精品解析：吉林长春市第四十五中学2025-2026学年九年级下学期6月中考模拟数学试题

九年级数学学科阶段练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 在第七次人口普查中，云南省全省总人口数量约为4721万，排全国第12位，将数据“4721万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 代数式可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 图，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为分别位于轴，轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. “温室大棚温控系统”可以将温室大棚的温度控制在之间，为不同的植物提供舒适的温度环境．由此可知，温室大棚的最高温度是______． 10. 因式分解：______． 11. 若，则_________（填“”或“”） 12. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 13. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______． 14. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，给出下面四个结论：①；②矩形的周长为4；③；④的最小值为3．上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：．其中，． 16. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 17. 在“绿色低碳生活”主题实践活动中，某校“环保志愿小组”计划使用新能源清扫车清理校园周边的白色垃圾．若使用传统燃油清扫车，清理完指定区域的垃圾需要若干小时．学校后来调配了新能源清扫车，其工作效率是传统燃油清扫车的3倍，结果比原计划提前6小时完成任务．已知该区域共有90吨垃圾需要清理，求传统燃油清扫车平均每小时能清理多少吨垃圾？ 18. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、、均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点为位似中心，将放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段上作点，使得； （3）在图③中，作，且相似比为． 19. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 20. 为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 （1）表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； （2）对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； （3）在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 21. 学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍． （1）王老师驾车的速度为__________； （2）求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式； （3）小甬从学校出发__________小时后被王老师追上，此时离学校__________． 22. 能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点． 【探究】 （1）求证：四边形是菱形． 【操作一】 （2）固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为__________． 【操作二】 （3）四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，，如图③若四边形的面积为36，则的余弦值为__________． 23. 如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点． （1）__________； （2）当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； （3）当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点． （1）该抛物线对应的函数表达式为_________________________； （2）线段必过一个点，该点的坐标为____________________； （3）若线段被轴分成1∶2两部分，求的值； （4）当抛物线在四边形内部的部分随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科阶段练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． 2. 在第七次人口普查中，云南省全省总人口数量约为4721万，排全国第12位，将数据“4721万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将4721万化为47210000，再将数写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：因为4721万47210000， 所以． 3. 代数式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 图，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；逐一判定即可． 【详解】解：A、，能判定，但不能判定，不符合题意； B、，根据内错角相等，两直线平行，能判定，符合题意； C、，能判定，但不能判定，不符合题意； D、，能判定，但不能判定，不符合题意． 5. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和相交于点， ， ， ， ， ． 6. 一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 当时，， ∵， ∴， 即， 选项中只有，符合要求． 7. 国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A：图形的大小发生了改变，不合题意； B：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意； C：图形的方向发生了改变，不合题意； D：图形大小不同，不能通过平移得到，不合题意． 8. 如图，正方形的边长为分别位于轴，轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得出OC∥AB，从而得出△BPQ∽△OQC，再根据，即可得出点P的坐标，利用待定系数法求出直线OB、CP的解析式，联立两个解析式求出交点坐标后再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】∵四边形OABC为正方形， ∴OC∥AB， ∴△BPQ∽△OQC， ∵ ∴ ∵正方形OABC的边长为6， ∴点C(0,6),B(6,6),P(6,3)， 利用待定系数法可求出： 直线OB的解析式为y=x,直线CP的解析式为 联立OB、CP的解析式得： 解得： ∴Q(4,4). ∵函数的图象经过点Q， ∴k=4×4=16. 故选C. 【点睛】考查反比例函数系数k的几何意义, 正方形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. “温室大棚温控系统”可以将温室大棚的温度控制在之间，为不同的植物提供舒适的温度环境．由此可知，温室大棚的最高温度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，根据有理数的加法直接计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：温室大棚的最高温度是， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先找出多项式各项的公因式，再提取公因式进行因式分解，即可求解 【详解】解： 11. 若，则_________（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断不等号方向即可. 【详解】解：∵， 不等式两边同时乘以同一个正数2，不等号方向不变， ∴. 12. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个多边形的边数是． 13. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知：A、H、G三点共线，， ∵3个矩形相同， ∴， ∴， ∴， 菱形中，， ∴， ∴， ∵每个矩形的周长为， ∴， ∴， ∴菱形的周长为： ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，给出下面四个结论：①；②矩形的周长为4；③；④的最小值为3．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得矩形的周长等于，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】如图，连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，即结论①正确； ∵， ∴， ∴，即结论③正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的周长，故结论②错误； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又∵， ∴的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①③. 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先利用平方差公式展开原式，合并同类项化简后，代入，的值计算即可得到结果． 【详解】解：， 当，时，原式． 16. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：，共1种， ∴能够让小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意， 可以画出如下的树状图 ： 由树状图可以看出， 所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等， 能够让灯泡发光的有 6 种结果， 能够让灯泡发光的概率为： ． 17. 在“绿色低碳生活”主题实践活动中，某校“环保志愿小组”计划使用新能源清扫车清理校园周边的白色垃圾．若使用传统燃油清扫车，清理完指定区域的垃圾需要若干小时．学校后来调配了新能源清扫车，其工作效率是传统燃油清扫车的3倍，结果比原计划提前6小时完成任务．已知该区域共有90吨垃圾需要清理，求传统燃油清扫车平均每小时能清理多少吨垃圾？ 【答案】 传统燃油清扫车平均每小时能清理吨垃圾 【解析】 【分析】利用“工作时间总工作量工作效率”的关系，根据提前6小时完成任务得到等量关系，设未知数后列分式方程求解，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设传统燃油清扫车平均每小时能清理吨垃圾， 由题意可得新能源清扫车平均每小时清理吨垃圾， 根据题意列方程得， 去分母得，解得， 经检验，当时，，即是原方程的解，且符合实际意义． 答：传统燃油清扫车平均每小时能清理10吨垃圾． 18. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、、均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点为位似中心，将放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段上作点，使得； （3）在图③中，作，且相似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）是解决问题的关键． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （2）利用格线，找到边上的高线上距离最近的4等分点，过这点与平行的格线与的交点即为点D； （3）在和上找到各自的靠近的4等分点，连接即可． 【小问1详解】 如图，每个小格的边长是1， ， 延长至，使，同样的方法可得点B的对应点，连接， 即为所求； 【小问2详解】 如图，是边上的高，点N是的一个4等分点，过点N与平行的格线与的交点即为点D； 点即为所求; 【小问3详解】 如图，点E为的一个4等分点，点P为的一个4等分点，过点P和平行的格线交于点F，连接, 即为所求 19. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 20. 为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 （1）表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； （2）对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； （3）在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 【答案】（1）8；8.35，补全统计图见解析 （2）二 （3）评分为10分的同学最多有9人 【解析】 【分析】（1）求m：因为一班共人，中位数是排序后第、个数据的平均数，所以先累计各分数段人数，确定第、个数据对应的分数，计算得到m；求n：因为平均数为所有数据之和除以总人数，所以先根据统计图提取二班各评分对应的人数，计算总分后除以得到n；补全统计图时，先计算一班分的人数，再绘制对应高度的直条。 （2）判断成绩稳定性：因为方差越小数据波动越小、成绩越稳定，所以直接比较两个班的方差大小即可； （3）求分最多人数：先设7分、8分、9分、分的人数分别为变量，根据总人数为列等式；因为中位数是，所以排序后第、个数据分别为8和9，据此得到7分与8分人数之和、9分与分人数之和的范围；再结合众数为9分且人数为9人，要让分人数最多，则让8分人数尽可能少，联立关系求解最大值． 【小问1详解】 解：补全统计图如图所示， ∵一班和二班各40名学生， ∴一班得分为8分的人数为（人）， ∵一班得分数据从小到大排列后，第20和第21个数分别为8，8， ∴中位数， 二班的平均分． 【小问2详解】 ∵0.978<1.219， ∴二班成绩的方差小于一班成绩的方差， ∴二班的成绩比较稳定． 【小问3详解】 由题知，一班总人数为40人， ∵中位数为8.5， ∴将40名同学的成绩从小到大排列后，第20，21名同学的成绩分别为8分和9分， ∴评分为9分和10分的人数一共为20人， 又∵众数为9， ∴评分为10分的同学最多有9人． 21. 学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍． （1）王老师驾车的速度为__________； （2）求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式； （3）小甬从学校出发__________小时后被王老师追上，此时离学校__________． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出小甬的速度，再根据王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍即可求出王老师驾车的速度； （2）根据王老师驾车的速度设，把代入，求出的值，即可得出答案； （3）设小甬从学校出发小时后被王老师追上，根据路程速度时间，列方程，求出的值，再求出离学校距离即可． 【小问1详解】 解：∵出发小时后小甬到达离学校千米的中途休息区， ∴小甬的速度是， ∵王老师驾车的速度是小甬步行的速度的倍， ∴王老师驾车的速度为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，王老师驾车的速度为， ∴设王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设小甬从学校出发小时后被王老师追上， ∴， 解得：， ∴ 答：小甬从学校出发小时后被王老师追上，此时离学校． 22. 能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点． 【探究】 （1）求证：四边形是菱形． 【操作一】 （2）固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为__________． 【操作二】 （3）四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，，如图③若四边形的面积为36，则的余弦值为__________． 【答案】（1）证明：四边形和都是平行四边形， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得； （3）先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得是等腰三角形，且平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，，设的余弦值为，根据得出，进而证明四边形是矩形，据此利用矩形的面积公式建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与相交于点，与相交于点 四边形和是两个完全重合的平行四边形 ， 在和中， ，和的周长相等 同理可得： 、、、的周长均相等 又 的周长 则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 【小问3详解】 解：如图，设与相交于点 四边形和是两个完全重合的平行四边形 是等腰三角形，且平分 ， 设的余弦值为 在中， ∴，即 ∴ 又 四边形是平行四边形 ，即 平行四边形是矩形 ∵四边形的面积为36， ∴ 解得： 即的余弦值为 23. 如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点． （1）__________； （2）当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； （3）当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 【答案】（1） （2）①如图，即为所求（答案不唯一）． ②；③ （3） 【解析】 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）①作的垂直平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，长为半径作，交边于点，即为所求； ②根据平行线的性质得出，利用勾股定理求出，得出，利用三角函数求出，进而求出； ③连接，根据等腰三角形的性质求出，利用弧长公式即可求出劣弧的长． （3）根据与线段恰好有且只有一个公共点得出与相切，分两种情况：①当线段与相切时，设切点为，则，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案，②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①∵是的垂直平分线，， ∴点在以为直径的圆上， ∵点是的中点， ∴即为所求； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． ③如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴劣弧的长为． 【小问3详解】 解：∵与线段恰好有且只有一个公共点， ①当线段与相切时， 如图，设切点为，连接，过点作于， ∵与相切，切点为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点，故此情况不存在． 综上所述：． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点． （1）该抛物线对应的函数表达式为_________________________； （2）线段必过一个点，该点的坐标为____________________； （3）若线段被轴分成1∶2两部分，求的值； （4）当抛物线在四边形内部的部分随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法将坐标代入求解即可； （2）根据点的横坐标写出和的坐标，再由与关于点对称求出 的坐标，计算与的中点，化简后得到定点，与无关，故线段恒过该点； （3）设线段与轴的交点为点，根据题意可得点和点坐标，分两类讨论，当时，作轴于点，作轴于点，可证明，根据相似比可得关于的方程，求解即可；当时，同理可得关于的方程，求解即可得的值； （4）根据抛物线的增减性以及四边形为平行四边形，画出符合题意的临界位置图象，利结合图象以即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入， 整理得， 解得， 抛物线的函数表达式为；． 【小问2详解】 点在抛物线上，横坐标为， 点坐标为，点的坐标为， 点关于点对称点为点，点坐标为，设点， ，解得， ， 线段的中点坐标为，即， 线段必过点． 【小问3详解】 解：设线段与轴的交点为点， ①当时，如图，作轴于点，作轴于点， ∵点在抛物线上，横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或， ∵点与点在轴两侧， ∴， 当，，故舍去， ∴； ②当时，如图，作轴于点，作轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴， 解得或， ∵点与点在轴两侧， ∴， 当，，故舍去， ∴， 综上所述，或． 【小问4详解】 抛物线，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，时随增大而减小， 四边形对角线互相平分，是平行四边形， 因为抛物线在四边形内部的部分随增大而增大， 如图1所示，此为满足条件的右端临界位置，此时正好在抛物线上， 将代入二次函数解析式得， 当时，点在抛物线外，此时四边形内部会包含对称轴左边的图象，不符合题意； 如图2所示，当直线与轴平行时，即，解得（正值舍去）， 此时四点在同一直线上，四边形不存在，不符合题意； 如图3， 当时，四边形内部不包含二次函数图象，不符合题意； 如图4，此为满足条件的左端临界点，此时直线经过二次函数顶点， 又根据中点坐标公式可得的中点为，即的中点为， 所以直线的解析式为，将代入解得，所以时，四边形内部会包含二次函数对称轴左边部分图象，不符合题意； 综上所述，符合题意的的取值范围为或． 【点睛】 本题主要考察了二次函数解析式的求法、平移与中心对称的坐标变换、相似三角形比例关系的几何应用，以及二次函数增减性与四边形区域的位置关系分析，解题关键在于利用对称性发现恒过定点，通过作垂线构造相似将线段比例转化为横坐标绝对值的比例方程，对于第(4)问，需根据平行四边形对角线互相平分确定对边平行于坐标轴，再结合抛物线开口方向与对称轴，画出符合条件的临界位置图象，结合图象求解的范围，整体上需要灵活运用代数与几何的转化思想，并注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $