25.2.2 公式法 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式及解题步骤。课堂通过回顾配方法解方程和人体雕像设计问题导入，衔接旧知配方法，引出公式法必要性，搭建学习支架。 其亮点是推导过程注重探究，通过配方法逐步推导求根公式，培养推理能力。例题分层设计，含二次项系数字母、分类讨论等变式，提升抽象能力和运算能力。实际问题应用体现模型意识，帮助学生理解数学与现实联系，教师可利用分层练习提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.2.2 公式法 第25章 一元二次方程 25.2.2 公式法 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 求根公式推导：由一元二次方程一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，通过配方法可推导出通用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq0)$$，公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的一元二次方程。 2. 根的判别式：定义$$\Delta=b^2-4ac$$，通过判别式的值可直接判断方程实数根的个数。当$$\Delta>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程无实数根。 3. 标准解题步骤：①将方程化为一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$；②准确确定$$a、b、c$$的值（注意符号）；③计算判别式$$\Delta$$，判断根的情况；④若$$\Delta\geq0$$，代入求根公式计算方程的根。 4. 关键注意点：确定系数时切勿遗漏负号；只有$$\Delta\geq0$$才能使用求根公式求解；$$\Delta=0$$时，方程的两个实数根相等，只需书写一组根即可。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 一元二次方程$$x^2-3x+2=0$$的判别式$$\Delta$$的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 17 D. -17 2. 方程$$2x^2+4x+2=0$$根的情况是（ ） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 （二）填空题 3. 方程$$x^2+2x-1=0$$中，$$a=$$________，$$b=$$________，$$c=$$________。 4. 若一元二次方程$$x^2-mx+1=0$$有两个相等实数根，则$$\Delta=$$________。 三、提升练习题 （三）解答题 5. 用公式法解下列一元二次方程： （1）$$x^2-2x-8=0$$ （2）$$2x^2-5x+2=0$$ 6. 用公式法解方程：$$3x^2+2x-1=0$$ 四、参考答案与解析 1. A 解析：由方程得$$a=1，b=-3，c=2$$，$$\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1$$。 2. B 解析：$$a=2，b=4，c=2$$，$$\Delta=4^2-4\times2\times2=16-16=0$$，方程有两个相等的实数根。 3. 1，2，-1 解析：对照一元二次方程一般形式，准确提取各项系数与常数项，注意常数项为负数。 4. 0 解析：一元二次方程有两个相等实数根的充要条件是判别式$$\Delta=0$$。 5.（1）解：$$a=1，b=-2，c=-8$$，$$\Delta=4+32=36>0$$，代入公式得$$x=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm6}{2}$$，解得$$x_1=4，x_2=-2$$。 （2）解：$$a=2，b=-5，c=2$$，$$\Delta=25-16=9>0$$，代入公式得$$x=\frac{5\pm3}{4}$$，解得$$x_1=2，x_2=\frac{1}{2}$$。 6. 解：$$a=3，b=2，c=-1$$，$$\Delta=4+12=16>0$$，代入公式得$$x=\frac{-2\pm4}{6}$$，解得$$x_1=\frac{1}{3}，x_2=-1$$。 总结：公式法解题核心：定系数、算判别、判根情、代公式。判别式是解题关键，既能判断根的情况，也能检验方程是否有实数解，解题时务必精准识别$$a、b、c$$的正负，避免计算失误。 学习目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.(难点) 2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根 的判别式进行相关的计算或推理. 学习目标 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 配方法能解所有的一元二次方程吗？ 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 引言：要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x2 = 5(5 - x )， 整理得　x2 + 5x - 25 = 0． A C B 如何解出该一元二次方程？ 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否用配方法得出它的解呢？ 探究点一：求根公式的推导 解：移项，得 配方，得 即 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ax2 + bx = -c 二次项系数化为1，得 探究点一：求根公式的推导 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 因为 a≠0，所以 4a2 > 0. 式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： (1) 当 b2－4ac ＞0 时， ＞0，由①得 方程有两个不相等的实数根 探究点一：求根公式的推导 (2) 当 b2 - 4ac = 0 时， = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . (3) 当 b2 - 4ac＜0 时， ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 探究点一：求根公式的推导 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 因此把 b2 − 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 探究点一：求根公式的推导 【填一填】按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 探究点一：求根公式的推导 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1， ∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B. B 探究点一：求根公式的推导 【练一练】1.若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( ) A. q≤4 B. q≥4 C. q＜16 D. q＞16 C 解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式， 则 Δ = b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C. 探究点一：求根公式的推导 12 【变式题1】二次项系数含字母 若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 B (-2)2 + 4k > 0 归纳: 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 方程有两个不等的实数根 分析： 二次项系数不为 0 k≠0 k > −1 且 k≠0 探究点一：求根公式的推导 13 【变式题2】删除限制条件“二次” 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 分析： 分类讨论 k = 0 k≠0 原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根 Δ = 4 + 4k≥0 k≥−1 A 探究点一：求根公式的推导 总结 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ = b2 − 4ac > 0 Δ = b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 探究点一：求根公式的推导 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 用公式法解方程 探究点二：公式法解一元二次方程 例2 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：因为 a = 1，b = −4，c = −7，所以 Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 探究点二：公式法解一元二次方程 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：因为 a = 2，b = − ，c = 1. Δ = b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 探究点二：公式法解一元二次方程 (3) 5x2－3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 a = 5，b = －4，c = －1，所以 Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. (3) 方程化为 5x2－4x－1 = 0，此时 即 探究点二：公式法解一元二次方程 (4) x2 + 17 = 8x. 方程无实数根. a = 1，b = −8，c = 17，所以 Δ = b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0. 解：方程化为 x2－8x + 17 = 0，此时 探究点二：公式法解一元二次方程 总结 化为一般形式 解一元二次方程的步骤： 变形 确定系数 计算 根据根的情况求解 用 a，b，c 写出各项系数 b2 − 4ac 探究点二：公式法解一元二次方程 21 【回顾导入】 解方程 x2 + 5x - 25 = 0. 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09. 关于这两个根，只有 x1≈3.09 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为 3.09 m. 探究点二：公式法解一元二次方程 公式法解方程的步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 − 4ac 的值； 4. 判断：若 Δ = b2 − 4ac≥0，则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 探究点二：公式法解一元二次方程 2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 【练一练】 解：因为 a = 1，b = 7，c = −18，所以 Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×(−18 ) = 121 > 0， 方程有两个不等的实数根 即 x1 = 2， x2 = -9. 探究点二：公式法解一元二次方程 3. 解方程 3x2 − 5x + 1 = 0. 解：因为 a = 3，b = −5，c = 1，所以 Δ = b2－4ac = (−5)2－4×3×1= 13＞0. 方程有两个不等的实数根 即 探究点二：公式法解一元二次方程 4. 解方程：2x2 - x + 3 = 0. 解：因为 a = 2，b = − ，c = 3，所以 Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0， 方程有两个不等的实数根 探究点二：公式法解一元二次方程 5. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：方程化为 3x2 - 7x + 8 = 0，此时 a = 3，b = -7，c = 8，所以 Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0， 方程没有实数根. 探究点二：公式法解一元二次方程 知识点1 一元二次方程根的判别式 1. [2025安徽] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 ( ) D A. B. C. D. 2. [2026深圳期末] 一元二次方程 的根的情况 是( ) B A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 中考考法 28 3. [2025内江] 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. 且 D. 且 【点拨】 关于的一元二次方程 有 实数根，，且 ， 解得且 . 中考考法 29 知识点2 一元二次方程的求根公式 4. 一元二次方程 在用求根公式 求解时,,, 的值分别是( ) D A. 3,, B. ,,3 C. ,3,1 D. ,3, 5. 若 是一元二次方程 的根，则 ( ) D A. B. 4 C. 2 D. 0 中考考法 30 知识点3 用公式法解一元二次方程 6. 利用公式法解一元二次方程 可得两根分 别为，，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 中考考法 31 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 一元二次方程根的判别式 Δ= b2－4ac 求根公式： 当 b2－4ac > 0 时， 方程有________的实数根； 当 b2－4ac = 0 时， 方程有________的实数根； 当 b2－4ac < 0 时， 方程_________. 两个不等 两个相等 无实数根 ( b2－4ac≥0 ) 课堂小结 $