25.2.3 因式分解法（培优课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，梳理原理、方法及步骤，通过回顾因式分解与已学解方程方法，结合物理上抛问题导入，搭建前后知识衔接的学习支架。 其特色是通过问题驱动与对比探究，培养数学思维与创新意识，结合实际问题及中考真题体现数学眼光与应用意识。采用口诀和方法选择表格总结，助力学生提升解题效率，也为教师提供系统教学资源支持。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.2.3 因式分解法 第25章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 因式分解法原理：利用“若$$ab=0$$，则$$a=0$$或$$b=0$$”的实数性质，将一元二次方程通过因式分解转化为两个一次因式乘积等于0的形式，进而快速求解，是解一元二次方程最简便、最常用的简便解法。 2. 常用分解方法：九年级重点掌握两种方法，一是提公因式法，适用于含有相同公因式的方程；二是公式法，包含平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$、完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$。 3. 标准解题步骤：①移项，将方程所有项移至左侧，使方程右侧为0；②因式分解，将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积；③转化为两个一元一次方程；④分别求解，得到方程的两个根。 4. 关键注意点：必须保证方程右边为0才能分解求解；切忌随意约去含未知数的因式，容易丢失根；因式分解法仅适用于可快速分解的方程，无法分解时可选用配方法或公式法。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 方程$$x(x-3)=0$$的根是（ ） A. $$x=0$$ B. $$x=3$$ C. $$x_1=0，x_2=3$$ D. 无实数根 2. 用因式分解法解方程$$x^2-4=0$$，正确的分解形式是（ ） A. $$(x-2)^2=0$$ B. $$(x+2)(x-2)=0$$ C. $$x(x-4)=0$$ D. $$(x+4)(x-4)=0$$ （二）填空题 3. 方程$$2x^2+4x=0$$提取公因式后可化为________，方程的根为________。 4. 方程$$(x-1)^2=9$$用因式分解法求解，可变形为________。 三、提升练习题 （三）解答题 5. 用因式分解法解下列一元二次方程： （1）$$x^2-5x+6=0$$ （2）$$3x(x-2)=x-2$$ 6. 用因式分解法解方程：$$x^2-6x+9=0$$ 四、参考答案与解析 1. C 解析：由$$x(x-3)=0$$可得$$x=0$$或$$x-3=0$$，解得$$x_1=0，x_2=3$$。 2. B 解析：$$x^2-4$$符合平方差公式，分解得$$(x+2)(x-2)=0$$。 3. $$2x(x+2)=0$$；$$x_1=0，x_2=-2$$ 解析：提取公因式$$2x$$，转化为两个因式乘积为0的形式，分别求解即可。 4. $$(x+2)(x-4)=0$$ 解析：移项得$$(x-1)^2-9=0$$，利用平方差公式分解为$$(x-1+3)(x-1-3)=0$$，化简即可。 5.（1）解：因式分解得$$(x-2)(x-3)=0$$，则$$x-2=0$$或$$x-3=0$$，解得$$x_1=2，x_2=3$$。 （2）解：移项得$$3x(x-2)-(x-2)=0$$，提取公因式$$(x-2)$$得$$(x-2)(3x-1)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=\frac{1}{3}$$。 6. 解：原方程由完全平方公式分解得$$(x-3)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=3$$，方程有两个相等的实数根。 总结：因式分解法核心口诀：移项归零、分解因式、一分为二、分别求解。优先使用提公因式法，再套用公式分解，解题速度远快于公式法和配方法，是解一元二次方程的首选方法，重点规避“随意约去未知数因式”的易错点。 学习目标 1.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点) 2.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次 方程.(难点) 3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程， 培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决 问题，体会转化的思想方法. 学习目标 问题1：因式分解的方法有哪些？ (1) 提取公因式法： am + bm + cm = m(a + b + c) (2) 公式法： a2 - b2 = (a + b)(a - b) (3)十字相乘法： x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q) a²±2ab + b² = (a±b)² (1) 直接开平方法： (2) 配方法： (3) 公式法： x2=a(a≥0) 或 (mx + n)2 = a(a≥0) (x + h)2 = k (k≥0) 问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 解：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x－5x2＝0. ① 探究点1：因式分解法解方程 解：移项，得 5x2 - 10x = 0. a = 5，b = -10，c = 0. ∴ Δ = b2－4ac = (-10)2－4×5×0 = 100. 公式法解方程 10x-5x2=0. 配方法解方程 10x - 5x2 = 0. 解：5x2 - 10x = 0. 二次项系数化为1，得 x2 - 2x = 0. 配方，得 x2 - 2x + 1 = 1. (x - 1)2 = 1. 由此可得 x1 = 2，x2 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 0. 探究点1：因式分解法解方程 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 5x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x - 5x2 = 0 ① x(10 - 5x) = 0 ② x = 0， 思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ 探究点1：因式分解法解方程 x1 = 0，x2 = 2 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 探究点1：因式分解法解方程 例1 解下列方程： (1) x(x - 2) + x - 2 = 0； 解：(1) 左边因式分解，得 于是 x - 2 = 0，或 x + 1 = 0， 即 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x + 1) = 0. 转化为两个一元一次方程 探究点1：因式分解法解方程 (2) 5x2 - 2x - = x2 - 2x - . 解：移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0. 左边分解因式，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0. 于是 2x + 1 = 0，或 2x - 1 = 0. 即 x1 = - ，x2 = . 探究点1：因式分解法解方程 【练一练】1. 解下列方程： (1) (x + 1)2 = 5x + 5； 即 x1 = −1，x2 = 4． 解：(1) 移项，得 (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. 左边分解因式，得 (x + 1)(x − 4) = 0. 于是 x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 探究点1：因式分解法解方程 (2) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2． 解：方程整理，得 (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0， 左边分解因式，得 [(x − 3) + (5 − 2x)][(x − 3) − (5 − 2x)] = 0， 于是 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0， 即 x1 = 2，x2 = . 即 (2 − x)(3x − 8) = 0. 探究点1：因式分解法解方程 十字相乘法因式分解 运算法则： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 条件： 1. 多项式为二次三项式； 2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的___等于一次项系数. 和 【拓展】 探究点1：因式分解法解方程 例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0. x2 −5x + 6 ； 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . · × -2 -3 −2x + ( −3)x = -5x ③ 检验确定，横写因式. ① 竖分常数项与二次项； ② 交叉相乘，积相加； 即 x1 = 2，x2 = 3. 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0， 探究点1：因式分解法解方程 (1) x2 - 6x + 8 = 0； (2) x2 + 4x − 5 = 0. (1) (2) 用因式分解的十字相乘法解题较快. 解：(1) 分解因式， 得 (x − 2)(x − 4) = 0， 解：(2) 分解因式， 得 (x + 5)(x − 1) = 0， 即 x1 = −5，x2 = 1． 即 x1 = 2，x2 = 4. 2. 解方程： 【练一练】 于是 x − 2 = 0， 或 x − 4 = 0， 于是 x + 5 = 0， 或 x − 1 = 0， 探究点1：因式分解法解方程 探究点2：选用适当的方法解方程 例3 用适当的方法解方程： (1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； (1) 有公因式时，可用因式分解法； (2) 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解：移项，得 3x(x + 5) - 5(x + 5) = 0. 左边分解因式，得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 于是 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0. 即 x1= ， x2= -5. 于是 5x + 1 = 1， 或 5x + 1 = - 1. 即 x1 = 0， x2= -. 探究点2：选用适当的方法解方程 (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. (3) 二次项系数为 1，可用配方法解较快； ∴ x1 = 6+，x2 = 6-. 解：(3) 配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， (x - 6)2 = 40. 由此可得 x - 6 = ± 探究点2：选用适当的方法解方程 (4) 3x2 = 4x + 1. (4) 二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 解：(4) 移项，得 3x2 - 4x - 1 = 0. 因为 a = 3，b = −4，c = −1，所以 Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 方程有两个不等的实数根 即 探究点2：选用适当的方法解方程 解：化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. 解：因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0. 3. 解方程： 解得 探究点2：选用适当的方法解方程 (4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3. (3) 2x2 − 5x +1 = 0； 解：a = 2，b = −5，c = 1. ∴ Δ = (−5)2−4×2×1=17. 解：整理，得 x2 + 2x = 5， ∴ x2 + 2x + 1 = 5 + 1， 即 (x + 1)2 = 6. 探究点2：选用适当的方法解方程 一元二次方程的解法选择基本思路： 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 直接开平方法 因式分解法 b＝0，ax2 + c = 0 是 容易因式分解 c＝0，ax2 + bx = 0 否 公式法或配方法 探究点2：选用适当的方法解方程 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 探究点2：选用适当的方法解方程 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 中考考法 24 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 中考考法 25 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方 程 的一个实数根，则该三角形的周长是 ( ) B A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 中考考法 26 4. 设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 【点拨】,,或 ， 解得或是方程 的一个较大的 根，, , 或，解得或 是方程 的一个较小的根， , ，故选C. 中考考法 27 5.菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是 的一个根，则这个菱形的边长为________. 或5 【点拨】， ，解得 或 菱形的另一条对角线长为6或 菱形一条 对角线的长为6, 菱形的边长为 或 .故答案为 或5. 中考考法 28 定义 因式分解法 把原方程转化成两个______乘积等于 0 的形式，在使这两个______分别等于 0，从而实现降次 理论依据 若 ab = 0，则 a =___，b =___ 一般步骤 一次式 0 0 一移:使方程的右边为 0 二分:将方程的左边因式分解 三化:将方程化为两个一元一次方程 四解:写出方程的两个解 一次式 $