25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过表格引导学生观察方程根与系数的规律，从求根公式推导韦达定理，结合归纳总结、例题解析及变式练习，构建从原理到应用的学习支架。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光的创新意识，通过求根公式推导韦达定理发展数学思维的推理能力，分层练习与中考真题链接强化数学语言的模型意识。学生能提升抽象能力与解题技巧，教师可获得系统教学资源提高效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第25章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当判别式$$\Delta\geq0$$时，方程的两个实数根分别为$$x_1、x_2$$，则满足：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。 2. 特殊形式结论：当一元二次方程为$$x^2+px+q=0$$（二次项系数为1）时，$$x_1+x_2=-p$$，$$x_1x_2=q$$，计算更加简便，是考试高频基础考点。 3. 常见变形公式：利用两根和与两根积，可快速求解代数式的值，常用变形：$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$、$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$。 4. 关键注意点：使用韦达定理的前提是方程有实数根，即必须满足$$\Delta\geq0$$；计算两根和时，切勿遗漏公式中的负号；所有系数取值均以方程一般形式为准。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 已知方程$$x^2-5x+6=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 一元二次方程$$2x^2+3x-2=0$$的两根之积$$x_1x_2$$是（ ） A. 1 B. -1 C. $$\dfrac{3}{2}$$ D. $$-\dfrac{3}{2}$$ （二）填空题 3. 方程$$x^2+4x-3=0$$的两根之和为________，两根之积为________。 4. 若方程$$3x^2-mx+6=0$$的两根之和为2，则$$m=$$________。 三、提升练习题 （三）解答题 5. 已知一元二次方程$$x^2-2x-4=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，不解方程，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 6. 已知方程$$2x^2-6x+1=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，不解方程，求$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$的值。 四、参考答案与解析 1. A 解析：由方程得$$a=1，b=-5，c=6$$，根据韦达定理，$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5$$。 2. B 解析：由方程得$$a=2，b=3，c=-2$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{2}=-1$$。 3. -4，-3 解析：$$a=1，b=4，c=-3$$，$$x_1+x_2=-4$$，$$x_1x_2=-3$$。 4. 6 解析：由韦达定理得$$x_1+x_2=\dfrac{m}{3}=2$$，解得$$m=6$$。 5. 解：由题意得$$x_1+x_2=2$$，$$x_1x_2=-4$$，代入变形公式：$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2^2-2\times(-4)=4+8=12$$。 6. 解：由题意得$$x_1+x_2=3$$，$$x_1x_2=\dfrac{1}{2}$$，$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=6$$。 总结：根与系数关系核心：和为负a分之b，积为a分之c。解题核心思路为不解方程、整体代入，熟练掌握平方和、倒数和等常用变形，同时必须先验证判别式，确保方程存在实数根，是中考高频考点。 学习目标 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索， 让学生参与两根之和与两根之积的规律 3. 学会在合作交流中归纳总结出二次方程的根 与系数的关系特点，提高了学生解决问题的能力. 学习目标 一元二次方程 两 根 x1 x2 x² - 8x + 1 = 0 x2 - 2x - 1 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 4+ x1 + x2 =？ x1·x2 =？ 1+ 4 1 填一填，然后想一想如何验证你发现的规律. 8 1 2 - 1 -4 1 -3 -4 观察求根公式 它有什么特点？ 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 分析：整体上看，两个根分别是 “m＋n” 和 “m－n” 的形式，而且式子 “n” 中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“ n ”，相乘可以去掉 “n”中的根号，从而使形式简洁. 思考1： 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 所以 x1＋x2＝ 因为 x1＝ ，x2＝ . x1·x2＝ ＝ . 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 思考2： 我们知道，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为 a(x - x1)(x - x2)，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2， 那么上面的关系还能通过什么方法得出？ 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)， 即 ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ， 由此可得 - a(x1 + x2) = b，ax1·x2 = c 因此 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 【归纳总结】 由此得出，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个 根 x1，x2 与其系数 a，b，c 有如下关系: 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根 x1，x2 的和与积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； 解：(1) x1 + x2 = – (–6) = 6，x1 x2 = -15. (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x – 1 = 4x2. (2) x1 + x2 = − ， x1 x2 = = −3. (3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0， 所以 x1 + x2 = − = ，x1 x2 = . 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1 · x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15. 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 【知识拓展】常见的求值式子如下： 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 13 1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) (x1 - x2)2 = . 4 1 14 12 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 【练一练】 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 【练一练】2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 1 A x12-x1-2026=0 x12 -2026= x1 x13-2026x1+x22 x1(x12-2026)+x22 x12+x22 (x1+x2)2-2x1x2 x2-x-2026=0 x1+x2=1，x1x2 =-2026 4053 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. 若，是方程 的两个根， 则( ) A A. B. C. D. 2.若,是一元二次方程 的两个实数根，则 ____. 中考考法 16 3. 请写出一个满足下列条件的一元二次方程： 二次项系数不为1，且两根之和为负，两根之积为负.你所写 的一元二次方程是_______________________________. （答案不唯一） 中考考法 17 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 4. 已知,是关于 的一元二次方程 的两个实数根，其中，则 ____. 思路支架 中考考法 18 5.[2025泸州] 若一元二次方程的两根为 , ，则 的值为____. 10 【点拨】 一元二次方程的两根为 , ， ， . 中考考法 19 6. [2025河北] 若一元二次方程 的两根之和 与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位 于( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 20 定义 根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 _____________,_____________ 应用前提 方程有实数根，即_____________ 应用 Δ=b2 - 4ac≥0 课堂小结 $