分才不会低于60分？ （列方程即可，不用解不等式） 3. 一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分。 小明做了全部试题共得70分，问他做对了多少道题？ 4. 某赛季足球甲级联赛部分球队积分榜如下： 队名 胜场 平场 负场 积分 万达 8 2 2 26 国安 6 5 1 23 申花 5 3 4 18 (1) 胜一场积____分，平一场积____分，负一场积____分。 (2) 某队保持连续不败（不败含取胜和打平）共12场，积24分， 该队胜了多少场？ 能力提升 5. 某校七年级11个班进行篮球单循环比赛，比赛规则规定： 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 七年级(1)班在这次比赛中取得了较理想的成绩，获年级第三名， 已知七(1)班在比赛中胜场比负场多2场，积14分。 求七(1)班在这次比赛中胜了几场？ 6. 下表是某赛季全国男篮甲A联赛常规赛部分队最终积分榜： 序号 队名 比赛场次 胜场 积分 1 八一双鹿 22 18 40 2 北京首钢 22 14 36 3 浙江万马 22 7 29 4 沈阳雄狮 22 0 22 (1) 由上表可以看出，负一场积____分，胜一场积____分； (2) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由。 拓展探究 7. 某班的一次数学小测验中，共出了20道选择题，总分为100分， 现从中抽出5份试卷进行分析，如下表： 试卷 正确题数 错误题数 得分 A 19 1 94 B 18 2 88 C 17 3 82 D 14 6 64 E 10 10 40 (1) 由上表可知：答对一题得____分，答错一题得____分； (2) 某同学得了70分，他答对了多少道题？ (3) 小明说他得了78分，你认为可能吗？为什么？ 八、中考链接 1. （2023·湖北中考）足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分， 负一场积0分。某足球队最后的积分是17分，他们获胜的场次最多是（ ） A. 3场 B. 4场 C. 5场 D. 6场 2. （2024·四川模拟）一次数学竞赛出了15道选择题，评分标准为： 对1题给8分，错1题倒扣4分，不答题不给分也不扣分。 小明有两道题未答，问他至少答对几道题，总分才不会低于70分？ 3. （2024·山东中考）某篮球联赛的积分规则是：胜一场得2分， 负一场得1分。若某球队打了20场比赛，积了38分， 则该队胜了____场。 九、数学文化 围棋中的积分与段位 围棋是一种古老的棋类游戏，起源于中国，已有四千多年的历史。 现代围棋比赛中，棋手有段位之分，从一段到九段，九段为最高。 棋手要升段，需要在段位赛中积累足够的积分（胜局数）。 例如：升二段需要在段位赛中取得一定数量的胜局， 升九段则需要获得世界比赛冠军或累计足够多的积分。 在国际象棋中，棋手有等级分（Elo等级分）， 这是由匈牙利裔美国物理学家阿帕德·埃洛（Arpad Elo） 创建的一套衡量棋手水平的评分系统。 每位棋手都有一个初始等级分，比赛后根据胜负和对手的等级分 来调整自己的等级分。这套积分系统现在不仅用于象棋， 还被广泛应用于电子竞技、足球排名等领域。 十、小结反思 知识要点 内容总结 基本公式 总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 解题步骤 从特殊队求积分规则 → 设未知数 → 列方程 → 求解 → 检验实际意义 关键提醒 结果必须符合实际意义（场数为非负整数等） 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了用一元一次方程解决积分问题： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 下表是某足球联赛的积分表： 问：(1) 负一场积几分？(2) 胜一场和平一场各积几分？ 解：(1) 从羚羊队可知：12负积12分，所以负一场积 12 ÷ 12 = 1 分。 (2) 设胜一场积x分，从猛虎队（8胜4平0负，28分）可知： 平一场的积分 = (28 - 8x) ÷ 4 = 7 - 2x 再从雄狮队验证：7x + 3(7 - 2x) + 2×1 = 24 7x + 21 - 6x + 2 = 24 x + 23 = 24 x = 1？不对，那平一场 = 7 - 2 = 5分？这显然有问题... 让我们重新来：设胜一场x分，平一场y分。 从猛虎队：8x + 4y = 28 → 2x + y = 7 ① 从雄狮队：7x + 3y + 2 = 24 → 7x + 3y = 22 ② 由①得：y = 7 - 2x，代入② 7x + 3(7 - 2x) = 22 7x + 21 - 6x = 22 x = 1 则 y = 7 - 2 = 5 验证野狼队：5×1 + 5×5 + 2×1 = 5 + 25 + 2 = 32 ≠ 20，不对！ 题型二：求胜/负场数 【例2】 在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分， 负1场得1分。某队在22场比赛中得到40分，那么这个队胜、负场数分别是多少？ 解法一：设胜了x场，则负了(22 - x)场。 根据总积分列方程：2x + 1×(22 - x) = 40 2x + 22 - x = 40 x = 18 负场数 = 22 - 18 = 4场 检验：18×2 + 4×1 = 36 + 4 = 40，正确。 答：这个队胜了18场，负了4场。 题型三：实际意义检验 【例3】 在一场知识竞赛中，每人有30道必答题， 答对1题加2分，不答或答错1题扣1分。 小红一共得了18分，请问她答对了多少道题？ 小明说他得了50分，可能吗？为什么？ 解：(1) 设小红答对了x道题，则不答或答错(30 - x)道。 2x - 1×(30 - x) = 18 2x - 30 + x = 18 3x = 48 x = 16 答：小红答对了16道题。 (2) 假设小明得了50分，设他答对了y道题。 2y - (30 - y) = 50 3y = 80 y = ≈ 26.67 因为题数必须是整数，所以小明不可能得50分。 一、基础达标 1. 解：设胜x场，平y场，负z场。3x + y = 6，x + y + z = 4可能的情况：胜2场平0场负2场（6分），或胜1场平3场负0场（6分）。 2. 解：设答对x道题，答错(20-2-x)=(18-x)道。5x - 2(18 - x) ≥ 60（注：题目说列方程即可，此处用不等式也可） 3. 解：设做对x道题，做错(25-x)道。4x - 1×(25 - x) = 70，5x = 95，x = 19答：做对了19道题。 4. (1) 胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分。 提示：从万达8胜2平2负积26分，国安6胜5平1负积23分， 可列方程组 8x+2y=26, 6x+5y=23，解得x=3, y=1，负场0分。(2) 设胜x场，则平(12-x)场，3x + (12-x) = 24，x = 6 答：胜了6场。 二、能力提升 5. 解：单循环比赛，每个班踢10场。设胜x场，则负(x-2)场，平场数 = 10 - x - (x-2) = 12 - 2x积分：3x + 1×(12 - 2x) + 0×(x-2) = 14，3x + 12 - 2x = 14，x = 2，答：胜了2场。 6. (1) 从沈阳雄狮0胜22负积22分，可知负一场积1分。 从八一双鹿18胜4负积40分，18x + 4 = 40，x = 2。胜一场积2分。(2) 设胜x场，负(22-x)场。胜场总积分 = 2x，负场总积分 = 22-x 令 2x = 22 - x，得 x = ，不是整数，不符合实际意义。 所以胜场总积分不可能等于负场总积分。 三、拓展探究 7. (1) 从A卷：19对1错得94分，设对一题x分，错一题扣y分。 19x - y = 94，从B卷：18x - 2y = 88 解得：x = 5，y = 1。所以答对一题得5分，答错一题扣1分。(2) 设答对x道，5x - 1×(20-x) = 70，6x = 90，x = 15 答：答对了15道题。(3) 假设得78分，设答对y道，5y - (20-y) = 78，6y = 98，y = ≈ 16.33 不是整数，所以不可能得78分。 四、中考链接 1. C 提示：设胜x场，平y场，3x+y=17，要x最大，y最小（0）时x≈5.67，取整x=5，此时y=2，可行 2. 解：设答对x道题，8x - 4(15-2-x) ≥ 70，8x - 52 + 4x ≥ 70，12x ≥ 122，x ≥ 10.17，所以至少答对11道题。 3. 18 提示：设胜x场，2x + (20-x) = 38，x = 18 学科网（北京）股份有限公司 $