【期末复习冲刺】第23章 一次函数 单元小结与复习 学案 -2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，通过28道例题系统覆盖一次函数九大核心知识点，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念|1题|图象辨析|从基础概念切入，建立变量关系认知| |自变量取值范围|1题|范围求解|深化函数定义域的数学表达| |函数图象|1题|动态变化分析|培养几何直观与空间观念| |正比例函数|1题|系数比较|衔接特殊与一般函数的性质| |一次函数性质|4题|图象与系数关系|强化k、b对函数增减性及象限的影响| |待定系数法|1题|解析式求解|掌握函数建模的核心方法| |一次函数与不等式|4题|数形结合应用|建立函数与不等式的逻辑联系| |直线相交平行|2题|位置关系判断|提升推理能力与符号意识| |一次函数应用|14题|实际问题建模|突出模型意识与应用能力，覆盖行程、利润等场景|

【期末复习冲刺】一次函数单元小结与复习教学案 知识点一 函数的概念 1．（2026春•朝阳区校级期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：A、B、D中的曲线，在x的取值范围内，对于x的每一个确定的值，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故A、B、D不符合题意； C、此双曲线中，表示y是x的函数，故C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 知识点二 函数自变量的取值范围 2．求下列函数中自变量x的取值范围： （1）y＝﹣2x+1； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据整式的概念解答； （2）根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案； （3）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案； （4）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：（1）y＝﹣2x+1，自变量x的取值范围是全体实数； （2）由题意得：x+1≠0， 解得：x≠﹣1； （3）由题意得：2x﹣3≥0， 解得：x； （4）由题意得：3+x≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥﹣3且x≠2． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零、二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 知识点三 函数的图象 3．（2025春•砀山县校级期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据V与h不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除CD选项，再根据越往上体积越小排除A即可． 【解答】解：由题知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除CD选项， 随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图象的知识，根据V与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键． 知识点四 正比例函数的图象 4．（2025秋•惠来县期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【分析】在图中画出直线x＝1，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题． 【解答】解：作直线x＝1如图所示， 则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c）， 结合A，B，C三个点的位置可知， c＜a＜b． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 知识点五 一次函数的性质 5．（2025•蒙城县模拟）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【解答】解：当a＞0，b＞0时， 一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，一次函数2＝bx+a的图象经过第一、二、三象限，故选项C错误； 当a＞0，b＜0时， 一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，一次函数y2＝bx+a的图象经过第一、二、四象限，故选项A正确、选项B错误、选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 6．关于直线l：y＝kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　） A．点（0，k）在l上 B．l经过定点（﹣1，0） C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限 【分析】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可． 【解答】解：A、当x＝0时，y＝k，即点（0，k）在l上，故此选项正确； B、当x＝﹣1时，y＝﹣k+k＝0，此选项正确； C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确； D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．此题难度不大． 7．（2025秋•新城区校级月考）下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　　） A．（﹣2，6）与（3，1） B．（﹣2，3）与（6，﹣4） C．（﹣2，﹣3）与（﹣4，﹣6） D．（2，3）与（4，9） 【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可． 【解答】解：根据正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同， 选项C中两点坐标符合这一特征，其它选项都不符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同是解题的关键． 8．（2025•梁山县一模）如图所示，已知点C（2，0），直线y＝﹣x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长取最小值时，点D的坐标为（　　） A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，） 【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣2，0），点C关于直线AB的对称点C″（6，4），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，解求得K的坐标，进而求得C″的坐标，然后根据待定系数法求得直线C′C″的解析式，然后与直线AB的解析式联立，解方程组即可． 【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣2，0），点C关于直线AB的对称点C″， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6， ∴直线CC″的解析式为y＝x﹣2， 由解得：， ∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，2）， ∵K是CC″中点， ∴可得C″（6，4）． 连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小， 设直线C′C″的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线C′C″的解析式为yx+1， 解得， ∴D（，）， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置． 9．（2025•兴宁区二模）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2的图象上的不同两个点，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0时，k的取值范围是 k＞0　 ． 【分析】根据（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，可知x1﹣x2与y1﹣y2同号，进一步可知函数增减性，即可求出k的取值范围． 【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0， ∴x1﹣x2与y1﹣y2同号， ∴在一次函数y＝kx+2中，y的值随x值的增大而增大， ∴k＞0， 故答案为：k＞0． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 知识点六 待定系数法求一次函数解析式 10．已知点A（6，0）及在第一象限的动点P（x，y），且2x+y＝8，设△OAP的面积为S． （1）试用x表示y，并写出x的取值范围； （2）求S关于x的函数解析式； （3）△OAP的面积是否能够达到30？为什么？ 【分析】（1）利用2x+y＝8，得出y＝8﹣2x及点P（x，y）在第一象限内求出自变量的取值范围． （2）根据△OAP的面积＝OA×y÷2列出函数解析式， （3）利用当S＝30，﹣6x+24＝30，求出x的值，进而利用x的取值范围得出答案． 【解答】解：（1）∵2x+y＝8， ∴y＝8﹣2x， ∵点P（x，y）在第一象限内， ∴x＞0，y＝8﹣2x＞0， 解得：0＜x＜4； （2）△OAP的面积S＝6×y÷2＝6×（8﹣2x）÷2＝﹣6x+24； （3）∵S＝﹣6x+24， ∴当S＝30，﹣6x+24＝30， 解得：x＝﹣1， ∵0＜x＜4， ∴x＝﹣1不合题意， 故△OAP的面积不能够达到30． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 知识点七 一次函数与一元一次不等式 11．（2026春•同步）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．当y＞1时，x＞0 B．关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2 C．当x＜0时，1＜y＜2 D．关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴的交点为（2，0），（0，1），当y＞1时，x＜0，故A错误，不符合题意； 方程ax+b＝0的解是x＝2，B选项正确，符合题意； 当x＜0时，y＞1，C选项错误，不符合题意； 不等式ax+b＜0的解集是x＞2，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 12．（2025•中江县模拟）如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 【分析】观察函数图象得到即可． 【解答】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0， 所以关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜3， 所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3， 即：x＜4， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13．（2025•历城区三模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为　﹣2＜x＜﹣1　 ． 【分析】解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． 【解答】解：根据题意得到y＝kx+b与y＝2x交点为A（﹣1，﹣2）， 解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又B（﹣2，0）， 此时自变量x的取值范围，是﹣2＜x＜﹣1． 即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：﹣2＜x＜﹣1． 故答案为：﹣2＜x＜﹣1． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据函数图象即可得到不等式的解集． 14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣1，3）， （1）若图象还经过点（3，﹣5），求这个函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＞4，求m的取值范围． （3）若当x＞t时，总有y＞3，求t的取值范围． 【分析】（1）将点（﹣1，3），（3，﹣5）代入y＝kx+b，即可求该一次函数的表达式； （2）将点P（m，n）代入（1）中所求的解析式，得出n＝﹣2m+1，代入m﹣n＞4，得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围； （3）根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣1，3），及已知条件即可求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣1，3），（3，﹣5）， ∴，解得， ∴这个函数的表达式为y＝﹣2x+1； （2）∵点P（m，n）在该函数的图象上， ∴n＝﹣2m+1， ∵m﹣n＞4， ∴m﹣（﹣2m+1）＞4， 解得m， 即m的取值范围是m； （3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣1，3）， ∴x＝﹣1时，y＝3， ∴若当x＞t时，总有y＞3，t的取值范围是t≥﹣1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，直线较强，难度适中． 知识点八 两条直线相交或平行问题 15．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围； （3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值； （4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； （5）若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【分析】（1）根据条件得到m﹣1＝0，解方程即可； （2）根据条件得到m﹣1＜0，且2m+3≠0求出m的取值范围即可； （3）根据条件得到2m+3＝1，求出m值即可； （4）根据条件得到2m+3＜0，解不等式得到m的取值范围即可； （5）根据条件得到，解不等式组即可． 【解答】解：（1）∵函数图象经过原点， ∴m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴当m＝1时，一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1图象经过原点； （2）∵函数的图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴m﹣1＜0，且2m+3≠0， 解得m＜1，且m； （3）∵函数图象平行于直线y＝x+1， ∴2m+3＝1， 解得m＝﹣1； （4）∵函数的值y随自变量x的增大而减小， ∴2m+3＜0， 解得m； （5）∵该函数图象不经过第二象限， ∴， 解得m≤1． 【点睛】本题考查了两条直线相交和平行问题、一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（2021秋•盘州市期末）如图，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（m，m），直线l2与x轴交于点B．已知直线l2的函数表达式为y＝﹣x+6． （1）求直线l1的函数表达式． （2）P是直线l1上的一个动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【分析】（1）把点C（m，m）代入直线l2的函数表达式y＝﹣x+6求出m＝3，再利用待定系数法即可求出直线l1的函数表达式； （2）设点P的坐标为（t，t+2），再由S△ABP＝6求出t的值即可． 【解答】解：（1）把点C（m，m）代入直线l2的函数表达式y＝﹣x+6，得m＝﹣m+6，解得m＝3， ∴C（3，3）， 设直线l1：y＝kx+b， ∵直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（3，3）， ∴， 解得：， 故直线l1的函数表达式为：yx+2； （2）由题及（1）可设点P的坐标为（t，t+2）． ∵直线l2：y＝﹣x+6与x轴交于点B． ∴B（6，0）， ∵点A（﹣6，0）， ∴AB＝12， ∵S△ABP＝6， ∴AB•|t+2|12•|t+2|＝6，即|t+2|＝1，解得：t＝﹣3或t＝﹣9， ∴点P的坐标为（﹣3，1）或（﹣9，﹣1）． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 知识点九 一次函数的应用 17．（2025春•筠连县校级月考）等腰三角形周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm．解答下列各题： （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）当腰长AB为4cm时，求底边BC的长； （3）请直接写出x、y的取值范围． 【分析】（1）根据：底边长+两腰长＝周长，建立等量关系，变形即可； （2）将x＝4代入函数关系式，即可求解； （3）根据三角形两边之和大于第三边，即可确定自变量的取值范围，根据函数解析式，可得y的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，得：2x+y＝10，则y＝10﹣2x． 故y随x变化的函数关系式为y＝10﹣2x； （2）分情况讨论： 当x＝4时，y＝10﹣2x＝10﹣2×4＝2； 故当腰长AB为4cm时，底边BC的长为2cm； （3）根据三角形的三边关系列一元一次不等式组得：． ∵y＝10﹣2x， ∴根据题意列一元一次不等式组得，， 解得2.5＜x＜5， ∴﹣10＜﹣2x＜﹣5，0＜10﹣2x＜5， 即0＜y＜5． 故自变量x的取值范围是：2.5＜x＜5，y的取值范围是：0＜y＜5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组的应用，函数关系式，三角形三边关系，关键是相关性质的熟练掌握． 18．（2026•临川区二模）某外卖平台统计了甲、乙、丙三名骑手某天的配送数据，甲、乙、丙上午配送数据分别用M1，M2，M3表示，下午配送数据分别用N1，N2，N3表示，若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（　　） A．甲的配送效率最大 B．丙的配送效率最大 C．甲的配送效率最小 D．乙的配送效率最小 【分析】连接M1N1，M2N2，M3N3，分别取M1N1，M2N2，M3N3的中点Q1，Q2，Q3，设M1（x上1，y上1），N1（x下1，y下1），则，则甲一天的配送效率为，同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，连接OQ1，OQ2，OQ3，然后问题可求解． 【解答】解：如图，连接M1N1，M2N2，M3N3，分别取M1N1，M2N2，M3N3的中点Q1，Q2，Q3．连接OQ1，OQ2，OQ3， 设M1（x上1，y上1），N1（x下1，y下1），则， 则甲一天的配送效率为， 由解图可得OQ1的倾斜程度＞OQ2的倾斜程度＞OQ3的倾斜程度， 即甲一天的配送效率＞乙一天的配送效率＞丙一天的配送效率． ∴A选项的说法正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意是关键． 19．（2026•老河口市模拟）古代数学文化《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺＝10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（　　） A． B．5 C． D．6 【分析】根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为9，然后列出相应的方程，求解即可． 【解答】解：设两图象交点的横坐标是x，则： 0.7x+x＝9， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 20．（2026•沁水县二模）如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点，BC是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（cm）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是5N，该实验装置高度h的最高可为　40　 cm． 【分析】用待定系数法求出拉力F和h的函数解析式，再代入函数值，即可求解． 【解答】解：在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（cm）的一次函数．则： 设拉力F和h的函数解析式为F＝kh+b（k≠0）， 由题可得，， 解得， ∴F＝0.1h+1， ∵0.1＞0， ∴F随h的增高而增大，则F取最大量程，h最高， 当F＝5时，0.1h+1＝5，解得h＝40， 故答案为：40． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 21．（2026春•西城区校级期中）小宇的家离学校1800米．小宇早晨从家出发沿笔直的马路匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小宇忘带跳绳，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小宇，爸爸追上小宇后以原速度沿原路回家．小宇拿到跳绳后以原速度的1.5倍快步赶往学校（小宇被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小宇与爸爸之间的距离y（m）与小宇从家出发到学校的步行时间x（min）之间的函数关系如图所示． （1）小宇从家出发　9　 分钟时，爸爸追上小宇； （2）小宇从家到学校用时　18　 分钟． 【分析】（1）由图象求解即可； （2）设小宇原来的速度为am/min，爸爸的速度为bm/min，根据函数图象关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度列方程即可得出答案． 【解答】解：（1）由图象可得，当y＝0时，x＝9min， ∴小宇从家出发9分钟时，爸爸追上小宇， 故答案为：9； （2）设小宇原来的速度为am/min，爸爸的速度为bm/min，则小宇后来的速度为1.5am/min， 根据函数关系图可得出：， 解得， ∴小宇原来的速度为80m/min，后来的速度为：1.5×80＝120m/min， ∴根据题意得，80×9+（x﹣9）×120＝1800， 解得x＝18， ∴小宇从家到学校用时18分钟， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了变量关系图象上获取信息以及二元一次方程组和一元一次方程的应用，看懂变量之间的图象是解题的关键． 22．（2026•新野县二模）树立文明新风尚，某区投入一批资金计划购买甲、乙两种道旁装饰性垃圾桶．已知购买10个甲种垃圾桶、20个乙种垃圾桶需8000元；购买20个甲种垃圾桶、30个乙种垃圾桶需13000元． （1）甲、乙两种垃圾桶的单价各是多少元？ （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，所需总资金为y元，求y（元）与x（个）之间的函数关系式； （3）在（2）中，若购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，请你设计购买这批垃圾桶花费最少的方案，最少花费是多少元？ 【分析】（1）设甲种垃圾桶每个m元，乙种垃圾桶每个n元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，则购买乙种垃圾桶（400﹣x）个，根据总资金等于两种垃圾桶的价格之和即可列出函数关系式； （3）根据购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，列出不等关系式，求出甲种垃圾桶的取值范围，再结合总资金函数关系式求出最小值即可． 【解答】解：（1）设甲种垃圾桶每个m元，乙种垃圾桶每个n元， 由题意，得， 解得． 答：甲种垃圾桶每个200元，乙种垃圾桶每个300元； （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，则购买乙种垃圾桶（400﹣x）个， ∴所需总资金为y＝200x+300（400﹣x）＝﹣100x+120000， ∴y（元）与x（个）之间的函数关系式为y＝﹣100x+120000； （3）由题意得x（400﹣x）， 解得x≤100， 在y＝﹣100x+120000中， ∵﹣100＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝100时，y最小． 此时y＝﹣100×100+120000＝110000． 故花费最少的方案是购买甲种垃圾桶100个，乙种垃圾桶300个，花费110000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，不等式的实际应用问题，根据实际问题找到对应的等量关系是解题的关键． 23．（2026•楚雄州二模）有着“中国乌天麻之乡”美誉的昭通开始探索天麻林下仿野生种植，如今实现种子繁育、规范种植、精深加工、品牌营销等全产业链发展．请根据以下素材，完成探究任务． 制定采购方案 项目背景 昭通某土特产店向种植户采购一批林下仿野生种植天麻深加工成品，采购“特级天麻”“一级天麻”两种天麻． 素材1 ①该土特产店采购了100kg特级天麻和300kg一级天麻共花费了50000元； ②已知采购50kg特级天麻比采购30kg一级天麻产品多用7000元． 素材2 由于销售比较好，该土特产店计划再次采购两种天麻共250kg． 素材3 两次采购后，要求“特级天麻”的总数量不少于“一级天麻”总数量的． 探究任务 （1）任务1：分别求出“特级天麻”“一级天麻”两种天麻的价格； （2）任务2：用哪种采购方案费用最少，最少费用是多少？ 【分析】（1）设“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克x元、y元，根据素材1列方程组求解即可； （2）设采购“特级天麻”akg，则采购“一级天麻”为（250﹣a）kg，求出a的取值范围，设第二次采购的总费用为w元，求出w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【解答】解：（1）设“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克x元、y元，根据题意可得： ， 解得． 答：“特级天麻”、“一级天麻”两种天麻的价格分别为每千克200元、100元； （2）设采购“特级天麻”akg，根据题意可得： ， 解得a≥30． 设第二次采购的总费用为w元， 则w＝200a+100（250﹣a）＝100a+25000， 由于k＝100＞0，w随a的增大而增大， 则当a＝30时，w最小，最少费用为28000元； 答：采购“特级天麻”30kg、“一级天麻”220kg时，采购费用最少为28000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键． 24．（2026•朝阳区校级一模）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：cm），装置内液体体积为V（单位：mL）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：cm） 装置内液体体积V（单位：mL） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（mL）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为12cm时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，则装置内液面的高度为　5　 cm． 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法，即可求出V与x之间的函数表达式； （2）代入x＝12，求出V值即可； （3）代入x＝0，求出V值，再结合液面以下探针长度x每增加1cm装置内液体体积V增加10mL，即可求出结论． 【解答】解：（1）设V与x之间的函数表达式为V＝ax+b（a≠0）， 将（5，100），（10，150）代入V＝ax+b得：， 解得：， ∴V与x之间的函数表达式为V＝10x+50； （2）当x＝12时，V＝10×12+50＝170． 答：当探针浸入液面以下的长度为12cm时，装置内液体的体积为170mL； （3）当x＝0时，V＝10×0+50＝50， ∵50÷10＝5（cm）， ∴当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出装置内液体体积V（单位：mL）与探针浸入液面以下的长度x（单位：cm）之间的函数关系式是解题的关键． 25．（2026•潍坊模拟）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系的图象如图②所示． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）该小球滚动多长时间，速度为3m/s？ （3）求小球在整个运动过程中所滚动的路程．（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）． 【分析】（1）先求出OA解析式得到A点坐标，再用待定系数法求AB解析式； （2）分斜面加速（OA段）、水平面减速（AB段）两段分别列方程求时间； （3）根据题意：速度和时间图像与横轴围成三角形面积＝总路程，用三角形面积公式计算． 【解答】解：（1）设OA所在直线的函数表达式为y＝kx（k≠0）， 把（1，2）代入y＝kx， ∴k＝2， ∴y＝2x， 当x＝2时，y＝4， 即A点坐标为（2，4）， 设AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 由条件得， 解得， ∴AB所在直线的函数表达式为． （2）OA所在直线的函数表达式为y＝2x， 当y＝3时，3＝2x， 解得x＝1.5， AB所在直线的函数表达式为； 令， 解得x＝3.25， ∴小球在滚动过程中速度为3m/s时所经历的时间为1.5s或3.25s； （3）A点坐标为（2，4）， 两条函数表达式图象与横轴围成的三角形面积为， ∴小球在整个运动过程中所滚动的路程为14m． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 26．（2026•鲁山县二模）2025年初，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（A类）和敖丙手办（B类）盲盒，已知生产商每天生产A类手办比生产B类手办多200个，两种手办不能同时生产，且生产12000个A类手办所需时间和生产8000个B手办所需时间相同． （1）求生产商每天生产A，B两类手办的个数； （2）某商家购进两种手办的进价和售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） A手办 80 100 B手办 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元/个的B手办进行了4天的试销，试销情况如表： 第一天 第二天 第三天 第四天 单件利润m（元） 20 30 40 50 日销售量Q（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你求Q与m之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售价格． 【分析】（1）设生产商每天单独生产B类手办x个，则每天单独生产A类手办（x+200）个，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购进A类手办a个，则购进B类手办（200﹣a）个，根据题意列关于a的一元一次不等式并求其解集；设获利为W元，写出W关于a的函数关系式，根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W值最大，求出其最大值及200﹣a的值即可； （3）根据变量的变化规律写出Q与m之间的函数关系式，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设该手办的销售单价为y元，则 m＝y﹣100，根据m的取值范围列关于y的一元一次不等式并求其解集，从而求得y的最小值即可． 【解答】解：（1）设生产商每天单独生产B类手办x个，则每天单独生产A类手办（x+200）个， ∴，则x＝400， 经检验，x＝400是所列分式方程的解， ∴400+200＝600（个）． 答：生产商每天单独生产A类手办600个，每天单独生产B类手办400个； （2）设购进A类手办a个，则购进B类手办（200﹣a）个， ∴80a+100（200﹣a）≤17000，解得a≥150． 设获利为W元，则W＝（100﹣80）a+（150﹣100）（200﹣a）＝﹣30a+10000， ∵﹣30＜0， ∴W随a的减小而增大， ∵a≥150， ∴当 a＝150时W值最大，W最大＝﹣30×150+10000＝5500，200﹣150＝50（个）． 答：购进A类手办150个、B类手办50个可使商家获利最大，最大利润为5500元． （3）由表格可知，mQ＝6000， ∴Q 与m之间的函数关系式为， 设该手办的销售单价为y元， 当时，解得m≥10， 又∵m＝y﹣100， ∴y﹣100≥10， ∴y≥110． 答：该手办的最低销售单价为110元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 27．（2026•前进区校级二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强．某小区计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地下充电桩比新建1个地上充电桩多0.1万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要0.7万元． （1）求该小区新建1个地上充电桩，1个地下充电桩各需要多少万元． （2）若该小区计划用不超过15.32万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，求有几种修建方案． （3）若地上1个充电桩占地面积3平方米，地下1个充电桩占地面积1平方米．考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，请直接写出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 【分析】（1）依据题意，设新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元．则，从而计算可以得解； （2）依据题意，设建造m个地下充电桩，则地上充电桩为 （60﹣m） 个，则，从而30≤m≤33.2，结合m为整数，从而可以得解； （3）依据题意，s＝1•m+3（60﹣m）＝m+180﹣3m＝180﹣2m，可得s＝180﹣2m，结合一次函数的性质计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元． ∴， ∴， 答：小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，新建1个地下充电桩需要0.3万元； （2）由题意，设建造m个地下充电桩，则地上充电桩为 （60﹣m） 个， ∴， ∴30≤m≤33.2， 又∵m为整数， ∴m＝30，31，32，33，即有4种方案； （3）由题意，s＝1•m+3（60﹣m）＝m+180﹣3m＝180﹣2m， ∴s＝180﹣2m， ∵﹣2＜0， ∴s随m的增大而减小， ∴当mmax＝33时，则smin＝180﹣2×33＝114． 答案：方案：地下33个，地上60﹣33＝27个；最小面积114平方米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 28．（2026•南开区三模）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：mg/ml）与服药后时间x（单位：h）之间满足一次函数关系如图所示．服药后3h，测得血液中药物浓度达到最高值9mg/ml；服药后11h，测得血液中药物浓度为1mg/ml． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 成人服药后时间x（单位：h） 1 3 4 10 11 成人服药后血液中药物浓度y（单位：mg/ml） 1 （Ⅱ）①当0≤x≤11时，请直接写出y关于x的函数解析式； ②当1＜y＜2时，请直接写出x的取值范围； （Ⅲ）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3mg/ml时，才能对人体产生抗菌作用，那么成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为　8　 h． 【分析】（Ⅰ）分别求出0≤x≤3和3＜x≤11时的函数表达式，即可填写表格； （Ⅱ）①利用待定系数法求解即可； ②分两种情况，解不等式组即可； （Ⅲ）把 y＝3 分别代入两个函数表达式求出x值，再相减即可． 【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤3时，设y＝k1x，代入（3，9）得，3k1＝9， ∴k1＝3， ∴y＝3x（0≤x≤3）， ∴当x＝1时，y＝3； 当x＝3时，y＝3×3＝9； 当3＜x≤11时， 设y＝k2x+b，代入（3，9），（11，1）得，， ∴， ∴y＝﹣x+12（3＜x≤11）， ∴当 x＝4 时，y＝﹣4+12＝8；当 x＝11 时，y＝﹣11+12＝1． 成人服药后时间x（单位：h） 1 3 4 10 11 成人服药后血液中药物浓度y（单位：mg/ml） 3 9 8 2 1 （Ⅱ）①由（1）可得，； ②当0≤x≤3时，由1＜y＜2得，1＜3x＜2， ∴； 当3＜x≤11时，由1＜y＜2得，1＜﹣x+12＜2， ∴10＜x＜11． 综上：或10＜x＜11； （Ⅲ）当0≤x≤3时，把y＝3代入y＝3x得，3x＝3， ∴x＝1； 当3＜x≤11时，把y＝3代入y＝﹣x+12得，﹣x+12＝3， ∴x＝9， ∴9﹣1＝8（h）． ∴药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8h． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 29．（2026•南山区三模）笋岗文具玩具礼品城是深圳最大、最集中的文具玩具交易中心，号称“深圳的义乌”．某学校为给获奖的学生奖励的奖品更加丰富多样性，特派负责采购的李老师去考察．已知每个运动礼盒比笔记本礼盒贵10元，用500元购买运动礼盒的个数是用600元购买笔记本礼盒的个数的一半． （1）每个运动礼盒、笔记本礼盒的价格分别是多少？ （2）该学校计划购买运动礼盒和笔记本礼盒共20个，两种礼盒都需要购买，且购买的笔记本礼盒的个数不超过购买运动礼盒个数的5倍．请问李老师应该如何购买才能花费最少？并求出最少费用． 【分析】（1）设运动礼盒的价格为x元，笔记本礼盒的价格为y元，根据每个运动礼盒比笔记本礼盒贵10元，用500元购买运动礼盒的个数是用600元购买笔记本礼盒的个数的一半列方程求解即可； （2）设买运动礼盒m个，则购买笔记本礼盒（20﹣m）个，根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设运动礼盒的价格为x元，笔记本礼盒的价格为y元， 由题意，列方程组得， 解得， 则每个运动礼盒价格为25元，笔记本礼盒的价格为15元； （2）设买运动礼盒m个，则购买笔记本礼盒（20﹣m）个， 根据题意，得y＝25m+15（20﹣m）， 即y＝10m+300， ∵购买的笔记本礼盒的个数不超过购买运动礼盒个数的5倍， ∴20﹣m≤5m， 解得m， ∵两种礼盒都需要购买， ∴， 在一次函数y＝10m+300中，k＝10＞0．所以y随x增大而增大， 当m＝4时，y有最小值，y最小＝10×4+300＝340， 此时20﹣m＝16， 故李老师应该购买4个运动礼盒，16个笔记本礼盒才能花费最少，最少费用为340元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程的应用，根据题意正确列式是解题的关键． 30．（2026•昆明模拟）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 昆十中向来重视同学们的身心健康，本学期校食堂专为身体发育关键期的同学推出了多样美味且健康的菜品，经调查发现销量最好的是小吃滇味卤面和饮品鲜榨米浆这两款产品． 素材1 购买1碗滇味卤面比购买1杯鲜榨米浆贵3元；购买4碗滇味卤面和3杯鲜榨米浆共花费47元． 素材2 某班聚餐计划购买这两种食品共60份，要求鲜榨米浆的数量不超过滇味卤面的． 请完成下列任务： （1）任务1：确定单价，求购买1碗滇味卤面和1杯鲜榨米浆分别需要多少元？ （2）任务2：设购买这两种食品所需的总费用为y元，其中购买鲜榨米浆x杯，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需的总费用最低，并求出最低总费用． 【分析】（1）设购买1碗滇味卤面需要m元，购买1杯鲜榨米浆需要n元，根据购买1碗滇味卤面比购买1杯鲜榨米浆贵3元；购买4碗滇味卤面和3杯鲜榨米浆共花费47元，列出方程组，解方程组即可； （2）先根据鲜榨米浆的数量不超过滇味卤面的，列出不等式，解不等式，得出x的范围，然后列出y与x的函数解析式，根据一次函数性质，求出最小值即可． 【解答】解：（1）设购买1碗滇味卤面需要m元，购买1杯鲜榨米浆需要n元，根据题意得： ， 解得：， 答：购买1碗滇味卤面需要8元，购买1杯鲜榨米浆需要5元； （2）设购买这两种食品所需的总费用为y元，其中购买鲜榨米浆x杯，则购买滇味卤面（60﹣x）碗， 根据题意可列不等式得： ， 解得：x≤24， 总费用为：y＝5x+8（60﹣x）＝﹣3x+480（0≤x≤24且x为整数）， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝24时，y取最小值，y最小＝408， ∴购买鲜榨米浆24杯，滇味卤面36碗时，总费用最低，且最低为408元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末复习冲刺】一次函数单元小结与复习教学案 知识点一 函数的概念 1．（2026春•朝阳区期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点二 函数自变量的取值范围 2．求下列函数中自变量x的取值范围： （1）y＝﹣2x+1；（2）；（3）；（4）． 知识点三 函数的图象 3．（2025春•砀山县期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 知识点四 正比例函数的图象 4．（2025秋•惠来县期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 知识点五 一次函数的性质 5．（2025•蒙城县模拟）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．关于直线l：y＝kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　） A．点（0，k）在l上 B．l经过定点（﹣1，0） C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限 7．（2025秋•新城区月考）下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　　） A．（﹣2，6）与（3，1） B．（﹣2，3）与（6，﹣4） C．（﹣2，﹣3）与（﹣4，﹣6） D．（2，3）与（4，9） 8．（2025•梁山县一模）如图所示，已知点C（2，0），直线y＝﹣x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长取最小值时，点D的坐标为（　　） A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，） 9．（2025•兴宁区二模）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2的图象上的不同两个点，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0时，k的取值范围是 ． 知识点六 待定系数法求一次函数解析式 10．已知点A（6，0）及在第一象限的动点P（x，y），且2x+y＝8，设△OAP的面积为S． （1）试用x表示y，并写出x的取值范围； （2）求S关于x的函数解析式； （3）△OAP的面积是否能够达到30？为什么？ 知识点七 一次函数与一元一次不等式 11．（2026春•同步）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．当y＞1时，x＞0 B．关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2 C．当x＜0时，1＜y＜2 D．关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2 12．（2025•中江县模拟）如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 13．（2025•历城区三模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为　 　 ． 14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣1，3）， （1）若图象还经过点（3，﹣5），求这个函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＞4，求m的取值范围． （3）若当x＞t时，总有y＞3，求t的取值范围． 知识点八 两条直线相交或平行问题 15．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围； （3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值； （4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； （5）若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 16．（2021秋•盘州市期末）如图，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（m，m），直线l2与x轴交于点B．已知直线l2的函数表达式为y＝﹣x+6． （1）求直线l1的函数表达式． （2）P是直线l1上的一个动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 知识点九 一次函数的应用 17．（2025春•筠连县月考）等腰三角形周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm．解答下列各题： （1）直接写出y关于x的函数关系式；（2）当腰长AB为4cm时，求底边BC的长； （3）请直接写出x、y的取值范围． 18．（2026•临川区二模）某外卖平台统计了甲、乙、丙三名骑手某天的配送数据，甲、乙、丙上午配送数据分别用M1，M2，M3表示，下午配送数据分别用N1，N2，N3表示，若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（　　） A．甲的配送效率最大 B．丙的配送效率最大 C．甲的配送效率最小 D．乙的配送效率最小 19．（2026•老河口市模拟）古代数学文化《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺＝10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（　　） A． B．5 C． D．6 20．（2026•沁水县二模）如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点，BC是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（cm）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是5N，该实验装置高度h的最高可为　 cm． 21．（2026春•西城区期中）小宇的家离学校1800米．小宇早晨从家出发沿笔直的马路匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小宇忘带跳绳，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小宇，爸爸追上小宇后以原速度沿原路回家．小宇拿到跳绳后以原速度的1.5倍快步赶往学校（小宇被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小宇与爸爸之间的距离y（m）与小宇从家出发到学校的步行时间x（min）之间的函数关系如图所示． （1）小宇从家出发　 分钟时，爸爸追上小宇； （2）小宇从家到学校用时　 　 分钟． 22．（2026•新野县二模）树立文明新风尚，某区投入一批资金计划购买甲、乙两种道旁装饰性垃圾桶．已知购买10个甲种垃圾桶、20个乙种垃圾桶需8000元；购买20个甲种垃圾桶、30个乙种垃圾桶需13000元． （1）甲、乙两种垃圾桶的单价各是多少元？ （2）若购买两种垃圾桶共400个，其中购买甲种垃圾桶x个，所需总资金为y元，求y（元）与x（个）之间的函数关系式； （3）在（2）中，若购买甲种垃圾桶的个数不超过乙种垃圾桶个数的三分之一，请你设计购买这批垃圾桶花费最少的方案，最少花费是多少元？ 23．（2026•楚雄州二模）有着“中国乌天麻之乡”美誉的昭通开始探索天麻林下仿野生种植，如今实现种子繁育、规范种植、精深加工、品牌营销等全产业链发展．请根据以下素材，完成探究任务． 制定采购方案 项目背景 昭通某土特产店向种植户采购一批林下仿野生种植天麻深加工成品，采购“特级天麻”“一级天麻”两种天麻． 素材1 ①该土特产店采购了100kg特级天麻和300kg一级天麻共花费了50000元； ②已知采购50kg特级天麻比采购30kg一级天麻产品多用7000元． 素材2 由于销售比较好，该土特产店计划再次采购两种天麻共250kg． 素材3 两次采购后，要求“特级天麻”的总数量不少于“一级天麻”总数量的． 探究任务 （1）任务1：分别求出“特级天麻”“一级天麻”两种天麻的价格； （2）任务2：用哪种采购方案费用最少，最少费用是多少？ 24．（2026•朝阳区一模）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：cm），装置内液体体积为V（单位：mL）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：cm） 装置内液体体积V（单位：mL） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（mL）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为12cm时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，则装置内液面的高度为　 　 cm． 25．（2026•潍坊模拟）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系的图象如图②所示． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）该小球滚动多长时间，速度为3m/s？ （3）求小球在整个运动过程中所滚动的路程．（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）． 26．（2026•鲁山县二模）2025年初，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（A类）和敖丙手办（B类）盲盒，已知生产商每天生产A类手办比生产B类手办多200个，两种手办不能同时生产，且生产12000个A类手办所需时间和生产8000个B手办所需时间相同． （1）求生产商每天生产A，B两类手办的个数； （2）某商家购进两种手办的进价和售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） A手办 80 100 B手办 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元/个的B手办进行了4天的试销，试销情况如表： 第一天 第二天 第三天 第四天 单件利润m（元） 20 30 40 50 日销售量Q（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你求Q与m之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售价格． 27．（2026•前进区二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强．某小区计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地下充电桩比新建1个地上充电桩多0.1万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要0.7万元． （1）求该小区新建1个地上充电桩，1个地下充电桩各需要多少万元． （2）若该小区计划用不超过15.32万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，求有几种修建方案． （3）若地上1个充电桩占地面积3平方米，地下1个充电桩占地面积1平方米．考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，请直接写出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 28．（2026•南开区三模）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：mg/ml）与服药后时间x（单位：h）之间满足一次函数关系如图所示．服药后3h，测得血液中药物浓度达到最高值9mg/ml；服药后11h，测得血液中药物浓度为1mg/ml． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 成人服药后时间x（单位：h） 1 3 4 10 11 成人服药后血液中药物浓度y（单位：mg/ml） 1 （Ⅱ）①当0≤x≤11时，请直接写出y关于x的函数解析式； ②当1＜y＜2时，请直接写出x的取值范围； （Ⅲ）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3mg/ml时，才能对人体产生抗菌作用，那么成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为　 　 h． 29．（2026•南山区三模）笋岗文具玩具礼品城是深圳最大、最集中的文具玩具交易中心，号称“深圳的义乌”．某学校为给获奖的学生奖励的奖品更加丰富多样性，特派负责采购的李老师去考察．已知每个运动礼盒比笔记本礼盒贵10元，用500元购买运动礼盒的个数是用600元购买笔记本礼盒的个数的一半． （1）每个运动礼盒、笔记本礼盒的价格分别是多少？ （2）该学校计划购买运动礼盒和笔记本礼盒共20个，两种礼盒都需要购买，且购买的笔记本礼盒的个数不超过购买运动礼盒个数的5倍．请问李老师应该如何购买才能花费最少？并求出最少费用． 30．（2026•昆明模拟）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 昆十中向来重视同学们的身心健康，本学期校食堂专为身体发育关键期的同学推出了多样美味且健康的菜品，经调查发现销量最好的是小吃滇味卤面和饮品鲜榨米浆这两款产品． 素材1 购买1碗滇味卤面比购买1杯鲜榨米浆贵3元；购买4碗滇味卤面和3杯鲜榨米浆共花费47元． 素材2 某班聚餐计划购买这两种食品共60份，要求鲜榨米浆的数量不超过滇味卤面的． 请完成下列任务： （1）任务1：确定单价，求购买1碗滇味卤面和1杯鲜榨米浆分别需要多少元？ （2）任务2：设购买这两种食品所需的总费用为y元，其中购买鲜榨米浆x杯，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需的总费用最低，并求出最低总费用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $