5.1.1从算式到方程（第35课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案围绕“从算式到方程”展开，核心内容包括方程、一元一次方程的概念及解的判断，通过小明买笔记本的问题情境对比算术与方程方法，搭建从算术思维过渡到代数思维的学习支架，衔接前后知识。 以数学抽象、数学建模和数学思维为核心素养导向，情境导入贴近生活激发兴趣，合作探究通过实例归纳概念培养抽象能力，典型例题与错误诊所结合强化理解，分层达标检测与中考链接提升应用能力，助力学生用数学眼光观察和语言表达现实问题。

5.1.1 从算式到方程（第35课时） 一、学习目标（核心素养） 1. 数学抽象：通过对实际问题的分析，理解方程、一元一次方程的概念，发展抽象思维能力。 2. 数学建模：能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 3. 数学运算：理解方程的解的概念，能判断一个数是不是某个一元一次方程的解。 4. 数学思维：经历从算式到方程的过程，感受代数方法的优越性，从算术思维过渡到代数思维。 二、重点难点 重点 一元一次方程的概念及其判断 根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程 方程的解的概念与检验 难点 从实际问题中准确找出等量关系 理解一元一次方程概念中的三个要素（一元、一次、整式） 三、情境导入 【问题情境】 小明帮老师买笔记本作为奖品。如果买5本，还剩3元；如果买7本，还差2元。请问每本笔记本多少钱？ 【方法对比】 方法一（算术方法）： 买5本剩3元，买7本差2元 → 多买2本需要5元 → 每本2.5元 方法二（方程方法）： 设每本笔记本x元，则小明带的钱数可以表示为： 买5本剩3元：5x + 3（元） 买7本差2元：7x - 2（元） 因为钱数不变，所以：5x + 3 = 7x - 2 思考： 两种方法有什么不同？方程方法有什么优势？ 什么叫方程？方程必须满足什么条件？ 四、合作探究 探究一：方程的概念 观察下面的式子，回答问题： 2 + 3 = 5 2x + 1 = 5 3 + x > 7 x + y = 9 2x² = 8 = 2 3x - 2y = 6 5 = 5 问题1：哪些是等式？哪些不是等式？ 问题2：等式中哪些含有未知数？哪些不含？ 问题3：什么叫方程？方程与等式是什么关系？ 归纳总结： 定义：含有未知数的等式叫做方程。 两个要素：① 是等式；② 含有未知数。两者缺一不可。 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。 探究二：一元一次方程的概念 观察下列方程，它们有什么共同特点？ ① 2x + 1 = 5 ② 3y - 7 = 2y ③ 5(x - 2) = 10 ④ x + 3 = 7 ⑤ 0.3t + 2 = 0.5t ⑥ x = 3 特点分析： ① 每个方程都只含有______个未知数； ② 未知数的次数都是______； ③ 等号两边都是______式。 一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 三个要素：① 只含一个未知数（一元）；② 未知数次数为1（一次）；③ 是整式方程。 探究三：方程的解与解方程 当x = 2时，方程2x + 1 = 5的左边 = 2×2 + 1 = 5，右边 = 5，左边 = 右边，所以x = 2是方程2x + 1 = 5的解。 当x = 3时，左边 = 2×3 + 1 = 7，右边 = 5，左边 ≠ 右边，所以x = 3不是方程2x + 1 = 5的解。 概念辨析： 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 检验方法：将数值代入方程左右两边，看是否相等。 五、典型例题 题型一：判断一元一次方程 【例1】下列各式中，哪些是一元一次方程？ (1) 2x + 1 = 3 (2) x² + 2x = 3 (3) x + y = 7 (4) + 3 = 5 (5) 3(x - 1) = 6 (6) 2x + 3 > 5 (7) x - 1 = 0 (8) x = 0 (9) xy - 1 = 3 分析： 根据一元一次方程的三要素判断： (1) 满足三要素，是一元一次方程； (2) x的最高次数是2，不是一次，不是； (3) 含有x和y两个未知数，不是一元，不是； (4) 分母含未知数，不是整式方程，不是； (5) 去括号后为3x - 3 = 6，满足三要素，是； (6) 是不等式，不是等式，不是方程； (7) 满足三要素，是一元一次方程； (8) 满足三要素，是最简的一元一次方程； (9) 含两个未知数且次数为2，不是。 解：(1)(5)(7)(8)是一元一次方程。 题型二：根据题意列方程 【例2】根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为x cm，根据周长公式，列方程：4x = 24 (2) 某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：设这个学校有x名学生，女生人数为0.52x，男生人数为0.48x， 根据女生比男生多80人，列方程：0.52x - 0.48x = 80 (3) 某班同学为希望工程捐款，每人平均捐2.5元，共捐了125元，这个班有多少人？ 解：设这个班有x人，根据总捐款数 = 人均捐款 × 人数， 列方程：2.5x = 125 题型三：方程的解的检验 【例3】检验x = 2和x = 3是不是方程3x - 2 = 2x + 1的解。 解：(1) 当x = 2时， 左边 = 3×2 - 2 = 4， 右边 = 2×2 + 1 = 5， 因为左边 ≠ 右边，所以x = 2不是方程的解。 (2) 当x = 3时， 左边 = 3×3 - 2 = 7， 右边 = 2×3 + 1 = 7， 因为左边 = 右边，所以x = 3是方程的解。 方法总结： 检验方程解的步骤：代入 → 计算左边 → 计算右边 → 比较 → 判断 注意：必须分别代入两边计算，不能直接代入等号两边相等。 六、错误诊所 易错点1：混淆方程与等式的概念 【错例】判断：等式就是方程。（ √ ） 【诊断】方程必须含有未知数，等式不一定含有未知数。如2 + 3 = 5是等式，但不是方程。 【正解】× 易错点2：忽略一元一次方程的次数要求 【错例】判断：2x² + 3x = 5是一元一次方程。（ √ ） 【诊断】未知数x的最高次数是2，不是1，所以是一元二次方程，不是一元一次方程。 【正解】× 易错点3：忽略整式方程的要求 【错例】判断： + 2 = 5是一元一次方程。（ √ ） 【诊断】分母中含有未知数，不是整式方程，所以不是一元一次方程（它是分式方程）。 【正解】× 易错点4：设未知数时漏写单位 【错例】设小明的年龄为x。 【诊断】设未知数时要写清单位，正确的说法是'设小明的年龄为x岁'。 【正解】设小明的年龄为x岁。 七、达标检测 ★ 基础达标（必做） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. 2 + 3 = 5 B. 2x + 1 C. 2x + 1 = 5 D. 2x > 3 2. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） D. = 3 3. 方程2x - 1 = 3的解是（ ） A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4 4. 列方程（不求解）： (1) x的2倍与3的和等于11； (2) 比x的3倍小5的数等于10； (3) 某数的一半比它的2倍少6。 ★★ 能力提升（选做） 5. 若关于x的方程2 + 3 = 5是一元一次方程，则m = _______。 6. 检验x = -2是不是方程3x + 5 = -1的解。 7. 根据实际问题列方程： 甲、乙两地相距120km，一辆汽车从甲地出发开往乙地，， 问几小时后到达乙地？（设x小时后到达） ★★★ 拓展探究（选做） 8. 已知x = 2是关于x的方程2x + a = 5的解，求a的值。 9. 请你写出一个解为x = -1的一元一次方程：________________。 10. （古代问题）鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？ （设鸡有x只，只列方程不求解） 八、中考链接 1. （2024·湖南模拟）下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x² - 4x = 3 B. x = 0 C. x + 2y = 1 D. x - 1 = 2. （2023·广西中考）方程x + 2 = 1的解是（ ） A. x = 3 B. x = -3 C. x = 1 D. x = -1 3. （2024·四川模拟）若x = 1是关于x的方程2x + a = 0的解，则a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 九、数学文化 方程的历史 方程的概念最早可以追溯到古代埃及和巴比伦。早在公元前2000年左右，古巴比伦人就已经会解一元一次方程了。 我国古代数学著作《九章算术》中也有关于方程的记载，其中的'方程'章专门讨论了一次方程组的解法， 比西方早了一千多年。 “方程”一词来源于我国古代数学，在《九章算术》中，“方”指的是并列的算筹，“程”指的是测算， “方程”就是把算筹排列成方阵来进行测算的意思，相当于现在的方程组。 在西方，方程（equation）一词来源于拉丁语，原意是“相等”的意思。法国数学家韦达在16世纪创立了代数符号， 使得方程的表达更加简洁明了。后来笛卡儿等人进一步完善了代数符号系统，形成了我们今天使用的方程表达方式。 十、小结反思 知识要点 内容总结 方程的概念 含有未知数的等式叫做方程。两个要素：等式、含未知数。 一元一次方程 三要素：只含一个未知数、未知数次数为1、是整式方程。 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。检验方法：代入计算，比较左右。 列方程步骤 审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 下列各式中，哪些是一元一次方程？ (1) 2x + 1 = 3 (2) x² + 2x = 3 (3) x + y = 7 (4) + 3 = 5 (5) 3(x - 1) = 6 (6) 2x + 3 > 5 (7) x - 1 = 0 (8) x = 0 (9) xy - 1 = 3 分析： 根据一元一次方程的三要素判断： (1) 满足三要素，是一元一次方程； (2) x的最高次数是2，不是一次，不是； (3) 含有x和y两个未知数，不是一元，不是； (4) 分母含未知数，不是整式方程，不是； (5) 去括号后为3x - 3 = 6，满足三要素，是； (6) 是不等式，不是等式，不是方程； (7) 满足三要素，是一元一次方程； (8) 满足三要素，是最简的一元一次方程； (9) 含两个未知数且次数为2，不是。 解：(1)(5)(7)(8)是一元一次方程。 题型二：根据题意列方程 【例2】 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为x cm，根据周长公式，列方程：4x = 24 (2) 某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：设这个学校有x名学生，女生人数为0.52x，男生人数为0.48x， 根据女生比男生多80人，列方程：0.52x - 0.48x = 80 (3) 某班同学为希望工程捐款，每人平均捐2.5元，共捐了125元，这个班有多少人？ 解：设这个班有x人，根据总捐款数 = 人均捐款 × 人数， 列方程：2.5x = 125 题型三：方程的解的检验 【例3】 检验x = 2和x = 3是不是方程3x - 2 = 2x + 1的解。 解：(1) 当x = 2时， 左边 = 3×2 - 2 = 4， 右边 = 2×2 + 1 = 5， 因为左边 ≠ 右边，所以x = 2不是方程的解。 (2) 当x = 3时， 左边 = 3×3 - 2 = 7， 右边 = 2×3 + 1 = 7， 因为左边 = 右边，所以x = 3是方程的解。 一、基础达标 1. C 2. C 3. B 4. (1) 2x + 3 = 11 (2) 3x - 5 = 10 (3) 设某数为x，x = 2x - 6 二、能力提升 5. 2 提示：由m - 1 = 1得m = 2 6. 是。左边 = 3×(-2) + 5 = -1 = 右边，所以x = -2是方程的解。 7. 60x = 120 三、拓展探究 8. 解：将x = 2代入方程2x + a = 5，得2×2 + a = 5，解得a = 1。 9. 答案不唯一，如2x = -2，x + 1 = 0等。 10. 2x + 4(35 - x) = 94 （提示：鸡有2只脚，兔有4只脚，总脚数为94） 四、中考链接 1. B 提示：A是二次方程，C是二元方程，D是分式方程 2. D 3. B 提示：将x = 1代入得2 + a = 0，a = -2 学科网（北京）股份有限公司 $