精品解析：四川省凉山州宁南中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度高二下期第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数求导正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A B. C. 2 D. 3. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在其定义域内的一子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ） A. B. C D. 8. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A. 当时， B. ，都有 C. 的解集为 D. 的单调递增区间是， 11. 对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 直线与曲线相切于点，则_______． 13. 曲线上的点到直线的距离的最小值为________. 14. 函数在上单调，则的取值范围是____________________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 17. 已知奇函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）若，使得有解，求实数的取值范围． 18. 已知关于x的函数，其图象与x轴相切． （1）求的表达式； （2）证明：； （3）设数列，（），的前n项和为，证明：． 19. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）若，求函数的最小值； （3）若有两个零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高二下期第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 3. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导后，令即可求解. 【详解】因为， 所以，令，则， 解得：. 故选：C. 4. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 5. 若函数在其定义域内的一子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意转化为极值点在区间，求解函数的极值点，并列不等式，即可求解. 【详解】函数定义域为，求导得，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增，由题意得， 解得：. 故选：D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数 ，求函数的导数，判断函数的单调性，结合函数单调性的性质进行比较即可． 【详解】当时不等式成立， ， 在上是减函数． 则，， ， 又函数是定义在上的奇函数， 是定义在上的偶函数， 则， ， 在上是减函数， ， 则， 故选：A． 7. 函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 8. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A. 当时， B. ，都有 C. 的解集为 D. 的单调递增区间是， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案. 【详解】对于A，当时，，则， 函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误； 对于B，当时，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 当时，； 当时，，，则， 综上，当时，， 因为函数是奇函数，所以， 当时，，故B正确； 对于C，由B可知，当时，，， 则； 当时，，，则， 因为函数是奇函数，所以当时，；当时，， 因为函数是奇函数，所以， 综上，不等式，其解集，故C错误； 对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减， 因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减； 当时， 单调递增，故D正确. 故选：BD. 11. 对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照定义依次判断4个选项即可. 【详解】条件①； 由选项可得，，，，即ABCD都符合； 条件②或； 即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 对于，则， 由，可得，即函数单调递增； 由，可得，即函数单调递减，满足条件②； 对于，则显然恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足条件②； 对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增；满足条件②； 对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增，满足条件②； 因此ACD满足条件②； 条件③当且时，，都有， 即， 对于， ， 令，则，令，则，故在上单调递增，， 即，所以满足条件③； 对于，， 令，，则在上显然恒成立， 所以，则，即满足条件③； 对于，， 令，， 则在上显然恒成立，所以， 则，即满足条件③； 综上，ACD选项是“偏对称函数”. 故选：ACD. 【点睛】本题关键点在于条件③的判断，需要先作差，然后再构造函数，求导确定函数单调性，进而说明不等式是否成立，得到结论. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 直线与曲线相切于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在直线上求出值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【详解】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 13. 曲线上的点到直线的距离的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义找出曲线与直线平行的切线的切点，结合点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】假设是曲线上的一个动点， 当曲线在处的切线与直线平行时，所求的距离最小，设此时， 由题意得，由，得，则， 所以所求距离的最小值为. 故答案为：. 14. 函数在上单调，则的取值范围是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增得到恒成立，然后分和分析得到，最后再结合端点处的函数值列不等式求解即可. 【详解】由题意可知时，时，； 因为在上单调递增， 所以时，恒成立，即，可得， 当，时，，在上单调递增，成立， 又，可得，综上可得，的取值范围是. 故答案：. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，即方程， 解得 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 16. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 17. 已知奇函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）若，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数求出的值，由处取得极大值，求出，的值，即可确定的解析式； （2）判断在上的单调性，求出函数的最值，依题意，解得即可． 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 18. 已知关于x的函数，其图象与x轴相切． （1）求的表达式； （2）证明：； （3）设数列，（），的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象与x轴相切，可计算求出切点，代入函数即可求出a的值. （2）计算及的解，求出函数的单调区间，从而计算的最大值，可证明结果. （3）借助（2）可知，构造当时，有，取倒数结合放缩法可得，从而得出，两边求和即可得证. 【小问1详解】 函数的图象与x轴相切，则得代入可得. 【小问2详解】 ，则， 则得，得 所以上单调递增，在上单调递减， 得证. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，，即当时，，又当时，，，所以， 所以，即，，得证. 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，解答时应该注意： 数列是特殊的函数，它的图像是一群孤立的点， 转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，往往被忽略. 利用函数的方法研究数列中的相关问题，应准确构造相应的函数，注意数列中相关条件的转化. 19. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）若，求函数的最小值； （3）若有两个零点，，证明：. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后解不等式、即可求得极值. （2）运用导数研究的单调性，进而可求得其最小值. （3）由已知可得，构造函数，根据其单调性可得，构造函数并研究其单调性，构造函数并研究其单调性，当时，依次结合函数、的单调性即可证得结果. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 【小问3详解】 不妨设，则由（2）知，. 设，由，得， 即， 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即. 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$