精品解析：四川凉山州某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合要求. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 4. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 144种 D. 216种 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为正整数且 B. 满足方程的值可能为或 C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D. 把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若，则a的值为________． 13. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有__________种不同的着色方法. 14. 若不等式恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球； （1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率； （2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率； （3）从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率． 18. 已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合要求. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数. 因此的虚部为. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 详解】根据图像可知时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减 综上，只有D选项符合. 3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 4. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由导数的定义，， 已知，故. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，令即可求解. 【详解】对求导得，， 令，得，解得. 故选：A. 6. 一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 144种 D. 216种 【答案】B 【解析】 【详解】三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法， 若两个家庭之间有1个空位的排法有； 若两个家庭之间有2个空位排法有； 所以符合要求的排座方式一共有种. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断. 【详解】令，则上恒成立， 可知在上单调递增，则， 可得，即. 故选：C. 8. 设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式的概念，写出数列通项公式，进而写出的通项公式，根据等比数列的前项和，求出，判断不超过2025的项的个数. 【详解】已知是以2为首项，1为公差的等差数列，则， 是1为首项，2为公比等比数列，则， 所以， 则， 可知，， 所以不超过2025的项有10个. 故选：C. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导. 【详解】对于选项A： ，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：BD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为正整数且 B. 满足方程的值可能为或 C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D. 把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，得或，解得或，B正确； 对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误； 对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若，则a的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列式求解，即可得答案. 【详解】由题意直线，，， 得且， 即且 解得. 13. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有__________种不同的着色方法. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先给I地区涂色有6种， 再给Ⅱ地区涂色有5种， 给Ⅲ地区涂色有4种， 给Ⅳ地区涂色有4种， 所以由分步乘法计数原理得：种. 故答案为：. 14. 若不等式恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解． 【详解】因为，所以，则． 令，则．当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即， 从而，当且仅当时，等号成立． 又，所以，则，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 且当时，． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式常用思路 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，求解不等式． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 17. 一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球； （1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率； （2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率； （3）从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分为一个红球和两个红球，由组合数的计算古典概率即可； （2）分为零个白球，一个白球，两个白球，由组合数的计算古典概率即可； （3）由已知列不等式组可得，再分红球个数为2,3,4由组合数计算古典概率即可； 【小问1详解】 从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为. 【小问2详解】 从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为， 【小问3详解】 由题意可得，解得， 可能情况为： 红球2个，白球3个，此时概率为， 红球3个，白球2个，此时概率为， 红球4个，白球1个，此时概率为， 所以总分不少于7分的概率为. 18. 已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）4， 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到 的关系,再将已知点代入椭圆方程,联立解得 ,从而写出椭圆方程. （2）设出直线方程并与椭圆联立,利用韦达定理和距离公式表示出弦长和点到直线的距离,写出三角形面积表达式,用均值不等式求出最大值及对应的直线方程. 【小问1详解】 由题意得，且，所以， 将代入椭圆方程得，结合，得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，， 由消去，整理得， 由可得，且，， ， 点P到直线的距离为， ， 当且仅当，即时(满足)取得等号， 即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明：因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，即． 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论的取值情况来判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的极值可求答案； （3）设，把目标式用表示，利用导数判断单调性可证. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为在上有两个零点，所以， 由得，令，则， 所以，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $