2.1.2 有理数的减法 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.1.2 有理数的减法 【学习目标】 1、理解有理数减法和加法互为逆运算，推导并熟记有理数减法法则。 2、掌握 “两变一不变” 的运算规则，能把减法运算转化为加法运算，熟练计算任意有理数的减法。 3、学会将有理数加减混合算式统一写成代数和的形式，利用加法运算律简便运算。 4、运用有理数减法解决温差、海拔差、差值比较等实际应用题，体会转化（化归）的数学思想。 【学习重难点】 重点：有理数减法法则；减法转加法的运算方法；加减混合的化简计算。 难点：准确区分运算符号与性质符号；负数减负数、0 减负数的运算易错点；省略括号的代数和读法与计算。 【课前温故（知识回顾）】 1、相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 例：5 的相反数是 ，-3.6 的相反数是 ，0 的相反数是 。 2、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，绝对值相加； ②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得 0； ③任何数加 0，仍等于本身。 3、加法运算律： 交换律：；结合律：。 第一部分：新知探究（第 1 课时 有理数的减法法则） 探究情境：温差问题 某地当日气温：最高，最低，温差 = 最高气温最低气温，列式：。 思考：几加上等于 3？易得 ，因此： 规律总结（核心知识点 1：减法法则） 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：（ 可为正数、负数、0） 运算口诀：两变、一不变 1、一变（运算符号）：减号 变成加号 2、二变（数字符号）：减数改成它的相反数 3、一不变：被减数保持原样，绝对不能改动 分类细化知识点（四种减法题型） 1、正数减正数： 2、正数减负数： 3、负数减正数： 4、负数减负数： 5、特殊值：0 减去任意数，结果等于这个数的相反数 ； 任意数减 0，结果还是它本身： 易错点辨析（必记） 1、减法没有交换律：，被减数和减数不能互换位置； 2、符号区分：式子中，前面的符号，运算转化后只修改减数的性质符号； 3、不要漏变符号：很多错误只改了减号，忘记把负数的负号变正。 典例精讲（例 1） 计算下列各式： (1) 解：原式 (2) 解：原式 (3) 解：原式 (4) 解：原式 课堂小练（基础题） 1、 2、 3、 4、 第二部分：第 2 课时 有理数加减混合运算（知识点拓展） 核心知识点 2：加减混合统一成加法 所有加减混合算式，全部利用减法法则，改写为纯加法算式，这个形式叫做代数和。 举例： 第一步：全部转换成加法 第二步：省略括号和前面的加号，简写为： 读法：负 20、正 3、正 5、负 7 的和；也可读成：负 20 加 3 加 5 减 7 代数和简便运算技巧（结合加法运算律） 分组原则： 1、负数全部结合在一起，正数全部结合在一起； 2、互为相反数的项优先结合凑 0； 3、小数、分数各自归类，方便计算。 典例精讲（例 2） 计算： 解：原式 实际应用知识点 求两个量的差值（高度差、温度差、分数差），统一用：大数 - 小数，列式用减法计算海拔 / 气温差距。 例题：珠峰海拔 8848.86m，死海海拔 - 432m，求高度差： 米 第三部分：本节完整知识点汇总 1、减法本质：减法是加法的逆运算，有理数减法全部可以转化为加法运算（转化思想）。 2、固定公式：，严格遵守 “两变一不变” 规则。 3、特殊运算规律： ①； ②； ③。 4、加减混合运算步骤： ① 把所有减号转化为加号，减数取反； ② 写成省略括号的代数和形式； ③ 运用加法交换律、结合律分组简便计算； ④ 最后按照有理数加法法则算出结果。 5、解题万能步骤：先变形，再定号，最后算绝对值。 第四部分：分层课后练习题 A 组（基础过关） 1、计算： (1) (2) (3) (4) 答案：(1)-5；(2)-10；(3)-13；(4)-10 B 组（混合运算） 2、化简并计算： 解：原式 C 组（应用题） 3、某日早间气温，中午升高，晚间又下降，晚间气温是多少？ 列式： 【易错警示专栏】 常见错误写法：（错误，没有把减数变相反数） 正确写法： 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 2．设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a﹣b+c＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．计算（）的结果为（　　） A． B． C． D． 4．若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（　　） A．5或1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．﹣5或﹣1 5．在下列变形中，错误的是（　　） A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5 B．（3）﹣（5）35 C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c 6．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论： ①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|， 其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 7．一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，则半夜的气温是（　　） A．4℃ B．﹣5℃ C．13℃ D．﹣13℃ 8．有人用600元买了一匹马，又以700元的价钱卖了出去；然后，他再用800元把它买回来，最后以900元的价钱卖出．在这桩马的交易中，他（　　） A．收支平衡 B．赚了100元 C．赚了300元 D．赚了200元 9．若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数，则x﹣z+y﹣w的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2 10．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．6+3＝9 B．﹣6﹣3＝﹣9 C．6﹣3＝3 D．﹣6+3＝﹣3 二．填空题（共5小题） 11．已知，|a|＝﹣a，1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝　 　 ． 12．一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理活动兴趣小组的有　 　 人． 13．分别输入﹣1，﹣2，按图所示的程序运算，则输出的结果依次是 　 　 、　 　 ． 14．若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝　 　 ． 15．已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则（a+b）﹣（b﹣a）＝　 　 ． 三．解答题（共4小题） 16．计算 （1）﹣9+5﹣（﹣12）+（﹣3） （2）﹣（+1.5）﹣（﹣4）+3.75﹣（+8） 17．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|． 18．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 19．【阅读】|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离． （1）|4﹣（﹣1）|＝　 　 ； （2）|5+2|＝　 　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|＝5，则x＝　 　 ． （4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣2|＝5，这样的整数是：　 　 ． 2.1.2 有理数的减法 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7． 故选：C． 2．【解答】解：由题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝0， ∴a﹣b+c＝1． 故选：C． 3．【解答】解：（）． 故选：A． 4．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝±3，b＝±2； ∵a+b＞0， ∴a＝3，b＝±2． 当a＝3，b＝﹣2时，a﹣b＝5； 当a＝3，b＝2时，a﹣b＝1． 故a﹣b的值为5或1． 故选：A． 5．【解答】解：A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5，本选项正确； B．（3）﹣（5）35，本选项错误； C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，本选项正确； D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，本选项正确； 故选：B． 6．【解答】解：∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜0， ∴①符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜0， ∴a﹣b＞0， ∴②不符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴③符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴|a|＜|b|， ∴④符合题意， ∴结论正确的有3个：①、③、④． 故选：C． 7．【解答】解：由题意可得：﹣7+11﹣9＝11﹣7﹣9＝4﹣9＝﹣5（℃）， 故选：B． 8．【解答】解：设买马的钱为“﹣”，卖马的钱为“+”， 则根据题意可得﹣600+700﹣800+900＝200． ∴在这桩马的交易中，他赚了200元． 故选：D． 9．【解答】解：根据题意得：x＝﹣1，y＝1，z＝0，w＝0， 则x﹣z+y﹣w＝﹣1﹣0+1﹣0＝0． 故选：A． 10．【解答】解：由题意可知：﹣6+3＝﹣3， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵|a|＝﹣a，1，|c|＝c， ∴a为非正数，b为负数，c为非负数， ∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0， 则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c， 故答案为：﹣2c 12．【解答】解：∵没有参加数学小组的人：44﹣38＝6人， 没有参加物理小组的人：44﹣35＝9人， ∴两者都参加的有：44﹣（6+9）＝29人． 13．【解答】解：当输入﹣1时， 输出的结果＝﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝﹣1+4+3﹣5＝1； 当输入﹣2时，输出的结果＝﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝﹣2+4+3﹣5＝0． 故答案为：1，0． 14．【解答】解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20， ∴x＝±11，y＝±14，z＝±20． ∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z）， ∴x+y≥0，y+z≤0． ∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14． ∵y+z≤0， ∴z＝﹣20． 当x＝11，y＝14，z＝﹣20时， x+y﹣z＝11+14+20＝45； 当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时， x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23． 故答案为：45或23． 15．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1， 则原式＝a+b﹣b+a＝2a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 三．解答题（共4小题） 16．【解答】解：（1）﹣9+5﹣（﹣12）+（﹣3） ＝﹣9+5+12﹣3 ＝5； （2）﹣（+1.5）﹣（﹣4）+3.75﹣（+8） ＝﹣1438 ＝（﹣18）+（43） ＝﹣10+8 ＝﹣2． 17．【解答】解：由题意得：b＜c＜﹣1＜0＜1＜a， ∴原式＝﹣c﹣a﹣b+a ＝﹣c﹣b． 18．【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20， ∴B地在A地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；14﹣9＝5千米； 14﹣9+8＝13千米； 14﹣9+8﹣7＝6千米； 14﹣9+8﹣7+13＝19千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|＝74千米， 应耗油74×0.5＝37（升）， 故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升） 19．【解答】解：（1）|4﹣（﹣1）|＝5； （2）|5+2|＝7； （3）∵|x+3|＝5， ∴x+3＝±5， ∴x＝2或﹣8， （4）∵﹣3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5， ∴使得|x+3|+|x﹣2|＝5成立的整数是﹣3和2之间的所有整数（包括﹣3和2）， ∴这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2． 故答案为：5；7；2或﹣8；﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2． 学科网（北京）股份有限公司 $