5.3.1 配套与工程问题（第41课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元一次方程（一）”，核心内容为配套问题和工程问题。通过家具厂生产桌子的生活情境导入，引导学生思考“恰好配套”的数量关系，以提问形式搭建学习支架，衔接一元一次方程解法与实际应用的知识脉络。 这份导学案设计有合作探究、典型例题、错误诊所及分层达标检测，融入中考链接与数学文化。通过分析等量关系培养数学建模能力，结合解方程提升运算能力，生活情境与实际问题增强应用意识，助力学生自主学习，也便于教师教学评估。

5.3.1 实际问题与一元一次方程（一） ——配套问题、工程问题（第41课时） 人教版2024新版 · 七年级数学上册 · 精品导学案 一、学习目标 1. 能分析配套问题、工程问题中的数量关系，找出等量关系并列方程。 2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤。 3. 培养数学建模能力，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 【核心素养】 • 数学建模：将实际问题转化为一元一次方程模型 • 运算能力：通过解方程提高运算准确性 • 应用意识：体会数学在实际生活中的应用价值 二、重难点 【重点】找到配套问题和工程问题中的等量关系，列出一元一次方程。 【难点】准确分析配套问题中的比例关系；工程问题中把总工作量看作单位"1"。 三、情境导入 【生活情境】 某家具厂要生产一批桌子，每张桌子由1个桌面和4条桌腿组成。已知1立方米木材可做20个桌面或400条桌腿。现有12立方米木材，怎样分配木材才能使桌面和桌腿恰好配套？ 思考： • 什么叫'恰好配套'？桌面数和桌腿数有什么关系？ • 如果设用x立方米做桌面，那么用多少立方米做桌腿？ • 你能找出等量关系并列出方程吗？ 四、合作探究 探究一：配套问题 配套问题的基本关系 配套问题的关键是找到两种部件的数量比例关系。 例如：1个桌面配4条桌腿 → 桌腿数 = 4 × 桌面数 即：桌腿数 : 桌面数 = 4 : 1 【例题分析】 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【分析】 （1）设安排x名工人生产螺钉，则生产螺母的工人有________名。 （2）每天生产螺钉________个，生产螺母________个。 （3）配套关系：螺母数 = ______ × 螺钉数 （4）列方程：_________________________________ 请你写出完整的解题过程： 配套问题解题技巧 • 1. 先明确两种部件的配套比例（如1:2, 1:4等） • 2. 设其中一种量为x，用含x的式子表示另一种量 • 3. 根据比例关系列方程（注意：多的 = 比例 × 少的） • 4. 解方程并检验结果是否符合实际意义 探究二：工程问题 工程问题的基本关系 工作量 = 工作效率 × 工作时间 通常把总工作量看作单位"1" 甲单独做需a天完成，则甲的工作效率为 甲乙合作的工作效率 = 甲的效率 + 乙的效率 【例题分析】 整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现在计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【分析】 （1）把总工作量看作______，每个人的工作效率是______。 （2）设先安排x人工作4小时，则这4小时的工作量是________。 （3）增加2人后，有______人工作8小时，工作量是________。 （4）等量关系：前段工作量 + 后段工作量 = 总工作量 （5）列方程：_________________________________ 请你写出完整的解题过程： 五、典型例题 【例1】配套问题 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 【例2】工程问题 一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成。现在由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程一共需要多少天？ 【例3】综合应用 一个水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲管6小时可注满空池，单开乙管4小时可注满，单开丙管8小时可放完满池水。三管同时开，几小时可注满空池？ 六、错误诊所 错误案例 错误分析 正确解答 配套问题：1个甲配2个乙， 甲有x个，乙有多少个？ 答：乙 = x 比例关系搞反了， 乙是甲的2倍 乙 = 2x 工程问题：甲单独做6天， 乙单独做4天，合作几天？ 列方程：6x + 4x = 1 把工作时间当效率了， 效率是和 ( + )x = 1 x = = 2.4天 总工作量看成10， 总工作量应设为1， 总工作量 = 1， 效率 = 七、达标检测 ★ 基础过关（必做） 1. 某车间有14名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓10个或螺母15个。1个螺栓需要配2个螺母，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母才能刚好配套？ 解： 2. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲乙合作需要几小时完成？ 解： 3. 整理一批数据，由一人做需80小时完成。现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的。怎样安排参与整理数据的具体人数？ 解： ★★ 能力提升（选做） 4. 某服装厂要生产一批某种型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套。计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？ 解： 5. 一项工程，甲单独做需30天完成，乙单独做需50天完成。现在甲、乙合作，且施工期间乙要休息14天，问这项工程需要几天完成？ 解： 6. 有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满；如果单开乙管，5小时注满。如果甲乙两管同时注水20分钟，然后由乙单独注水，问还需要多少时间才能注满？ 解： ★★★ 拓展探究（挑战） 7. 某工厂生产桌子，每张桌子由1个桌面和4条桌腿组成。1立方米木材可做20个桌面或400条桌腿。现有12立方米木材，请你设计一下，用多少木材做桌面，多少木材做桌腿，恰好配成方桌多少张？ 解： 8. 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元。甲、乙两人经商量后签订了该合同。 (1) 正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ (2) 现两人合作完成了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合适些？为什么？ 八、中考链接 1. （2024·安徽）某超市有线上和线下两种销售方式。与2022年相比，该超市2023年销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%。设2022年的销售总额为a，线上销售额为x，请用含a和x的代数式表示2023年线下销售额________。 2. （2023·山东济南）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵、B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵、B种树苗10棵，共花费1060元。求A、B两种树苗的单价。 解： 3. （2024·江苏苏州）某公司生产一种产品，甲车间有30名工人，每人每天可生产2个A型零件或3个B型零件。已知2个A型零件和3个B型零件配成一套。问应安排多少人生产A型零件，才能使每天生产的A、B两种零件恰好配套？ 解： 九、数学文化 《九章算术》中的工程问题 《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，成书于公元1世纪左右，共收录了246个与生产、生活实践相关的应用问题。其中"均输"章中就有许多工程问题和比例问题。 《九章算术》名题欣赏 "今有四人来做工，六日工成九百工。今有八人来做工，九日工成几多工？" 大意：4个人做工，6天完成900个工作量。8个人做工，9天能完成多少工作量？ 【试一试】你能用一元一次方程的知识来解答这道古代数学题吗？ 小知识 • 《九章算术》是当时世界上最先进的应用数学著作，标志着中国古代数学体系的形成。 • 书中的问题大多来源于实际生活，包括土地丈量、粮食交换、工程建设等，体现了中国古代数学注重应用的特点。 十、小结与反思 问题类型 基本等量关系 设元技巧 配套问题 根据配套比例建立等式 （如：螺母数 = 2×螺钉数） 设其中一种量为x， 用总量减x表示另一种量 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 各部分工作量之和 = 总工作量 把总工作量看作1， 效率 = 列方程解应用题的一般步骤： 审（审题）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（检验）→ 答（作答） 【我的反思】 1. 我在解决配套问题时最容易出错的地方是：_______________________ 2. 工程问题中"把总工作量看作单位1"，我的理解是：_________________ 3. 我还有哪些不理解的地方：_________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 配套问题 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 【例2】 工程问题 一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成。现在由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程一共需要多少天？ 【例3】 综合应用 一个水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲管6小时可注满空池，单开乙管4小时可注满，单开丙管8小时可放完满池水。三管同时开，几小时可注满空池？ 三、情境导入 设用x立方米做桌面，则(12-x)立方米做桌腿。 等量关系：桌腿数 = 4 × 桌面数 400(12-x) = 4 × 20x → 4800 - 400x = 80x → 480x = 4800 → x = 10 12 - x = 2 答：用10立方米做桌面，2立方米做桌腿，恰好配成200张桌子。 四、合作探究 探究一（螺钉螺母）： （1）(22-x)名 （2）1200x个，2000(22-x)个 （3）2 （4）2000(22-x) = 2 × 1200x 解得 x = 10，22-x = 12 答：应安排10人生产螺钉，12人生产螺母。 探究二（整理图书）： （1）1， （2） （3）(x+2)人，8(x+ + 8(x+ = 1 → 4x + 8x + 16 = 40 → 12x = 24 → x = 2 答：应先安排2人工作。 五、典型例题 【例1】设用x张制盒身，则(36-x)张制盒底。 盒底数 = 2 × 盒身数 → 40(36-x) = 2 × 25x → 1440 - 40x = 50x → 90x = 1440 → x = 16 36 - x = 20 答：用16张制盒身，20张制盒底。 【例2】设完成这项工程一共需要x天。 甲做了x天，乙做了(x-2)天。 + (x = 1 → 3x + 5(x-2) = 30 → 8x = 40 → x = 5 答：一共需要5天。 【例3】设三管同时开x小时可注满。 甲效率，乙效率，丙效率（出水） ( + - )x = 1 → ( + - )x = 1 → = 1 → x = 答：三管同时开小时可注满。 七、达标检测 1. 设安排x人生产螺栓，则(14-x)人生产螺母。 2 × 10x = 15(14-x) → 20x = 210 - 15x → 35x = 210 → x = 6 14 - x = 8 答：安排6人生产螺栓，8人生产螺母。 2. 设合作需要x小时完成。( + )x = 1 → x = 7.5 答：合作需要7.5小时。 3. 设先安排x人做2小时。 + 8(x+ = 2x + 8x + 40 = 60 → 10x = 20 → x = 2 答：先安排2人做2小时。 4. 设用x米布料生产上衣，则(600-x)米生产裤子。 上衣数量 = 裤子数量 → = 3(600 → 2x = 1800 - 3x → x = 360 600 - x = 240，共能生产 2× = 240套 答：用360米生产上衣，240米生产裤子，共生产240套。 5. 设需要x天完成。 + (x = 1 5x + 3(x-14) = 150 → 8x = 192 → x = 24 答：需要24天完成。 6. 甲管效率.5 = 每小时，乙管效率每小时。 设还需要x小时注满。( + )×() + ()x = 1 × + = 1 → + = 1 → x = 4 答：还需要4小时。 7. 设用x立方米做桌面，则(12-x)立方米做桌腿。 400(12-x) = 4 × 20x → 4800 - 400x = 80x → x = 10 12 - x = 2，可配成 20×10 = 200张 答：用10立方米做桌面，2立方米做桌腿，配成200张方桌。 8. (1) 设合作x天完成。( + )x = 1 → x = 12 12 < 15，能履行合同。 (2) 已完成75%，用时 0.75 ÷ ( + ) = 9天 剩余25%，若甲单独做需 0.25 ÷ = 7.5天，总共9+7.5=16.5>15，违约 若乙单独做需 0.25 ÷ = 5天，总共9+5=14<15，可完成 所以调走甲更合适。 八、中考链接 1. 1.04(a-x) 2. 设A种树苗单价x元，B种y元。 30x + 15y = 1350 ① 24x + 10y = 1060 ② 由①得 2x + y = 90，y = 90 - 2x 代入②：24x + 10(90-2x) = 1060 → 4x = 160 → x = 40，y = 10 答：A种树苗40元，B种10元。 3. 设安排x人生产A型零件，则(30-x)人生产B型零件。 每天生产A型2x个，B型3(30-x)个 配套关系： = → 3A = 2B → 3×2x = 2×3(30-x) 6x = 180 - 6x → 12x = 180 → x = 15 答：应安排15人生产A型零件。 九、数学文化 设每人每天做x个工作量。4×6×x = 900 → x = 37.5 8人9天：8×9×37.5 = 2700个工作量 （或用比例：()×()×900 = 2×1.5×900 = 2700） 学科网（北京）股份有限公司 $