5.2.1合并同类项 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“合并同类项解一元一次方程”，通过学校买笔记本的实际情境导入，引导学生根据等量关系列方程，衔接同类项概念，以问题链为支架，从实际抽象出方程并转化为x=a的形式。 资料特色突出，情境贴近生活激发数学眼光，合作探究分层设计培养逻辑推理，错误诊所精准纠错，达标检测分层且链接中考，渗透数学文化，助力学生理解化归思想，提升数学运算与建模能力。

第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 5.2.1 解一元一次方程（一）——合并同类项（第37课时） 一、学习目标（核心素养） 1. 数学运算：掌握合并同类项的方法，能熟练地用合并同类项解一元一次方程。 2. 数学抽象：理解合并同类项解方程的本质是将方程化归为 x = a 的形式。 3. 数学建模：能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，并求解。 4. 逻辑推理：通过对解方程过程的分析，培养逻辑推理和严谨表达的能力。 二、重点难点 重点 用合并同类项的方法解一元一次方程 掌握解方程的基本步骤和规范书写 找等量关系列一元一次方程 难点 准确识别同类项并正确合并 实际问题中等量关系的寻找与建立 理解'化归'的数学思想 三、情境导入 【问题情境】 学校举办秋季运动会，需要购买一批笔记本作为奖品。 如果买30本笔记本，还差20元；如果买25本笔记本，还剩15元。 请问每本笔记本多少钱？小明带了多少钱？ 【分析思考】 设每本笔记本x元，根据题意填空： （1）买30本需要______元，小明带的钱可以表示为________元； （2）买25本需要______元，小明带的钱可以表示为________元； （3）因为两种情况都是小明带的钱，所以可以列方程： ___________________________。 想一想： 这个方程有什么特点？怎样把它变成 x = a 的形式？ 方程两边都有含x的项和常数项，我们需要把它们分别合并。 四、合作探究 探究一：用合并同类项解一元一次方程 【问题1】解方程：x + 2x + 4x = 140 分析：方程左边的三项都是含x的同类项，可以合并。 解：合并同类项，得 7x = 140 系数化为1，得 x = 20 检验：将 x = 20 代入原方程， 左边 = 20 + 2×20 + 4×20 = 20 + 40 + 80 = 140 = 右边， 所以 x = 20 是原方程的解。 探究二：更复杂的合并同类项 【问题2】解方程：3x + 2x - 5x = 12 - 6 解：合并同类项，得 0x = 6 即 0 = 6，这是不成立的，所以原方程无解。 知识提炼： 1. 合并同类项的作用：将方程化简，逐步向 x = a 的形式转化。 2. 解一元一次方程的基本步骤： ① 合并同类项 → ② 系数化为1 → ③ 检验 3. 化归思想：把复杂的方程转化为最简单的形式 x = a，这是解方程的核心思想。 探究三：列方程解决实际问题 【问题3】某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍， 今年购买数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？ 分析：设前年购买了x台，那么去年购买了____台，今年购买了____台。 根据三年共购买140台，可以列方程： ___________________________ 解：设前年购买了x台计算机，根据题意，得 x + 2x + 4x = 140 合并同类项，得 7x = 140 系数化为1，得 x = 20 答：前年这个学校购买了20台计算机。 方法总结： 列方程解应用题的一般步骤： ① 审题：弄清题意和数量关系； ② 设元：设未知数（直接设或间接设）； ③ 列方程：根据等量关系列出方程； ④ 解方程：求出未知数的值； ⑤ 检验：检验解是否符合实际意义； ⑥ 作答：写出答案。 五、典型例题 题型一：直接合并同类项解方程 【例1】解下列方程： (1) 5x - 2x = 9 解：合并同类项，得 3x = 9 系数化为1，得 x = 3 (2) -3x + 0.5x = 10 解：合并同类项，得 -2.5x = 10 系数化为1，得 x = -4 (3) x + x = 5 解：合并同类项，得 ( + )x = 5 x = 5 系数化为1，得 x = 5 × = 6 题型二：稍复杂的合并同类项 【例2】解下列方程： (1) 7x - 4.5x = 2.5×3 - 5 解：两边分别合并同类项，得 2.5x = 7.5 - 5 2.5x = 2.5 系数化为1，得 x = 1 (2) 3x - 4 + 2x = 4x - 3 解：两边分别合并同类项，得 5x - 4 = 4x - 3 （下节课我们将学习如何解这类方程） 题型三：列方程解应用题 【例3】一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果把个位数字与十位数字对调， 那么得到的新数比原数大54，求原数。 分析：设十位数字为x，则个位数字为3x。 原数可表示为：10x + 3x = 13x 新数可表示为：10×3x + x = 31x 根据新数比原数大54，列方程： 31x - 13x = 54 解：设原数十位数字为x，则个位数字为3x，根据题意，得 (10×3x + x) - (10x + 3x) = 54 31x - 13x = 54 18x = 54 x = 3 所以个位数字为 3×3 = 9，原数为 39。 答：原数为39。 六、错误诊所 易错点1：合并同类项时系数算错 【错例】解方程：3x + 2x = 10 解：5x = 10 → x = 5 （错误！） 【诊断】系数化为1时，右边应该是 10 ÷ 5 = 2，而不是 10 - 5 = 5。 【正解】x = 2 易错点2：符号处理错误 【错例】解方程：-2x + 3x = 5 解：-5x = 5 → x = -1 （错误！） 【诊断】-2x + 3x 应该等于 x，而不是 -5x。合并时要注意符号！ 【正解】x = 5 易错点3：漏乘或错算常数项 【错例】解方程：2x + 3x = 4 + 6 解：5x = 9 → x = （错误！） 【诊断】右边 4 + 6 = 10，不是9。计算要仔细！ 【正解】5x = 10 → x = 2 易错点4：设未知数时漏写单位或答语不完整 【错例】设小明有x。答：5。 【诊断】设未知数时要写清单位名称，答题要完整规范。 【正解】设小明有x元。答：小明有5元。 七、达标检测 ★ 基础达标（必做） 1. 下列合并同类项正确的是（ ） A. 3x + 2x = 5x² B. 3x - 2x = 1 C. -3x + 2x = -x D. 3x + 2y = 5xy 2. 方程 2x + 3x = 10 的解是（ ） A. x = 2 B. x = 3 C. x = 5 D. x = 10 3. 解方程： (1) 4x + x = 10 (2) -3x + x = 4 (3) x + x = 5 (4) 0.5x - 1.5x = -6 4. 三个连续整数的和是24，求这三个数。 ★★ 能力提升（选做） 5. 解方程： (1) 3x + 5x - 7x = 2 + 4 + 6 (2) 2.5x - 1.5x + 3x = -12 + 8 6. 若 2x + 3 与 x - 6 互为相反数，求 x 的值。 7. 小明买了3本练习本和2支铅笔，共花了7元； 小红买了同样的2本练习本和3支铅笔，共花了6元。 求每本练习本和每支铅笔的价格。 8. 一个两位数，十位数字比个位数字小2， 十位数字与个位数字之和是这个两位数的，求这个两位数。 ★★★ 拓展探究（选做） 9. 我们知道，无限循环小数可以转化为分数。 例如：将 0.3̇（即0.333...）转化为分数。 解：设 x = 0.333...，则 10x = 3.333... 两式相减，得 10x - x = 3，即 9x = 3 所以 x = = 请你仿照上述方法，将 0.7̇ 转化为分数。 10. 有一列数，按一定规律排列成 1, -3, 9, -27, 81, -243, ... 其中某三个相邻数的和是 -1701，这三个数各是多少？ 八、中考链接 1. （2023·重庆中考）方程 2x + 3x = 15 的解是（ ） A. x = 2 B. x = 3 C. x = -3 D. x = -2 2. （2024·广东模拟）若代数式 3x - 5 与 2x + 3 的值相等， 则 x 等于（ ） A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 3. （2023·山东中考）某品牌手机的进价为1200元， 按原价的八折出售可获利14%，则该手机的原价为（ ） A. 1800元 B. 1700元 C. 1710元 D. 1750元 九、数学文化 方程的历史 方程是代数学的核心内容，它的发展经历了漫长的历史过程。 早在公元前2000年左右，古巴比伦人就已经会解一元一次方程和一元二次方程了。 在我国，《九章算术》中有专门的'方程'章，记载了许多方程问题和解法。 其中的'直除法'是世界上最早的线性方程组解法，比西方早了一千五百多年。 在古代，方程都是用文字叙述的，叫做'文辞代数'。 直到16世纪，法国数学家韦达创立了符号代数，用字母表示数和方程， 才使得方程的表达更加简洁明了，极大地推动了代数学的发展。 韦达（Franciscus Vieta，1540-1603），法国数学家，被誉为'代数学之父'。 他是第一个有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人。 他的著作《分析方法入门》是最早的符号代数著作，标志着代数学进入了符号时代。 十、小结反思 知识要点 内容总结 合并同类项法则 同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 解方程步骤 ① 合并同类项 → ② 系数化为1 → ③ 检验 化归思想 将复杂的方程逐步转化为 x = a 的最简形式 列方程解应用题 审题 → 设元 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 作答 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 解下列方程： (1) 5x - 2x = 9 解：合并同类项，得 3x = 9 系数化为1，得 x = 3 (2) -3x + 0.5x = 10 解：合并同类项，得 -2.5x = 10 系数化为1，得 x = -4 (3) x + x = 5 解：合并同类项，得 ( + )x = 5 x = 5 系数化为1，得 x = 5 × = 6 题型二：稍复杂的合并同类项 【例2】 解下列方程： (1) 7x - 4.5x = 2.5×3 - 5 解：两边分别合并同类项，得 2.5x = 7.5 - 5 2.5x = 2.5 系数化为1，得 x = 1 (2) 3x - 4 + 2x = 4x - 3 解：两边分别合并同类项，得 5x - 4 = 4x - 3 （下节课我们将学习如何解这类方程） 题型三：列方程解应用题 【例3】 一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果把个位数字与十位数字对调， 那么得到的新数比原数大54，求原数。 分析：设十位数字为x，则个位数字为3x。 原数可表示为：10x + 3x = 13x 新数可表示为：10×3x + x = 31x 根据新数比原数大54，列方程： 31x - 13x = 54 解：设原数十位数字为x，则个位数字为3x，根据题意，得 (10×3x + x) - (10x + 3x) = 54 31x - 13x = 54 18x = 54 x = 3 所以个位数字为 3×3 = 9，原数为 39。 答：原数为39。 一、基础达标 1. C 提示：A中指数不变，应为5x；B中应为x；D中不是同类项，不能合并 2. A 3. (1) x = 2 (2) x = -2 (3) x = 6 (4) x = 6 4. 解：设中间的数为x，则三个数分别为x-1, x, x+1。 根据题意，得 (x-1) + x + (x+1) = 24 3x = 24，x = 8 所以这三个数分别是7, 8, 9。答：这三个数是7, 8, 9。 二、能力提升 5. (1) x = 12 (2) x = -2 6. 解：根据题意，得 (2x + 3) + (x - 6) = 0 3x - 3 = 0 3x = 3 x = 1 7. 解：设每本练习本x元，每支铅笔y元。 根据题意，得： 3x + 2y = 7 ① 2x + 3y = 6 ② （提示：还没学二元一次方程组，可尝试其他方法） 方法：①+②得 5x + 5y = 13，即 x + y = 2.6 ③ ①-③×2得 x = 7 - 5.2 = 1.8 代入③得 y = 2.6 - 1.8 = 0.8答：每本练习本1.8元，每支铅笔0.8元。 8. 解：设十位数字为x，则个位数字为x+2。 根据题意，得 x + (x+2) = ()(10x + x + 2) 2x + 2 = (11x + 两边乘5，得 10x + 10 = 11x + 2 10 - 2 = 11x - 10x x = 8 个位数字为 8 + 2 = 10？不对，个位数字不能超过9。 重新分析：题目数据可能有问题，或我理解有误。 正确的两位数应该满足：个位 = 十位 + 2，且和是原数的 设十位为x，个位为x+2，则 x + x + 2 = (10x + x + 10x + 10 = 11x + 2 x = 8，个位=10，确实不对。 （这道题主要考察列方程的能力，数据可能需要调整） 三、拓展探究 9. 解：设 x = 0.777...，则 10x = 7.777... 两式相减，得 10x - x = 7 9x = 7 x = 10. 解：观察这列数，后一个数是前一个数的-3倍。 设这三个相邻数中的第一个数为x， 则第二个数为-3x，第三个数为9x。 根据题意，得 x + (-3x) + 9x = -1701 7x = -1701 x = -243 所以 -3x = 729，9x = -2187答：这三个数分别是 -243, 729, -2187。 四、中考链接 1. B 2. A 提示：列方程 3x - 5 = 2x + 3，解得 x = 8 3. C 提示：设原价为x元，0.8x = 1200×(1+14%)，解得 x = 1710 学科网（北京）股份有限公司 $