5.2.2移项（第38课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“解一元一次方程（二）——移项”，通过分图书的实际问题情境导入，引导学生列出含x项与常数项在两边的方程，对比上节课知识引出移项需求，搭建旧知到新知的学习支架。 以核心素养为引领，通过合作探究明确移项概念、依据及方法，错误诊所针对性解决变号等易错点，分层达标检测与中考链接强化应用，数学文化渗透学科底蕴，培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模能力，助力自主学习与问题解决。

第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 5.2.2 解一元一次方程（二）——移项（第38课时） 一、学习目标（核心素养） 1. 数学运算：理解移项的概念，掌握移项的方法，能熟练用移项解一元一次方程。 2. 数学抽象：理解移项的依据是等式的性质1，体会'化归'的数学思想。 3. 数学建模：能根据实际问题中的等量关系列一元一次方程并求解。 4. 逻辑推理：通过移项法则的探究过程，培养观察、分析和归纳能力。 二、重点难点 重点 理解移项的概念和依据 掌握移项的方法，能用移项解一元一次方程 列一元一次方程解决实际问题 难点 移项时要变号（最容易出错的地方） 准确找出实际问题中的等量关系 灵活选择移项的方向，使计算简便 三、情境导入 【问题情境】 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本； 如果每人分4本，则还缺25本。这个班有多少学生？ 【分析】 设这个班有x名学生，根据题意填空： （1）每人分3本，共分出____本，加上剩余的20本，这批书共有________本； （2）每人分4本，共分出____本，减去缺的25本，这批书共有________本； （3）这批书的总数是一个定值，所以可以列方程： ___________________________。 思考： 这个方程与上节课的方程有什么不同？ 方程两边都有含x的项和常数项，怎样才能把它转化为 x = a 的形式？ 我们可以利用等式的性质，把含x的项移到一边，常数项移到另一边。 四、合作探究 探究一：移项的概念与依据 【问题1】解方程：3x + 20 = 4x - 25 方法一：利用等式的性质1 两边同时减3x，得 20 = x - 25 两边同时加25，得 45 = x 即 x = 45 方法二：移项（更简便的写法） 把含x的项移到右边，常数项移到左边： 20 + 25 = 4x - 3x 45 = x x = 45 移项的定义： 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。 移项的依据：等式的性质1。 移项的原则：通常把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。 移项要变号！这是最关键的一点！ 探究二：用移项解一元一次方程 【问题2】解下列方程： (1) 3x + 7 = 32 - 2x 解：移项，得 3x + 2x = 32 - 7 合并同类项，得 5x = 25 系数化为1，得 x = 5 (2) x - 3 = x + 1 解：移项，得 x - x = 1 + 3 合并同类项，得 x = 4 系数化为1，得 x = 12 探究三：移项的灵活运用 【问题3】方程 2x - 4 = 3x + 5 移项正确的是（ ） A. 2x + 3x = 5 - 4 B. 2x - 3x = -4 + 5 C. 2x - 3x = 5 + 4 D. 2x + 3x = 5 + 4 分析：移项要变号。把3x从右边移到左边，变成-3x； 把-4从左边移到右边，变成+4。所以选C。 方法总结： 1. 移项的目的：使含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边， 为合并同类项创造条件，最终将方程转化为 x = a 的形式。 2. 移项的技巧：通常把含x的项移到左边（系数为正的一边），常数项移到右边。 但也可以灵活处理，以计算简便为原则。 3. 注意：没有移项的项不要变号！只有从等号一边移到另一边的项才变号。 五、典型例题 题型一：基础移项解方程 【例1】解下列方程： (1) 5x + 2 = 4x - 7 解：移项，得 5x - 4x = -7 - 2 合并同类项，得 x = -9 (2) -4x - 1 = 9 - 5x 解：移项，得 -4x + 5x = 9 + 1 合并同类项，得 x = 10 题型二：稍复杂的移项解方程 【例2】解下列方程： (1) x - 6 = x + 2 解：移项，得 x - x = 2 + 6 合并同类项，得 ( - )x = 8 x = 8 系数化为1，得 x = 48 (2) 3(x - 2) = 2 - 5(x - 2) 解：去括号，得 3x - 6 = 2 - 5x + 10 移项，得 3x + 5x = 2 + 10 + 6 合并同类项，得 8x = 18 系数化为1，得 x = = 题型三：列方程解应用题 【例3】某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200吨； 如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100吨。新、旧工艺的废水排量之比为2:5， 两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：新、旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x吨和5x吨。 环保限制的最大量是固定的，所以： 旧工艺废水排量 - 200 = 环保最大量 = 新工艺废水排量 + 100 解：设新工艺的废水排量为2x吨，旧工艺的废水排量为5x吨， 根据题意，得 5x - 200 = 2x + 100 移项，得 5x - 2x = 100 + 200 合并同类项，得 3x = 300 系数化为1，得 x = 100 所以 2x = 200，5x = 500。 答：新工艺的废水排量为200吨，旧工艺的废水排量为500吨。 六、错误诊所 易错点1：移项忘记变号 【错例】解方程 3x + 5 = 2x - 1 解：3x + 2x = -1 + 5 → 5x = 4 → x = 【诊断】移项时符号出错。2x从右边移到左边应变号为-2x，5从左边移到右边应变号为-5。 【正解】3x - 2x = -1 - 5 → x = -6 易错点2：没有移项的项也变号了 【错例】解方程 4x - 2 = 3x + 1 解：-4x + 3x = 1 + 2 → -x = 3 → x = -3 【诊断】错误地把没有移动的项也变号了。只有从等号一边移到另一边的项才变号。 【正解】4x - 3x = 1 + 2 → x = 3 易错点3：移项方向错误导致计算繁琐 【错例】解方程 2x + 3 = 5x - 6 解：2x - 5x = -6 - 3 → -3x = -9 → x = 3 【诊断】虽然结果正确，但把5x移到左边导致出现负系数，增加了计算难度和出错概率。 【正解】通常把系数大的移到一边，使系数为正：3 + 6 = 5x - 2x → 9 = 3x → x = 3 易错点4：去括号时符号错误 【错例】解方程 2(x - 3) = 3(x + 1) 解：2x - 3 = 3x + 1 → 2x - 3x = 1 + 3 → -x = 4 → x = -4 【诊断】去括号时漏乘：2×(-3)应该是-6，不是-3。 【正解】2x - 6 = 3x + 3 → 2x - 3x = 3 + 6 → -x = 9 → x = -9 七、达标检测 ★ 基础达标（必做） 1. 方程 2x - 1 = 3x + 2 移项正确的是（ ） A. 2x + 3x = 2 - 1 B. 2x - 3x = -1 + 2 C. 2x - 3x = 2 + 1 D. 2x + 3x = -2 - 1 2. 方程 3x + 6 = 2x - 8 的解是（ ） A. x = -14 B. x = 14 C. x = 2 D. x = -2 3. 解下列方程： (1) 2x + 3 = x - 1 (2) 5x - 7 = 3x + 3 (3) 2x - 1 = 3 - x (4) -3x + 4 = -2x - 5 4. 小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年前爸爸的年龄是小明的4倍？ ★★ 能力提升（选做） 5. 解下列方程： (1) x - 3 = x + 2 (2) 0.5x + 0.7 = 1.2x - 0.4 (3) 3(x - 2) = 2 - 2(x + 1) (4) 2(2x - 1) = 3(x - 1) 6. 当x = ______时，代数式 3x - 5 与 1 - 2x 的值互为相反数。 7. 已知方程 3x + 2a = 12 和方程 4x - 1 = 3 的解相同，求a的值。 8. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件。 现在采取提高售价，减少销售量的办法增加利润。如果这种商品每件的销售价每提高0.5元， 其销售量就减少10件。问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ ★★★ 拓展探究（选做） 9. 我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义。 进一步地，数轴上两个点A、B，分别表示数a、b， 那么A、B两点之间的距离AB = |a - b|。 利用此结论，回答下列问题： (1) |x - 2| = 3，则x的值为______； (2) |x + 1| + |x - 3| 的最小值为______。 10. 一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动， 男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽。休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象： 每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍。 请问这群学生共有多少人？ 八、中考链接 1. （2023·浙江中考）方程 2x - 1 = 3x + 2 的解为（ ） A. x = 1 B. x = -1 C. x = 3 D. x = -3 2. （2024·江苏模拟）若代数式 2x + 3 与 x - 5 的值相等， 则 x 的值为______。 3. （2023·四川中考）已知关于x的方程 3a - x = + 3 的解为x = 2， 则代数式 a² - 2a + 1 的值是______。 九、数学文化 古代的方程 在我国古代，"方程"一词的含义与现在有所不同。 《九章算术》中的"方程"章，专门讨论了线性方程组的解法。 古人用算筹将数字排列成方阵来表示方程组，所以叫做"方程"。 其中的"直除法"（即连续相减消元法）是世界上最早的线性方程组解法， 比欧洲早了一千五百多年。 在古代西方，方程的发展也经历了漫长的过程。 古希腊数学家丢番图（约246-330年）写了一本《算术》， 是世界上最早的系统论述代数的著作，里面包含了许多方程问题。 直到16世纪，法国数学家韦达创立了符号代数， 用字母表示数和方程，才使得方程的表达更加简洁明了。 丢番图的墓志铭： "坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。" 请你算一算，丢番图活了多少岁？ 十、小结反思 知识要点 内容总结 移项的定义 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。 移项的依据 等式的性质1（等式两边同时加或减同一个数，结果仍相等） 移项的原则 通常把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项要变号！ 解方程步骤 ① 移项 → ② 合并同类项 → ③ 系数化为1 → ④ 检验 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 解下列方程： (1) 5x + 2 = 4x - 7 解：移项，得 5x - 4x = -7 - 2 合并同类项，得 x = -9 (2) -4x - 1 = 9 - 5x 解：移项，得 -4x + 5x = 9 + 1 合并同类项，得 x = 10 题型二：稍复杂的移项解方程 【例2】 解下列方程： (1) x - 6 = x + 2 解：移项，得 x - x = 2 + 6 合并同类项，得 ( - )x = 8 x = 8 系数化为1，得 x = 48 (2) 3(x - 2) = 2 - 5(x - 2) 解：去括号，得 3x - 6 = 2 - 5x + 10 移项，得 3x + 5x = 2 + 10 + 6 合并同类项，得 8x = 18 系数化为1，得 x = = 题型三：列方程解应用题 【例3】 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200吨； 如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100吨。新、旧工艺的废水排量之比为2:5， 两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：新、旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x吨和5x吨。 环保限制的最大量是固定的，所以： 旧工艺废水排量 - 200 = 环保最大量 = 新工艺废水排量 + 100 解：设新工艺的废水排量为2x吨，旧工艺的废水排量为5x吨， 根据题意，得 5x - 200 = 2x + 100 移项，得 5x - 2x = 100 + 200 合并同类项，得 3x = 300 系数化为1，得 x = 100 所以 2x = 200，5x = 500。 答：新工艺的废水排量为200吨，旧工艺的废水排量为500吨。 一、基础达标 1. C 2. A 提示：移项得 3x - 2x = -8 - 6，x = -14 3. (1) x = -4 (2) x = 5 (3) x = (4) x = 9 4. 解：设x年前爸爸的年龄是小明的4倍。 根据题意，得 36 - x = 4(12 - x) 36 - x = 48 - 4x -x + 4x = 48 - 36 3x = 12 x = 4答：4年前爸爸的年龄是小明的4倍。 二、能力提升 5. (1) x = 30 (2) x = (3) x = (4) x = -1 6. 4 提示：互为相反数的两个数和为0，即 (3x - 5) + (1 - 2x) = 0，解得 x = 4 7. 解：先解方程 4x - 1 = 3，得 x = 1 因为两个方程的解相同，所以 x = 1 也是方程 3x + 2a = 12 的解， 代入得 3×1 + 2a = 12， 3 + 2a = 12，2a = 9，a = 4.5 8. 解：设每件售价定为x元时，每天利润为640元。 每件利润为 (x - 8) 元， 每提高0.5元，销量减少10件，即每提高1元，销量减少20件。 销售量为 [200 - 20(x - 10)] 件，即 (400 - 20x) 件。 根据题意，得 (x - 8)(400 - 20x) = 640 展开：400x - 20x² - 3200 + 160x = 640 -20x² + 560x - 3200 - 640 = 0 -20x² + 560x - 3840 = 0 两边除以-20：x² - 28x + 192 = 0 因式分解：(x - 12)(x - 16) = 0 解得 x₁ = 12，x₂ = 16答：每件售价定为12元或16元时，每天利润为640元。（注：这是二次方程，七年级学生可能还不会解，主要考察列方程的能力） 三、拓展探究 9. (1) x = 5 或 x = -1 提示：|x - 2| = 3 表示数轴上到2的距离为3的点，即2+3=5或2-3=-1(2) 最小值为 4 提示：|x + 1| + |x - 3| 表示数轴上一点到-1和3的距离之和， 当-1 ≤ x ≤ 3时，距离之和最小，最小值为 3 - (-1) = 4 10. 解：设男生有x人，女生有y人。 每位男生看到白色与红色安全帽一样多，说明男生比女生多1人（看不到自己的）， 即 x - 1 = y ① 每位女生看到白色安全帽是红色的2倍，即 x = 2(y - 1) ② 将①代入②，得 x = 2(x - 1 - 1) = 2(x - 2) x = 2x - 4，x = 4，则 y = 3 总人数 = 4 + 3 = 7（人）答：这群学生共有7人。 四、中考链接 1. D 提示：移项得 2x - 3x = 2 + 1，-x = 3，x = -3 2. -8 提示：2x + 3 = x - 5，解得 x = -8 3. 1 提示：将x=2代入方程得 3a - 2 = 1 + 3，3a = 6，a = 2； 所以 a² - 2a + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 学科网（北京）股份有限公司 $