第25章 一元二次方程【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程单元复习，系统梳理了概念、四种解法（直接开平方法、因式分解法等）、根与系数关系及四大应用模型，通过全章核心知识体系汇总和易错点总结，构建起从基础概念到实际应用的完整知识网络，体现知识点间的逻辑递进关系。 其亮点在于采用分层习题设计，基础巩固题夯实概念辨析与基本运算，综合提升题结合几何、增长率等实际情境，如矩形空地修路问题培养数学思维中的推理意识和运算能力，传播问题强化数学语言中的模型意识。这种设计既满足不同学生需求，又帮助教师精准把握复习重点，提升单元复习效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 小结与复习 第25章 一元二次方程 第25章 一元二次方程 全章复习练习题 一、全章核心知识体系汇总 1. 一元二次方程的概念 只含一个未知数、未知数最高次数为2、左右两边为整式的方程。一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，核心前提：二次项系数$$a eq0$$，包含二次项、一次项、常数项。 2. 四种解方程方法（由简到繁，优先选择） ①直接开平方法：适用于$$(mx+n)^2=p(p\geq0)$$形式，直接开方求解； ②因式分解法：首选简便解法，利用$$ab=0\Rightarrow a=0或b=0$$，包含提公因式、公式法、十字相乘法； ③配方法：通用基础方法，步骤：移项→化二次项系数为1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方求解； ④公式法：万能解法，求根公式$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(\Delta\geq0)$$，判别式$$\Delta=b^2-4ac$$判定根的情况。 3. 根与系数的关系（韦达定理） 方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0,\Delta\geq0)$$两根$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$，常用于代数式整体代入求值。 4. 四大类实际应用模型（本章重难点） ①几何模型：利用图形边长、面积关系列方程，重点检验边长为正； ②传播与变化率模型：两轮传播$$(1+x)^2$$，增长率$$a(1+x)^2$$，降价率$$a(1-x)^2$$； ③循环问题：握手/比赛$$\frac{1}{2}x(x-1)$$，互赠礼物$$x(x-1)$$； ④数字问题：两位数表示为$$10\times十位数字+个位数字$$，结合数位关系列方程。 二、章节基础巩固习题 （一）选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. $$x+2y=3$$ B. $$x^2-2x=0$$ C.$$x+\frac{1}{x}=2$$ D. $$x^3+x=1$$ 2. 一元二次方程$$2x^2-5x+1=0$$的判别式的值为（ ） A. 17 B. -17 C. 3 D. -3 3. 握手问题中，若参会人数为$$x$$，总握手次数45次，列方程正确的是（ ） A. $$x(x-1)=45$$ B. $$\frac{1}{2}x(x-1)=45$$ C. $$x^2=45$$ D. $$x(x+1)=45$$ （二）填空题 4. 方程$$(x-3)^2=16$$的根为________。 5. 已知方程$$x^2-4x+3=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$________。 6. 某商品原价100元，连续两次降价，降价率为$$x$$，两次降价后售价81元，列方程________。 三、章节综合提升习题 （三）解答题（选用合适方法解方程） 7. 用指定方法解方程： （1）因式分解法：$$x^2-5x+6=0$$ （2）配方法：$$x^2-6x-7=0$$ （3）公式法：$$2x^2-3x-2=0$$ 8. 已知一元二次方程$$x^2-3x-1=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，不解方程，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 （四）实际应用题 9. 有一块长15m、宽10m的矩形空地，修筑宽度相同的小路，剩余空地面积为104m²，求小路宽度。 10. 某种病毒一轮一人可传染$$x$$人，经过两轮传染后共144人患病，求每轮平均传染人数。 四、参考答案与详细解析 1. B 解析：一元二次方程需满足整式、单未知数、最高次数2，只有B符合定义。 2. A 解析：$$\Delta=(-5)^2-4\times2\times1=25-8=17$$。 3. B 解析：两两握手无重复，需除以2，公式为$$\frac{1}{2}x(x-1)$$。 4. $$x_1=7，x_2=-1$$ 解析：开方得$$x-3=\pm4$$，解得两根。 5. 4 解析：韦达定理，$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$$。 6. $$100(1-x)^2=81$$ 解析：连续两次降价，套用降价率公式。 7. （1）解：因式分解得$$(x-2)(x-3)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=3$$。 （2）解：移项得$$x^2-6x=7$$，配方得$$(x-3)^2=16$$，解得$$x_1=7，x_2=-1$$。 （3）解：$$a=2,b=-3,c=-2$$，$$\Delta=9+16=25$$，代入公式解得$$x_1=2，x_2=-\frac{1}{2}$$。 8. 解：由题意得$$x_1+x_2=3，x_1x_2=-1$$，$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9+2=11$$。 9. 解：设小路宽$$x$$m，列方程$$(15-2x)(10-2x)=104$$，整理得$$x^2-12.5x+11.5=0$$，解得$$x_1=1，x_2=11.5$$（舍去）。答：小路宽度为1m。 10. 解：设每轮传染$$x$$人，$$(1+x)^2=144$$，解得$$x_1=11，x_2=-13$$（舍去）。答：每轮平均传染11人。 五、全章易错点总结 1. 判定一元二次方程时，务必保证$$a eq0$$，化简后再判断； 2. 配方、公式法计算时，严格区分系数正负，韦达定理牢记“和为负a分之b”； 3. 应用题必须验根，舍去负数、超出实际范围的解； 4. 循环问题区分握手、互赠题型，避免公式混用；变化率问题分清增长与降价。 实际问题 设未知数，列方程 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 方程 ax2 + bx + c = 0 的根 解方程 实际问题的答案 检验 配方法 公式法 因式分解法 降次 1. 一元二次方程的三个判断条件： ③未知数的最高次数是 2. ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； 2. 根的判别式与根与系数的关系： 根 根的判别式 Δ = b2 − 4ac Δ > 0，方程有两个不等的实数根 *根与系数的关系 Δ < 0，方程无实数根 Δ = 0，方程有两个相等的实数 根 3. 解一元二次方程几种方法： 解法 因式分解法 直接开平方法 公式法 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) (mx + n)2 = p (p≥0) 配方法 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( ) A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 A 二次项系数不为 0 m - 1 ≠ 0 m ≠ 1 解析 根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1. 舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. -1 考点一 一元二次方程的定义 1. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根， 则 −a3 + 2a + 2026 的值为________. −1 2025 7 【练一练】 考点一 一元二次方程的定义 考点二 一元二次方程的解法 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变 为 ( ) A. (x - 1)2 = 6 B. (x + 2)2 = 9 C. (x + 1)2 = 6 D.( x - 2)2 = 9 A A (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为 ( ) A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18 例4 解方程 (x2 − 2x)2 − 5x2 + 10x + 6 = 0． 解：方程整理得 (x2 − 2x)2 − 5(x2 − 2x) + 6 = 0. 设 x2 − 2x = m，则原方程变为 m2 −5m + 6 = 0. 换元法 解得 m1 = 3，m2 = 2. 当 m = 3 时，x2 − 2x = 3，解得 x = 3 或 x = −1； 当 m = 2 时，x2 − 2x = 2，解得 x = 1± . x3 = 1 + ，x4 = 1− ． 综上所述，原方程的解为 x1 = 3，x2 = −1， 考点二 一元二次方程的解法 2. 用适当的方法解方程： (1) x2 − 4x − 1 = 0； (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：(1) 配方，得 x2 - 4x + 22 = 5， 开平方，得 (x - 2)2 = 5. 解得 移项，得 x2 - 4x = 1. 即 a = 1，b = −4，c = −1. 公式法： Δ = 20＞0. 配方法： 考点二 一元二次方程的解法 (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：直接开方法： 即 2x −1 = 3 − x， 或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2. (2x − 1)2 − (3 − x)2 = 0. 则 (2x − 1 − 3 + x) (2x − 1 + 3 − x) = 0， 即 3x − 4 = 0，或 x + 2 = 0. ∴ x1 = ，x2 = −2. 2x −1=±(3 - x)， 因式分解法： 考点二 一元二次方程的解法 考点三 一元二次方程的根的判别式的应用 例5 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0 A 10×6x2=1500 Δ > 0 (-4)2 - 4×1×(-3m)= 16 + 12m > 0 化为一般形式 总结 确定 a，b，c 的值 3. 关于 x 的一元二次方程 2x2 + x - k = 0 没有实数根，则 k 的取值范围 ( ) A. B. C. D. Δ＜0 12 - 4×2×(-k)＜0 A 考点三 一元二次方程的根的判别式的应用 4. 对于实数 a，b 定义运算“※”为 a※b = b2 - ab， 例如 3※2=22 - 3×2 = -2，则关于 x 的方程 (k - 3)※x = k - 1 的情况，下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 无实数根 D.无法确定 A 转化为一般式，判断 Δ x2 - (k - 3)x = k - 1 代入新运算 考点三 一元二次方程的根的判别式的应用 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 例6 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ． 25 总结 重要公式变形： 5. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有两个实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 设 x1，x2 是方程的两根，且 = 12，求 m 的值. 解：(1) 根据题意得 Δ = (2m)2 − 4(m2 + m)≥0， 解得 m≤0. (2) 根据题意得 x1 + x2 = −2m，x1x2 = m2 + m， 故 m 的值是 −2. ∴ (−2m)2 − 2(m2 + m) = 12， 解得 m1 = −2，m2 = 3 (不合题意，舍去). ∵ =12， ∴ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 12. 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 考点五 一元二次方程的应用 例7 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了 1260 张，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A. x(x + 1) = 1260 B. 2x(x + 1) = 1260 C. x(x − 1) = 1260×2 D. x(x − 1) = 1260 D 例8 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件. (1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量； (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 考点五 一元二次方程的应用 解析：设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每天利润 (元) 正常销售 涨价销售 4 32 x - 20 150 等量关系：总利润 = 单件利润×销售量. 128 考点五 一元二次方程的应用 解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件). (2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150. 解得 x1 = 25，x2 = 35. ∵ x≤28， ∴ x = 25，即销售价应当为 25 元. 考点五 一元二次方程的应用 例9 某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形) 解：设小道进出口的宽为 x m， 根据题意得 (30 − 2x)(20 − x) = 532， 解得 x1 = 1，x2 = 34. 答：小道进出口的宽度应为 1 m. ∵ 30 − 2x＞0，20 − x＞0， ∴ x＜15. ∴ x = 1. 考点五 一元二次方程的应用 6. 某厂家今年一月份的口罩产量是 30万个，三月份的口罩产量是 50 万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的平均增长率为 x，则所列方程为 ( ) A.30(1 + x)2 = 50 B.30(1 - x)2 = 50 C.30(1 + x2) = 50 D.30(1 - x2) = 50 A 考点五 一元二次方程的应用 考点1 一元二次方程的相关概念 1. 下列方程中，； ； ；； ， 一定是一元二次方程的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 24 2.把一元二次方程 化成一般 形式为________________. 3.[2026北师大附中期中] 若是方程 的一个 根，则代数式 的值为_______. 2 033 中考考法 25 考点2 一元二次方程的解法 4. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) B A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 中考考法 26 5. 解下列方程： （1） （直接开平方法）； 【解】 ，， . ， . （2） （配方法）； 配方，得 ， ., . 中考考法 27 （3） （公式法）； 原方程可化为 . ，， ， . . ， . 中考考法 28 （4） （因式分解法）． 因式分解,得 , 即 . 或 . ， ． 中考考法 29 考点3 一元二次方程根的判别式 6. 一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.[2025上海] 已知关于的一元二次方程 没 有实数根，则 的取值范围是_______. 中考考法 30 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 8.若,是一元二次方程 的两个实数根，则 ____. 中考考法 31 9.[2026泰州期中] 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， . （1）求实数 的取值范围； 【解】 方程 有两个不相等的实数根， ，解得 . 中考考法 32 （2）若方程两实数根满足，求 的值. 方程 有两个不相等的实数根 , ， ， . ， ， 解得， . 又， . 中考考法 33 $