5.2.4 去分母学案 人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“解一元一次方程（四）——去分母”，通过《孙子算经》“荡杯问题”情境导入，引导学生对比分数系数与整数系数方程差异，建立新旧知识联系，为掌握去分母方法搭建学习支架。 资料突出核心素养培养，通过去分母依据等式性质2强化逻辑推理，错误诊所针对性解决漏乘、忘加括号等问题提升运算能力，结合数学文化（丢番图墓志铭）和中考链接，帮助学生用数学语言表达现实问题，分层检测设计助力学生自主学习与能力提升。

5.2.4 解一元一次方程（四）——去分母 一、学习目标 1. 理解去分母的依据，掌握去分母的方法，能正确地去分母解一元一次方程。 2. 掌握解一元一次方程的一般步骤，能灵活选择解法。 3. 培养运算能力，体会转化的数学思想（把分数系数化为整数系数）。 【核心素养】 • 运算能力：通过去分母解方程，提高运算的准确性和熟练度 • 数学抽象：从具体方程中抽象出去分母的一般方法 • 逻辑推理：理解等式性质2在去分母中的应用 二、重难点 【重点】去分母的方法；解一元一次方程的一般步骤。 【难点】正确找各分母的最小公倍数；去分母时不要漏乘不含分母的项；分数线的括号作用。 三、情境导入 【古代数学问题】 《孙子算经》中有这样一道题："今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？" 大意是：有一位妇女在河边洗碗，管理渡口的官吏问她：为什么洗这么多碗？妇女回答：家里来了客人。官吏又问：来了多少客人？妇女说：2个人共用1个饭碗，3个人共用1个汤碗，4个人共用1个肉碗，一共用了65个碗，我不知道有多少客人。 【问题】 如果设客人有x人，你能列出方程吗？ 列方程：_________________________________ 观察与思考： • 这个方程与我们之前学的方程有什么不同？（系数是分数） • 你有什么办法把分数系数变成整数系数，让方程更容易解？ 四、合作探究 探究一：去分母的方法 解方程： x - = 1 【思考】 （1）这个方程中各分母的最小公倍数是多少？ （2）根据等式的性质2，方程两边同时乘同一个数，结果仍相等。如果方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，会发生什么？ 去分母的定义 方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分数系数化为整数系数，这个变形叫做去分母。 依据：等式的性质2（等式两边乘同一个数，结果仍相等） 【尝试】请你用去分母的方法解上面的方程： 解：方程两边同时乘______，得 ___________________________ （继续往下解） 探究二：去分母的注意事项 解方程： 3x + = 2 - 2x - 去分母的三个注意： • 1. 先找各分母的最小公倍数（不是随便乘一个数） • 2. 方程两边每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项 • 3. 分数线具有括号作用，去分母后分子是多项式时要加括号 五、典型例题 【例1】去分母解方程 解方程： - = 1 解：两边同乘____（各分母2和6的最小公倍数），得 ________ - ________ = ________ 合并同类项，得 ________ = ________ 系数化为1，得 x = ________ 【例2】含常数项的去分母 解方程： - 1 = 【分析】方程两边有分母2和3，最小公倍数是6。注意：常数项-1不含分母，去分母时也要乘6！ 解：两边同乘6，得 ________ - ________ = ________ （继续往下解） 【例3】分子是多项式的去分母 解方程：x+ - 1 = 2 + 【分析】分子x+1和2-x都是多项式，去分母后要把分子作为整体加括号。 解：两边同乘4，得 ________ - ________ = ________ + ________ 去括号，得 ___________________________ （继续往下解） 方法总结 解一元一次方程的步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 解方程时要根据方程特点灵活选择步骤，不一定每步都用到。 六、错误诊所 错误案例 错误分析 正确解答 解方程 - 1 = 去分母：3x - 1 = 2x 漏乘常数项-1， -1也要乘6 3x - 6 = 2x x = 6 解方程 = 1 去分母：x -1 = 1 没有加括号， 分数线有括号作用 x - 1 = 2 x = 3 解方程 x + = 1 去分母：2x + 1 = 1 漏乘常数项1， 1也要乘4 2x + 1 = 4 x = 七、达标检测 基础过关 1. 方程 + = 1 去分母正确的是（ ） A. x + x = 1 B. 3x + 2x = 1 C. 3x + 2x = 6 D. 2x + 3x = 6 2. 方程 (x = 1 去分母得（ ） A. x - 1 = 1 B. x - = 1 C. x - 1 = 3 D. - 1 = 1 3. 解下列方程： (1) + 1 = 3 (2) - = 1 (3) (x+ = 1 能力提升 4. 解方程： = - 1 解： 5. 解方程：x - = 2 - 解： 6. 当x取何值时，代数式 - 和 + 1 的值相等？ 解： ★★★ 拓展探究（挑战） 7. 解方程：(){[( x - 1) - 1] - 1} = 1 解： （提示：可以从外向内逐层去分母，或从内向外逐层去括号，比较哪种方法更简便） 8. 回到情境导入的"荡杯问题"：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。问客几何？ 请列出方程并求解。 八、中考链接 1. （2024·湖南长沙模拟）方程 - 1 = 2 的解是（ ） 解： A. x = 2 B. x = 3 C. x = 5 D. x = 6 2. （2024·江苏苏州）若 x = 2 是关于x的方程 + a = 1 的解，则a的值为（ ） 解： A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. （2023·浙江杭州）解方程： + = 1 解： 九、数学文化 丢番图的墓志铭 古希腊数学家丢番图（Diophantus，约公元246—330年）被称为"代数学之父"，他的墓志铭非常特别，是一道数学题： 丢番图的墓志铭 "过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？" 【挑战】你能根据这段墓志铭，列方程算出丢番图的年龄吗？ 小知识 • 丢番图是第一个系统使用代数符号的数学家，他的著作《算术》对后世影响深远。 • 法国数学家费马在阅读《算术》时，在页边写下了著名的'费马大定理'。 十、小结与反思 知识要点 具体内容 去分母的依据 等式的性质2 去分母的关键 找各分母的最小公倍数 去分母三注意 ①不要漏乘不含分母的项 ②分数线有括号作用，分子要加括号 ③两边每一项都要乘 解方程一般步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 数学思想 转化思想（分数系数→整数系数） 【我的反思】 1. 我在去分母时最容易犯的错误是：___________________________ 2. 我打算怎样避免这些错误：_______________________________ 3. 我还有哪些不理解的地方：_______________________________ 参考答案 三、情境导入 列方程： + + = 65 四、合作探究 探究一 答案： （1）分母2和3的最小公倍数是6 （2）两边乘6后，分数系数变成整数系数 解方程： x - = 1 解：两边同乘6，得 3x - 2 = 6 移项，得 3x = 6 + 2 合并同类项，得 3x = 8 系数化为1，得 x = 五、典型例题 【例1】x = 3 【例2】x = -6（注意：去分母时-1也要乘6，得3x - 6 = 4x） 【例3】x = 4（去分母：2(x+1) - 4 = 8 + (2-x) → 2x+2-4 = 8+2-x → 3x = 12 → x=4） 六、错误诊所 表格中的正确答案见右列。 七、达标检测 1. C （两边同乘6，得3x + 2x = 6） 2. C （两边同乘3，得x - 1 = 3） 3. (1) x = 4 (2) x = -6 (3) x = 2 4. x = （去分母：4(2x-1) = 3(x+2) - 12 → 8x-4 = 3x+6-12 → 5x = -2 → x=） 5. x = 1 （去分母：6x - 3(x-1) = 12 - 2(x+2) → 6x-3x+3 = 12-2x-4 → 5x = 5 → x=1） 6. x = -8 （列方程： - = + 1 → 3x - 2 = 4x + 6 → x = -8） 7. x = 30 （从外向内逐层乘2：{...}=1 → {...}=2 → [...]-1=2 → [...]=6 → ...→ x=30） 8. 设有x位客人。 + + = 65，解得x = 60。答：有60位客人。 八、中考链接 1. D （ - 1 = 2 → = 3 → x = 6） 2. A （把x=2代入： + a = 1 → 1 + a = 1 → a = 0） 3. x = （去分母：3(x-3) + 2(2x-1) = 6 → 3x-9+4x-2 = 6 → 7x = 17 → x = ） 九、数学文化 丢番图年龄：设丢番图活了x岁。 + + + 5 + + 4 = x 去分母（最小公倍数84）：14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x 75x + 756 = 84x 9x = 756 x = 84 答：丢番图活了84岁。 学科网（北京）股份有限公司 $